Cannone su carrarmato
Un carrarmato si muove con velocit`a uniforme vL e spara un proiettile con una velocit`a v0 ed un angolo α rispetto all’orizzontale nel suo sistema di riferimento.
Si determinino la legge oraria, l’equazione della traiettoria, la velocit`a iniziale e la gittata.
Si determini, inoltre, l’angolo α per il quale si massimizza la gittata. Si studino i limiti per vL<< v0 e vL>> v0.
Soluzione
Nel sistema di riferimento assoluto, la velocit`a di corsa e quella di sparo si sommano vettorialmente. Per cui, essendo la velocit`a di corsa diretta solamente lungo x, la velocit`a iniziale `e:
~vi= (vL+ v0cos α, v0sin α) e l’angolo di sparo:
tan θ = v0sin α
vL+ v0cos α = 1 1 +v vL
0sin α
tan α
La legge oraria `e data dalla combinazione dei due moti rettilinei, uni- forme e uniformemente accelerato, rispettivamente lungo l’asse x e y:
x(t) = (vL+ v0cos α)t
y(t) = −12gt2+ v0sin αt (1) Eliminando il tempo t si ricava l’equazione della traiettoria:
y = − g
2(vL+ v0cos α)2x2+ v0sin α
vL+ v0cos αx (2) che, come noto, `e rappresentata graficamente da una parabola con concavit`a rivolta verso il basso.
Per trovare la “gittata” troviamo prima il tempo tGimpiegato per salire e scendere a livello del suolo dalla seconda equazione del sistema 1:
0 = −1
2gt2G+ v0sin αtG → tG= 2v0sin α g 1
Si noti che il tempo non dipende dalla velocit`a di corsa, ma solamente da quella di sparo.
Sostituendo in x(t) si ricava la gittata:
xG= (vL+ v0cos α)2v0sin α g = v02
g sin 2α +2v0vL
g sin α
Il valore αM al quale si massimizza il salto si ottiene dalla condizione:
dxG dα
α=αM
= 0
dxG dα
α=αM
= 2v02 g
cos 2αM +vL
v0 cos αM
Usando l’identit`a trigonometrica cos 2α = 2 cos2α − 1, si ricava una equazione di secondo grado la cui unica soluzione accettabile (in quanto α
`e definito nel primo quadrante) `e:
cos αM = s
vL 2v0
2
+1 2 − vL
2v0
Le condizioni limite sono date da:
vL<< v0 → cos αM = r1
2 → αM = π
4 (3)
e
vL>> v0 → cos αM = 0 → αM = pi
2 (4)
2
