PARTE 4: CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

PARTE 4: CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

4.1 INTRODUZIONE

Fissata una terna di assi cartesiani (mutuamente ortogonali fra loro) Oxyz, con origine nel punto O, si riferisca il moto di un corpo materiale a tale terna, cioè si esaminino in funzione del tempo le variazioni rispetto ad essa della posizione dell’elemento. Si dice che si è fissato in tal modo un sistema di riferimento. La descrizione del moto di un corpo, la quale prescinda dallo studio delle cause che lo determinano, va sotto il nome di cinematica.

Un corpo mobile abbia dimensioni piccole rispetto a quelle della regione dello spazio all’interno della quale ha luogo il moto ed, inoltre, non interessino le variazioni di forma ed orientamento del corpo rispetto al riferimento considerato. In tali condizioni il sistema meccanico può essere schematizzato con un elemento materiale puntiforme. Nel caso in cui venga assunto tale schema, la descrizione del moto si traduce nella determinazione delle tre funzioni:

x = x(t); y = y(t); z = z(t) (4.1)

che forniscono le coordinate cartesiane dell’elemento materiale in funzione del tempo.

4.2 Equazioni parametriche di un arco di linea

Data un arco di curva l regolare, che rappresenti ad esempio la traiettoria di un elemento materiale mobile, è possibile, ed in infiniti modi, stabilire una corrispondenza biunivoca fra i punti dell’arco di curva ed i valori di una variabile numerica s appartenenti ad un intervallo [s1,s2]; ciò equivale a dire che sono definite nell’intervallo [s1,s2] le tre funzioni:

x=x(s); y=y(s); z=z(s) (4.2)

che esprimono le coordinate cartesiane del generico punto P ∈ l in termini della variabile scalare s. Tali relazioni vanno sotto il nome di equazioni parametriche dell’arco di curva.. La posizione di P su l può essere individuata anche tramite il vettore di posizione avente l’origine in un punto fisso O, che assumiamo qui coincidente con l’origine della terna cartesiana, ed estremo in P, ossia tramite la funzione vettoriale:

OP=OP(s) (4.3)

Tale funzione rappresenta l’equazione parametrica vettoriale dell’arco di curva l.

Ascissa curvilinea

Tra i possibili parametri s, di particolare importanza è l’ascissa curvilinea, che è definita al modo seguente: fissato sulla linea un verso di

percorrenza ed un’origine Ω, si associ ad ogni punto P(x,y,z) della linea la lunghezza dell’arco ΩP, presa con segno positivo o negativo, a seconda che P segua o preceda Ω nel verso di percorrenza prefissato. La lunghezza con segno dell’arco ΩP rappresenta l’ascissa curvilinea s.

4.3 Proprietà differenziali di una curva

Data una curva OP =OP(s) si esamini il significato del vettore dOP

ds

dx ds

dy ds

dz ds

OP OP s

PP

s s s

≡  

 = _→ − = _→

; ; lim '

lim '

∆ ⁰ ∆ ∆ ⁰ ∆

Il modulo del vettore derivato dOP

ds è unitario. Infatti si

ha: dOP ds

PP s

corda

s s arco

=lim _→ ' = _→ =

∆ ⁰ ∆ lim∆ ⁰ 1

La direzione ed il verso di PP’, al tendere a zero di ∆s, coincidono con quelli della tangente alla curva. Si ha quindi:

(

)

≡



 



≡

= ; ;

ds

;dz ds

;dy ds tˆ dx ds

dOP (4.5)

dove α, β e γ sono i coseni direttori della tangente alla curva nel punto di ascissa s.

x

y

z Ω

P(s)

Fig. 4.1

Ω P(s)

P’’(s+∆s’’) P’(s+∆s’)

x

y z

O

PP’

PP’’

