Cinematica del punto materiale parte seconda
Testo di riferimento:
• “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci
a.a. 2018-2019
Cinematica del punto materiale parte seconda
Testo di riferimento:
• “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci
a.a. 2018-2019
Coordinate sferiche
o già viste trattando i vettori
Coordinate sferiche
o già viste trattando i vettori
Si possono definire i versori u , u e u θ
φ
uφ
uθ ur
Coordinate cilindriche
o “a metà” tra quelle cartesiane e quelle sferiche
r è definito nel piano xy
r = √(x
2+y
2)
x = r cosφ
Coordinate cilindriche
o “a metà” tra quelle cartesiane e quelle sferiche
r è definito nel piano xy
r = √(x
2+y
2) tgθ = y/x
x = r cosθ y = r senθ
z = z attenti: a volte per
l’angolo si usa il simbolo θ
θ
P(r,θ,z)
Nel piano: coordinate polari
o Si definiscono anche qui i “versori” u
red u
θ, anche indicati come e
red e
θ, o u
red u
Tr = √(x
2+y
2) tgθ = y/x
x = r cosθ y = r senθ
ur uθ
ur “radiale”
uθ “rispetto a direzione angolare θ”
Derivata rispetto al tempo di un versore
o Un versore è un vettore di lunghezza unitaria à il modulo non cambia nel
tempo. Ma la direzione di un versore può cambiare nel tempo
o I versori degli assi cartesiani non
cambiano direzione al variare del tempo (a meno che non stiamo parlando dei
versori di un altro sistema di riferimento, in moto rispetto al nostro)
n d u
x/dt = d u
y/dt = d u
z/dt =0
o non sempre è così. Esempio: versore u
rdelle coordinate polari (o sferiche)
Derivata rispetto al tempo dei versori u r ed u θ
ur uθ
d ! u
rdt = !
ω × !
u
r= d θ dt
u !
θd !
u
θdt = !
ω × !
u
θ= − d θ dt
u !
rdimostrazione della prima relazione nella slide successiva (seconda relazione si dimostra in modo analogo)
derivazione della derivata
Velocità (nel piano) in coordinate polari d !
r
Pdt = d
dt (r
P!
u
r) = dr
Pdt
u !
r+ r
Pd ! u
rdt = v
r!
u
r+ r
P!
ω × !
u
r=
= v
r!
u
r+ !
ω × !
r
P= !
v
r+ ! v
θv !
r= v
r!
u
r= dr
Pdt
u !
rv ! = !
ω × !
r = d θ
r !
u = ω r u ! = v ! u
vθ
Velocità (nel piano): sommario
n La velocità è sempre tangente alla traiettoria. Si può sempre scrivere come:
ossia il suo modulo moltiplicato per il versore tangente alla traiettoria
n in coordinate cartesiane possamo (ovviamente) scrivere la velocità come:
n in coordinate polari possiamo scrivere la velocità come:
v = v ! ! u
Tv = v !
x!
u
x+ v
y! u
yv ! = !
v + !
v = dr !
u + r d θ !
u
Versori “tangente” e “trasverso”
o uT è il versore tangente alla traiettoria
o uθ è il versore del sistema polare (a volte è detto “trasverso”)
o non coincidono in generale, ma coincidono solo nel moto circolare uniforme
L’accelerazione nel moto piano d !
v
dt = d
dt (v !
u
T) = dv dt
u !
T+ v d ! u
Tdt = dv dt
u !
T+ v !
ω × !
u
T=
= dv dt
u !
T+ !
ω × !
v = dv dt
u !
T+ v d θ dt
u !
N= !
a
T+ ! a
Na !
T= dv
dt
u !
Ta !
N= v d θ
dt
u !
N= v
2R
u !
NR è il “raggio di curvatura” della traiettoria, ossia il raggio della
circonferenza che meglio approssima la traiettoria in quel punto.
Figura nella prossima slide
L’accelerazione nel moto piano
Moto circolare
o per definizione la traiettoria è una circonferenza di raggio R o s=Rθ (definizione di angolo
radiante)
o variazione infinitesima ds=Rdθ
o v=ds/dt=R dθ/dt =Rω
o vettorialmente: v=Rωu
T! ! !
il vettore
ω
èperpendicolare al piano del moto (uscente se il
Moto circolare
o accelerazione: !
v = !
ω × ! R a = ! d !
v
dt = d
dt ( !
ω × !
R) = = d !
ω
dt × !
R + !
ω × d ! R
! dt
a = !
α × !
R + !
ω × !
! v
a
T= !
α × !
! ! ! R
accelerazione tangenzialeMoto circolare
o accelerazione: !
v = !
ω × ! R
il vettore
ω
èperpendicolare al piano del moto (uscente se il
a = ! !
a
T+ ! a
ca !
T= !
α × !
! R
a
c= !
ω × ! v
accelerazione tangenziale accelerazione centripeta l’accelerazione centripeta è sempre presente (tranne quando v=0 ßà ω=0). Il modulo vale:
a
c=ωv=v
2/R=ω
2R (ω=v/R)
vi è accelerazione tangenziale solo se cambia il valore della velocità angolare (e se v:
Moto circolare uniforme
o θ(t)=θ 0 +ωt
o ω=dθ/dt =v/R=cost o α=dω/dt = 0
equazioni identiche a quelle del moto rettilineo uniforme (xàθ, vàω)
Si definisce “periodo” il tempo impiegato
Moto circolare uniforme
o θ(t)=θ 0 +ωt
o ω=dθ/dt =v/R=cost
o α=dω/dt = 0 ; periodo T=2π/ω o coordinate cartesiane x(t) ed y(t)
x(t)=R cos(ωt + θ
0)
y(t)=R sin(ωt + θ
0)
Moto circolare uniformemente accelerato
o θ(t)=θ 0 + ω 0 t + ½ αt 2 o ω(t)=dθ/dt =ω 0 + αt o α=dω/dt = cost
equazioni identiche a quelle del moto
rettilineo uniformemente accelerato
(xàθ, vàω)
Problemi
dal materiale didattico del Prof. GigliettoProblemi
dal materiale didattico del Prof. GigliettoMoto parabolico
o Consideriamo il caso più generale di un grave lasciato cadere
n problema bidimensionale
n coordinata x: moto rettilineo uniforme n coordinata y: moto rettilineo
uniformemente accelerato
x=x
0+v
0xt
y=y
0+v
0yt-1/2gt
2Sarà più semplice capirlo quando tratteremo la dinamica del punto materiale. Per ora assumiamo vero quanto detto e ricaviamo alcune
