Algebra (Informatica) – 16 dicembre 2003

Algebra (Informatica) – 16 dicembre 2003

Con pi`u di 18 punti si pu`o fare l’orale o accettare il voto dello scritto (30 e lode per chi risolve tutti gli esercizi); con meno di 17 punti si deve rifare lo scritto; con 17 o 18 punti si

`e ammessi all’orale.

1. Trovare il minimo intero positivo x tale che: (4 punti) a) 19x = 7 mod 23

b) 15x = −11 mod 19

Soluzione:

a) x = 7/19 mod 23 = 4 , b) x =−11/15 mod 19 = 17 2. Risolvere in numeri interi la seguente equazione: (4 punti)

22x + 17y =−15

Soluzione:

{x = 14 + 17k, y = −19 − 22k}

3. Trovare tutti i numeri interi x che verificano la seguente coppia di con-

gruenze: (4 punti) ½

x = 16 mod 17 x = 7 mod 23

Soluzione:

La prima relazione fornisce x = 16 + 17N, la seconda x = 7 + 23M (con N e M interi) per cui si ottiene 23M = 9 + 17N ovvero M mod 17 = 9/23 mod 17 = cio`e M = 10 + 17k e, sostituendo, x = 7 + 23× 10 + 23 × 17k : 237 + 391k (con k intero).

4. Risolvere, in campo complesso, l’equazione x³+(12i− 1) x²+(64− 12i) x−64 = 0 (4 punti)

Soluzione:

basta osservare che x = 1 `e una radice, per cui, dividendo:

x³+ (12i− 1) x²+ (64− 12i) x − 64 = (x − 1)¡

x²+ 12ix + 64¢ le radici di (x² + 12ix + 64) sono immediate; in definitiva le tre radici sono:

{x = 1} , {x = 4i} , {x = −16i}

5. Calcolare, in forma trigonometrica, le radici quarte di (−16i) (4 punti)

Soluzione:

e^iπ3/2 =−i per cui le radici quarte richieste sono:

±2 µ

cos3

8π + i sin3 8π

¶ ,±2

µ cos7

8π + i sin7 8π

¶

1

6. Sia un una successione di numeri reali ; trovare un sapendo che: (5 punti) un+2− 2uⁿ⁺¹+ 8un= 0

u0 = 0 u1 = 14

Soluzione:

l’equazione di secondo grado associata `e x² − 2x + 8 = 0, con soluzioni complesse coniugate: n

α = 1 + i√ 7

o ,

n

¯

α = 1− i√ 7

o

la soluzione generale `e quindi: un= Aαⁿ+ ¯Aβⁿ. Le costanti A e ¯A si ottengono da:

u0 = A + ¯A = 0 u1 = Aα + ¯A¯α = 14 Da cui: A = i√

7. In definitiva:

un = i√ 7³

1 + i√ 7´n

− i√ 7³

1− i√ 7´n

Tale espressione rappresenta un intero per ogni n ! Ad esempio:

u4 = 336 7. Trovare tutti gli interi positivi k per cui:

3^kmod 11 = 4 (6 punti).

Soluzione

: basta calcolare, modulo 11, le potenze di 3 fino ad ottenere 1 : 3²mod 11 = 9, 3³mod 11 = 5, 3⁴mod 11 = 4, 3⁵mod 11 = 1 Segue immediatamente che k = 4 + 5N (con N intero non negativo), infatti:

3^4+5Nmod 11 = 3⁴3^5N mod 11 = 4

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