Fig. 4.2

4.4 Curvatura locale

Siano tˆ e tˆ′ i versori della tangente nei punti di ascissa s e s+∆s; si chiama curvatura locale in s la quantità:

c=lim_∆^s_→ s =

0∆ ε 1

ρ (4.6)

dove ε e ρ sono l’angolo di contingenza, cioè l’angolo fra tˆ e tˆ′ (ε ≤ π ), ed il raggio di curvatura, rispettivamente. Al tendere a zero di ∆s il versore ^tˆ ed il punto P’ individuano un

piano limite che è detto piano osculatore alla curva. Come si osserva dalla figura (4.3), il vettore

s ) s ( tˆ ) s s ( lim tˆ s

tˆ lim tˆ ds

tˆ d

0 s 0

s ∆

−

∆

= +

∆

′−

=∆→ ∆→

è normale a tˆ , si trova sul piano osculatore ed è orientato verso la concavità della curva. Fra le ∞¹ normali alla curva in P il vettoredt

ds

 individua quella contenuta nel piano osculatore, che

prende il nome di normale principale alla curva stessa.

Al tendere a zero di ∆s anche ε → 0; risulta, quindi:

=ρ













∆ ε















 ε

ε

∆ = ε

∆ =

′−

=∆→ ∆→ ∆→

1 s 2

sen2 s

sen2 2 s

tˆ tˆ ds

tˆ d

0 s 0

s 0

s lim lim

lim (4.7)

essendo:

1 2 sen2

0

s =















 ε

ε

→

∆lim

Ove si indichi con nˆ il versore della normale principale, si può quindi scrivere:

dt ds

d x dt

d y dt

d z

dt n

 ≡ ; ; 

 

 =

2 2

2 2

2 2

1

ρ (4.8)

Il moto di un elemento materiale è noto quando si conosca la funzione vettoriale:

x

y z

O

tˆ ε tˆ

ˆ't

ˆ't

sin 2 tˆ 2 tˆ

ˆ't− = ε P(s)

P(s+∆s)

Fig. 4.3

OP=OP(t) (4.9) od, equivalentemente, le tre funzioni scalari:

x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) (4.10)

E’ utile talvolta scindere l’aspetto geometrico del moto, compendiato dalla equazione della traiettoria:

OP=OP(s) (4.11)

da quello temporale, compendiato dalla legge oraria:

s=s(t) (4.12)

che indica la posizione istantaneamente occupata dall’elemento materiale.

4.5 Moto uniforme

Il moto di un elemento materiale lungo la traiettoria di equazione parametrica OP=OP(s), sia caratterizzato dal fatto che, ∀∆t e ∀t0, risulti:

( ) ( )

t t s t t s

0

0 = =

∆

−

∆

+  (4.13)

Si dice in tal caso che il moto è uniforme e che s è la velocità scalare media dell’elemento₀ materiale nell’intervallo temporale [t0, t0+∆t]. La (15) esprime la circostanza che in uguali intervalli di tempo ∆t vengono descritti archi di uguale lunghezza, qualunque sia l’istante iniziale t0 considerato e qualunque sia l’intervallo di tempo considerato.

4.6 Moto vario

In un moto generico il rapporto incrementale

( ) ( )

t t s t t

s _{0 0}

∆

−

∆

+ della funzione s(t) non è

costante al variare di ∆t . Il limite a cui esso tende al tendere a zero ∆t rappresenta la velocità scalare istantanea:

t s s dt

ds

0

s =

∆

= ∆

→

∆lim

Un diagramma nel quale sia riportata in ordinate l’ascissa curvilinea ed in ascissa il tempo si chiama diagramma orario.

In un tale grafico la velocità istantanea è rappresentata dalla pendenza (coefficiente angolare) della tangente geometrica alla curva s(t). Negli intervalli temporali in cui

0 s>

 (cioè s(t) è una funzione crescente di t) il moto si dice progressivo, in quelli in cui s<0 regressivo, quelli in cui s=0 punti

di arresto (punto A ), oppure di inversione (punto B ), nella fig. (4.4). Si divida l’intervallo temporale complessivo nel quale siano state effettuate le misure di s(t) in intervalli ∆ti

sufficientemente piccoli in modo che all’interno di ciascuno di essi la variazione di velocità scalare non sia rivelabile tramite lo strumento di misura (tachimetro). In ciascuno di questi intervalli la variazione dell’ascissa curvilinea ∆si è uguale a s_i ∆t e quella totale s(t)-s(0) a:

