A A A p p p p p p u u u n n n t t t i i i d d d i i i “ “ “ C C C o o o n n n t t t r r r o o o l l l l l l i i i A A A u u u t t t o o o m m m a a a t t t i i i c c c i i i 1 1 1 ” ” ” C C C a a a p p p i i i t t t o o o l l l o o o 2 2 2 - - - p p p a a a r r r t t t e e e I I I I I I
I I I m m m p p p u ul u l l s s s o o o d d d i i i D D D i i i r r r a a a c c c
IMPULSO DI DIRAC: CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ... 1
Definizione... 1
1° proprietà: area unitaria ... 3
2° proprietà: proprietà di setaccio... 3
3° proprietà: prodotto di convoluzione ... 3
Trasformata di Laplace del delta di Dirac ... 4
Esempio di applicazione della proprietà di derivazione nel tempo ... 4
Funzioni impulsive di ordine superiore... 5
I I I m m m p p p u u u l l l s s s o o o d d d i i i D D D i i i r r r a a a c c c : : : c c c a a a r r r a a a t t t t t t e e e r r r i i i s s s t t t i i i c c c h h h e e e e e e p p p r r r o o o p p p r r r i i i e e e t t t à à à
Definizione Definizione
Vogliamo adesso studiare le principali proprietà della funzione denominata impulso di Dirac: essa viene convenzionalmente indicata con il simbolo δδ(t) e può essere vista come un rettangolo, di area unitaria, con base che tende a 0 (e quindi altezza che tende a +∞). Vediamo nel dettaglio questo concetto.
Consideriamo il segnale rappresentato in figura:
t s(t)
-T/2 +T/2 A
Questo segnale ha rappresentazione analitica
+ T − T
t
Per A generico, quel segnale ha area pari ad AT. Evidentemente, perché esso abbia area unitaria, deve essere A=1/T, ossia l’espressione analitica del segnale deve essere
=
T rect t T ) 1 t ( s
t s(t)
-T/2 +T/2 1/T
E’ anche evidente che, per T→0, l’area del segnale rimane invariata e pari ad 1, la base tende a zero e l’altezza tende all’ infinito per t=0 mentre è nulla altrove.
Allora, si definisce impulso di Dirac il segnale
−
−
+
=
=
δ
→ →2
t T 2 u
t T T u lim 1 T rect t T lim 1 ) t (
0 T 0
T
cioè appunto il limite, per t→0, dell’impulso unitario di durata finita.
Solitamente, lo si indica graficamente nel modo seguente:
t δ ( ) t
Ovviamente, questa figura è relativa al caso in cui l’impulso è applicato nell’istante t=0: se, al contrario, esso fosse applicato in un istante t0 diverso da 0, allora il segnale sarà δ(t-t0) e la rappresentazione sarà
t δ( t − t
0)
t
0Vediamo qualche proprietà fondamentale di questo segnale (che è ovviamente ideale, in quanto è impossibile realizzarlo dal punto di vista fisico).
1° proprietà: area unita
1° proprietà: area unitaria ria
Una delle proprietà fondamentali dell’impulso di Dirac è quella di avere area unitaria: da un punto di vista analitico, ciò significa che
1 dt ) t
( =
∫ δ
+∞
∞
−
ed anche che
0 0
) dt 1 t t
t
( − = ∀
∫ δ
+∞
∞
−
2° proprietà: proprietà di setaccio 2° proprietà: proprietà di setaccio
Un’altra proprietà è la seguente: consideriamo il segnale
z t ( ) = δ ( t − t
0) ( ) s t
(dove s(t) è un segnale generico) e facciamone l’integrale tra -∞ e +∞:+∞
∫
∞
−
−
δ ( t t
0) s ( t ) dt
Dato che il δ(t-t0) vale, per definizione, sempre zero tranne che nell’istante t=t0, dove invece vale 1, è ovvio che
) t ( s dt ) t ( s ) t t
( −
0=
0∫ δ
+∞
∞
−
Questa proprietà è detta proprietà di setaccio, nel senso che essa prende, tra tutti i valori assunti da s(t) nel suo intervallo di definizione, solo quello relativo all’istante di applicazione dell’impulso. E’ ovvio che un caso particolare si ha quando t0=0: in questo caso, abbiamo che
) 0 ( s dt ) t ( s ) t
( =
∫ δ
+∞
∞
−
3° proprietà: prodotto di convoluzione 3° proprietà: prodotto di convoluzione
Una immediata conseguenza della proprietà di setaccio ha a che fare con il prodotto di convoluzione prima introdotto: infatti, dato sempre un segnale s(t) generico, il prodotto di convoluzione di questo segnale per il δ(t) vale per definizione
+∞
( ( t ) ) ( t )
) t
( − τ = δ − τ − = δ τ − δ
Sostituendo in quell’integrale, abbiamo che
+∞
∫
∞
−
τ
− τ δ τ
=
δ ( t ) s ( ) ( t ) d
* ) t ( s
Quell’integrale, in base alla proprietà di setaccio vista prima, vale s(t): quindi
) t ( s ) t (
* ) t (
s δ =
il che significa che la convoluzione di un segnale per l’impulso di Dirac è pari sempre al segnale stesso.
In modo analogo, possiamo affermare che ogni segnale può anche essere espresso come convoluzione di se stesso per l’impulso unitario (non traslato).
