Asta di legno orizzontale colpita da proiettile

Asta di legno orizzontale colpita da proiettile

Figure 1:

Un’asta di legno di massa M e lunghezza l, appoggiata su un piano orizzontale senza attrito, viene colpita da un proiettile di massa m, dotato di velocit`a orizzontale ~v0 perpendicolare all’asta, in un punto a distanza d dal centro (0 < d < l/2). Il proiettile rimane conficcato nell’asta e l’urto pu`o essere considerato istantaneo.

Si determini:

1. il moto dell’asta con il proiettile dopo l’urto;

2. l’energia persa nell’urto anelastico;

3. se esiste o meno un asse di rotazione istantanea e, in caso affermativo, individuarne l’equazione.

Soluzione 1

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Senza perdere di generalit`a, possiamo disporre l’asta lungo l’asse y con il centro sull’origine, mentre il proiettile ha una velocit`a iniziale ~v0 = v0ˆex e colpisce l’asta nel punto di coordinate P ≡ (0, d).

Durante l’urto non agiscono forze esterne al sistema asta+proiettile, per cui si conservano sia la quantit`a di moto che il momento della quantit`a di moto rispetto ad un qualsiasi polo.

Viceversa non si conserva l’energia. Infatti nel calcolo dell’energia mecca- nica vanno incluse anche le forze interne che, in questo caso, sono dissipative:

attrito del legno che blocca la corsa del proiettile.

La quantit`a di moto iniziale `e lungo l’asse x, per cui:

mv0= (m + M )vG (1)

essendo G la posizione del centro di massa del sistema dopo l’urto.

Di conseguenza il centro di massa si muover`a di moto rettilineo uniforme lungo la retta y = yG, essendo yG l’ordinata del centro di massa all’istante dell’impatto:

yG = P m_iyi

P m_i = m

m + Md (2)

Il sistema ruota intorno a G con una velocit`a angolare che si pu`o ricavare dalla conservazione del momento della quantit`a di moto rispetto, ad esempio, al centro di massa G:

−m(d − y_G)v0 = −IGω (3)

dove abbiamo scritto l’unica componente non nulla, cio`e la componente z, e dove abbiamo inteso ω > 0 ed esplicitato il segno “-” dovuto alla rotazione oraria.

Rimane da calcolare il momento di inerzia rispetto al centro di massa.

Risulta:

IG= 1

12M l²+ M y_G² + m(d − yG)² = 1

12M l²+ µd² = IO+ µd² (4) dove abbiamo introdotto la massa ridotta:

µ = mM

m + M

ed abbiamo indicato con I_O il momento della sola asta rispetto al suo bari- centro (=punto centrale).

Usando la massa ridotta, li momento angolare risulta:

m(d − y_G)v₀= µdv₀

da cui possiamo scrivere la velocit`a di rotazione del sistema asta+proiettile intorno al centro di massa come:

ω = µd IG

v0 (5)

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Soluzione 2

La variazione di energia `e data da:

∆E = 1

2(m + M )v_G² +1

2IGω²−1

2mv₀² (6)

Sostituendo i valori di v_Ge ω trovati al punto precedente, e riarrangiando i termini, risulta:

∆E = −1

2µv²₀+1

2µ µd²

I_O+ µd²v²₀ = −1

2µ 1

1 + µd²/I_Ov₀² (7) La perdita di energia `e dovuto alla inelasticit`a dell’urto.

Soluzione 3

E possibile trovare la posizione P del punto di rotazione istantanea sul` piano (x, y) prendendo un punto Q qualunque sul corpo rigido come origine e scrivendo il vettore ~r_{P /Q} = ~QP come:

~r_{P /Q} = ω × ~vQ

ω² (8)

essendo ~v_Q la velocit`a dell’origine del sistema mobile Q rispetto al sistema fisso O.

In questo caso conviene scegliere il centro di massa G, essendo la velocit`a sempre diretta lungo x:

~r_{P /G} = −ωˆe_z× v_Geˆ_x

ω² = −v_G

ω e_y = − I_G

M deˆ_y (9)

La retta passante per questo punto e parallela all’asse z rappresenta l’asse istantaneo di rotazione, cio`e i punti su questo ipotetico asse sono istantaneamente fermi. Ad esempio se invece di un’asta consideriamo un disco solido, facendo le opportune modifiche ai calcoli fatti, P sarebbe un punto del disco intorno al quale, istantaneamento, sta ruotando tutto il corpo rigido.

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