( )

s dt s s

) 0 ( s ) t ( s

t i 0

i i

i

∑ ∫

∑

=

−   (4.14)

Data la funzione _s(t) si pone il problema di calcolarne l’integrale, che rappresenta l’area sottesa dalla curva_s(t) in fig. (4.4). Per il moto uniforme risulta: s(t)= s₀ =cost. L’integrale nella (4.14) fornisce allora:

0 0t s s ) t (

s =  + (4.15)

Il diagramma orario, in tal caso, è una retta la cui pendenza vale s e la cui intercetta ₀ s con l’asse delle s0

rappresenta il valore dell’ascissa curvilinea all’istante t=0 (Figura 4.5)

4.7 Moto uniformemente vario

E’ un moto per cui risulta:

( ) ( )

t t s t t s

0 0

0 = =

∆

−

∆

+  

 ∀∆t e ∀t⁰ considerati. Dalla costanza del rapporto incrementale

segue la costanza della derivata della funzione s(t), ossia cost

s

s= ₀ = (4.16)

t s

B

A

C

O

Fig. 4.4

s0

t s

s0

Fig. 4.5

s prende il nome di accelerazione scalare. Dalla costanza di _s segue che _s è una funzione lineare di t del tipo :

0 0t s dt s

s ds  

= = + (4.17)

Dove s è una costante che rappresenta il valore della velocità scalare all’istante t=0. Dalla₀ relazione (20), integrando ulteriormente, si deduce:

0 0

0t s t s

2s ) 1 t (

s =  + + (4.18)

dove s0 rappresenta il valore dell’ascissa curvilinea all’istante t=0. Il diagramma orario associato a questo tipo di moto è una parabola.

4.8 Moto vario generico

Si tratta di un moto per il quale _s varia con il tempo; si dice accelerato (decelerato) ad un istante t se nell’intorno di tale istante s , o, equivalentemente, s , sono funzioni crescenti² (decrescenti) del tempo. Risulta quindi:

(moto accelerato)

( )

( )

dt d

) accelerato (moto

0 s s 2 dt s

d

2 2

<

=

>

=











 (4.19)

4.9 Velocità vettoriale

Sia P la posizione dell’elemento materiale all’istante t e P’ quella all’istante t1= t+∆t. Il vettore OP(t) che

congiunge un punto fisso (generalmente l’origine di una terna cartesiana di riferimento) con la posizione mobile P

x

y z

O

P(t+∆^t),P(x+∆^x,y+∆^y,z+∆^z)

P(t),P(x,y,z)

Ω

Fig. 4.6

è il vettore di posizione; PP’ è il vettore spostamento nell’intervallo di tempo ∆t. La velocità vettoriale &v t è definita come la derivata temporale della funzione vettoriale OP(t):

( )

( ) ( )

&v dOP t dt

dOP t ds

ds dt st

= =

 

 

 =  (4.20)

La velocità vettoriale è costante soltanto qualora il moto sia rettilineo

(

)

uniforme (s=costante). Dalla (4.20) segue che:

v x x x

t x

v y y y

t y

v z z z

t z

x t

y t

z t

= + − =

= + − =

= + − =

→

→

→

lim ( )



lim ( )



lim ( )



∆

∆

∆

∆

∆∆

∆

∆

∆

0

0

0

(4.21)

Dalla prima uguaglianza della (4.20) segue, inoltre, che lo spostamento elementare è dato da:

( )

d P

P ′= =& (4.22)

Lo spostamento finito P0P, effettuato nell’intervallo temporale [0,t] può quindi esprimersi come somma (integrale) di spostamenti infinitesimi:

P P v t dt

t 0

0

=

∫

Le componenti cartesiane dello spostamento elementare dOP, date da: dx=x dt, dtdy=y , dt

dz =z , rappresentano anche le variazioni infinitesime delle coordinate di posizione dell’elemento materiale. In corrispondenza di uno spostamento finito le variazioni delle coordinate risultano fornite dalle relazioni:

( ) ( ) ( )

z z ) t ( z

' dt 't y y ) t ( y

' dt 't x x ) t ( x

t 0 0

t 0 0

t 0 0

∫

∫

∫

+

= +

= +

=







(4.24)