Trasformata di Laplace del delta di Dirac Trasformata di Laplace del delta di Dirac
Come ultima proprietà, andiamo a calcolare la trasformata di Laplace dell’impulso di Dirac: applicando semplicemente la definizione di trasformata e la proprietà di setaccio, abbiamo che
[ ] ( t ) ( s ) ( t ) e dt [ ] e 1
L
st t 00
st
= =
δ
=
δ
+∞∫
− − − =Facciamo osservare che, come estremo inferiore dell’integrale, è stato preso 0- anziché 0: questa è una convenzione spesso adottata per le trasformate di tutti i segnali nella cui espressione analitica sia presente la funzione impulsiva.
Quando, invece, la funzione impulsiva non compare, allora scegliere 0- oppure 0 oppure 0+ è assolutamente la stessa cosa.
E E E s s s e e e m mp m p p i i i o o o d di d i i a a a p p p p p p l l l i i i c c c a a a z z z i i i o o o n n n e e e d d de e e l l l l la l a a p p pr r r o op o p pr r r i i i e e e t t t à à à d d di i i d d de e e r r r i i i v va v a a z zi z i i o o o n n n e e e n n n e e e l l l t t t e e e m m m p p p o o o
Consideriamo il segnale causale
f t ( ) = H t ( ) cos t
. Questo segnale presenta in t=0 una discontinuità, in quanto vale 0 in t=0- e vale 1 in t=0+. Vogliamo calcolare la sua trasformata di Fourier non direttamente, ma usando la proprietà di derivazione precedentemente illustrata: si tratta cioè della proprietà in base alla quale risulta[ ] f ' ( t ) ( s ) sL [ ] f ( t ) ( s ) f ( 0 )
L = −
−per cui ci serve per prima cosa la trasformata di Laplace del segnale derivato di f(t): tale segnale è evidentemente
) t cos(
) t ( ) t sin(
) t ( H ) t ( '
f = − + δ
D’altra parte, in base alla proprietà di δ(t) di valere 1 in t=0 e 0 altrove, è evidente che
δ ( ) cos( ) t t = δ ( ) cos( ) t 0 = δ ( ) t
, per cui l’espressione del segnale derivato si riduce af t ' ( ) = − H t sin t ( ) ( ) + δ ( ) t
Calcoliamo adesso la trasformata di Laplace di questo segnale: applicando semplicemente la proprietà di linearità, abbiamo che
[ ] [ ] [ ] [ ] 1
s 1 ) 1 t ( L ) s ( ) t sin(
) t ( H L ) t ( ) t sin(
) t ( H L ) s ( ) t ( ' f
L
2+
− +
= δ +
−
= δ +
−
=
Nota questa trasformata, applichiamo la proprietà di derivazione prima richiamata:
[ ] [ ] ( ) (
2)
22 2
2
1 s
s s
1 s
s s 1 s 1 s 0 1 s 1
1 1 s
) 1 0 ( s f ) 1 s ( ) t ( ' f s L ) 1 s ( ) t ( f
L = +
= + + +
−
=
+
+
− +
= +
=
−Funzioni impulsive di ordine superiore Funzioni impulsive di ordine superiore
Consideriamo il seguente segnale f(t):
T 2T
T/2
Questo segnale gode della proprietà per cui
lim f ( t ) ( t )
0
T
= δ
→ .
Il suo segnale derivato è fatto nel modo seguente:
1/T2
Esso gode della proprietà per cui
lim f ' ( t ) ' ( t )
0
T
= δ
→ , dove δ‘(t) prende il nome di doppietto. Ci interessa la sua trasformata di Laplace: possiamo allora cominciare a scrivere che
[ ] ' ( t ) L [ lim f ' ( t ) ] lim L [ ] f ' ( t )
L
0 T 0
T→
=
→= δ
D’altra parte, la rappresentazione analitica di f’(t) è immediata:
) T 2 t ( T H ) 1 T t ( T H ) 2 t ( T H ) 1 t ( '
f =
2−
2− +
2−
Possiamo perciò scrivere che
[ ] [ ]
0 0 T
e e 2 lim 1 s e 1
s e 1 s 2 s 1 T lim 1
) T 2 t ( H ) T t ( H 2 ) t ( H T L lim 1 ) T 2 t ( T H ) 1 T t ( T H ) 2 t ( T H L 1 lim ) t ( ' L
2 Ts 2 Ts 0
T Ts 2 Ts
0 2 T
0 2 2 T
2 0 2
T
+ =
= −
− +
=
=
− +
−
−
=
− − + −
= δ
−
−
→
−
−
→
→
→
Abbiamo trovato una forma indeterminata, per cui applichiamo il teorema di L’Hopital:
[ ] ( ) ( )
0 0 T
e lim e
T 2
se 2 se lim 2 s 1
T 2
se 2 se
2 lim 0
s 1 T
e e 2 lim 1 s ) 1 t ( ' L
Ts 2 Ts 0 T Ts 2 Ts
0 T
Ts 2 Ts
0 T Hopital L' 2
Ts 2 Ts 0
T
− =
− =
=
− = +
−
−
→
+
= − δ
−
−
→
−
−
→
−
−
→
−
−
→
Ancora una volta abbiamo trovato una forma indeterminata, per cui riapplichiamo l’Hopital:
[ ]
L t e e
T
se se
s
T
Ts Ts
T
Ts Ts
δ' ( ) = lim − → lim − + =
→
− −
→
− −
0
2
0
2
21
L'Hopital
Possiamo dunque concludere che
L [ δ' ( ) t ] = s
. In effetti, ricordando anche che[ ]
L δ( ) t = 1
, possiamo concludere circa l’esistenza della seguente proprietà generale:k k
k