4.10 Accelerazione vettoriale

L’accelerazione vettoriale è definita come la derivata della velocità vettoriale:

( )



 





  + 

= +

=

=

= dt

ds ds

tˆ s d tˆ dt s

tˆ sd tˆ s tˆ dt s

d dt

v

a& d&      (4.25)

Ricordando la (4.8) si ha anche : s nˆ

tˆ s

a ²

+ ρ

=  

& (4.26)

che mostra come il vettore accelerazione possa essere decomposto nella somma di due vettori, di cui uno tangente alla traiettoria

( )



 ρ nˆ s²

 .

Risulta inoltre:

( ) ( )

&a d OP t

dt x y z

= ≡

2

2 , , (4.27)

Il vettore accelerazione &a st s

=+  n

2

ρ è identicamente nullo quando risulti v&=cost, ossia quando il moto sia simultaneamente rettilineo

(

=∞)

( _s

).

Il prodotto scalare della velocità e della accelerazione vettoriali risulta uguale a s s, come si evince dalla seguente relazione:

( )

a v

2



 



& 

& =



 + ρ

⋅

=

⋅ (4.28)

Pertanto, se il moto è accelerato (s s>0) l’angolo fra i vettori accelerazione e velocità è minore di π/2, l’opposto accade se il moto è decelerato. Nel caso in cui il prodotto scalare sia espresso cartesianamente le condizioni di moto accelerato e decelerato si esprimono quindi nel modo seguente:

deceler acceler

⇒

<

+ +

=

⋅

⇒

>

+ +

=

⋅

0 z z y y x x a v

0 z z y y x x a v











& 

& &   

&

(4.29)

4.11 Moti piani

Coordinate polari nel piano

Sia Oxy un sistema di assi cartesiani nel piano, OP(t)= uˆρ il vettore di posizione, θ l’angolo, crescente in senso antiorario, formato fra il raggio vettore OP(t) ed il semiasse positivo delle x; τˆ il versore del piano, ⊥ ad OP(t), ed orientato nel verso delle θ crescenti (vedi Fig.9):

Dalla figura (4.7) segue che:

x y

=

=

ρ θ

ρ θ

cos

sen ^ρ

( )

θ

= +

= 

 

− 

x y

tg y x

2 2 1

2 1

(4.30)

Dalla figura 5 risulta inoltre:

( ) ( ) ( ) ( )





θ + θ

−

= τ

θ + θ

=

jˆ cos iˆ ˆ sin

jˆ sin iˆ cos uˆ

da cui segue:

d uˆ dˆ ˆ; d

uˆ

d =−

θ τ τ

θ =

Risulta quindi:

(4.31)

( )



 



 θ



 



 ρ θ + ρ ρ =

=

= dt

d d

uˆ uˆ d

dt uˆ d dt

v dOP 

&

ossia

τ +

= τ θ ρ + ρ

= uˆ ˆ v_ρuˆ v_θˆ v&  

ed anche:

( ) ( ) ( )



 



 ρ θ +ρ

ϑ ρ

− ρ τ = θ ρ +

= ρ

= ˆ

dt d uˆ 1

dt uˆ ˆ d dt

v a d

2

2 

 

 

&

& (4.32)

ossia:

τ +

=a_ρuˆ a_θˆ a&

x y

ρ

û

τˆ jˆ

î

P(x,y)

Fig. 4.7

Le quantità v , _ρ v e _θ a , _ρ a rappresentano le componenti radiale e trasversa della velocità e_θ dell’accelerazione, rispettivamente.

4.12 Velocità areolare

All’istante t=0 l’elemento materiale si trovi in P*, all’istante t esso sia nel punto P (Fig.6). Si consideri la funzione A(t) che fornisce l’area spazzata dal raggio vettore OP nell’intervallo temporale [0,t]. La derivata temporale di A(t) è la velocità areolare all’istante t.

Come risulta dalla figura 6, valgono le seguenti disuguaglianze:

1 2

1 2

2 2

ρ θ∆ ρ θ

∆

∆

∆

∆

∆ t

A

t t

≤ ≤ ′

dalle quali, passando al limite e tenendo conto che ρ =ρ

→

∆ '

0 t

lim , segue che:

 

A= 1 2

ρ θ2 (4.33)

Utilizzando le formule di conversione tra coordinate polari e cartesiane ed effettuando la derivata temporale della θ(t) tramite le derivate parziali rispetto ad x ed y, dopo alcuni passaggi che vengono omessi, si ottiene la seguente espressione cartesiana per la velocità areolare:

( )

  

A= 1 xy yx−

2 (4.34)

θ θ+∆θ

S

ρ

ρ'

P(t+∆t) y

Fig. 4.8

4.13 Moti centrali

Sono moti per i quali l’accelerazione vettoriale è diretta costantemente verso un punto fisso O.

La definizione implica che:

OP a× ≡& 0 (4.35)

da cui segue:

( )

d OP v dt

dOP

dt v OP dv

dt OP a o

×& = × + × = × ≡

& &

&

e quindi :

OP v× = =& k& t

cos . (4.36)

la quale implica che, durante il moto, il vettore OP(t) rimane costantemente ortogonale al vettore costante k&

e quindi che il moto è piano.

In un moto centrale rimane costantemente nulla, sulla base della definizione, la componente trasversale della accelerazione:

a d

( )

θ ρ dt

=  ρ θ











1 ²

(4.37)

Ciò implica che durante il moto rimanga costante la quantità sotto il segno di derivata, che è uguale al doppio della velocità areolare:

2A = ρ θ² =c (4.38)

Si conclude, quindi, che in un moto centrale rimane costante la velocità areolare.

4. Moto circolare

Si tratta di un moto piano per il quale il raggio vettore OP(t) ha modulo costante (ρ=cost.). Si ha pertanto





θ ρ

=

= ρ

=

θ ρ

v

0 v









θ ρ

= θ ρ + θ ρ

=

θ ρ

−

= θ ρ

− ρ

=

θ ρ

2

a

a ^{2 2}









  (4.39)

Con riferimento al sistema di ascisse curvilinee ed alle notazioni di fig. si ha:

ρθ

=

s ; s= ρθ; s= ρθ

ρ

y

x

Moto circolare uniforme

Essendo costs= ρθ= , risulta a_θ =0. L’accelerazione è quindi diretta costantemente verso un punto fisso (il centro della circonferenza) ed il moto è centrale. Risulta inoltre:

0 0

0 t

dt

dθ =θ ⇒θ=θ +θ (4.40)

In coordinate cartesiane si ha:

( )

( )





θ + θ ρ

=

θ + θ ρ

=

0 0

0 0

t sin y

t cos x





( )

( )





θ + θ ρ θ

=

θ + θ ρ θ

−

=

t os c y

t in s x

0 0 0

0 0 0



 



 

( )

( )





θ + θ ρ θ

−

=

θ + θ ρ θ

−

=

0 0 2

0

0 0 2

0

t sin y

t cos x



 



  (4.41)

Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π, pertanto le coordinate di Q riassumono lo stesso valore se la variabile temporale t è incrementata di una quantità

2 0

T= π θ che rappresenta il periodo temporale del moto. La frequenza νννν rappresenta il numero di cicli effettuati in un secondo ed è quindi data da: ν=1T=θ₀ 2π

Moto armonico

L’elemento materiale P si muova di moto circolare uniforme, la sua proiezione Q su un diametro, assunto come asse delle x, obbedisce alla (4.42):

(

)

ρ θ

−

= cos t

x ²₀ _{0 0} ₀² (4.42)

L’equazione del moto e’ quindi del tipo:

0 x

x+ω² = (4.43)

dove si è posto: ω² =θ²₀

.

La (4.43) è un’equazione differenziale lineare, omogenea a coefficienti costanti. Il suo integrale generale, cioè l’insieme di tutte e sole le sue soluzioni, è il seguente:

(

)

=Asin t )

t (

x (4.44)

dove A e ϕ sono costanti arbitrarie da determinarsi sulla base delle condizioni iniziali (posizione e velocità iniziali).