Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo-
sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.
[…] Il testo del primo esercizio è questo:
Usando il principio di induzione provare che per ogni numero naturale n>=2 si ha 1*2+2*3+3*4+4*5+...+(n-1)*n=n(n^2-1)/3
io ho provato a svolgere l esercizio ma i calcoli vengono sbagliati ... riesco a risolvere l esercizio solo per n>=1... Sono io che sbaglio i calcoli o la proprietà è verificata per i numeri maggiori uguali a 1 e non a 2 ...
mi sembra strano un risultato del genere… […]
Il testo corretto è : provare che per ogni numero naturale n≥2 si ha 1⋅2+2⋅3+ 3⋅4+ … (n-1) ⋅n =
3 1) n(n
2−
Deve partire da n=2 , perché così richiede l’esercizio ! La base dell’induzione è :
- il membro di sinistra per n=2 diventa (2-1) ⋅2 = 2 - il membro di destra per n=2 diventa
3 1) 2(2
2−
=2 e la base è provata !
Se lei parte da n=1, il membro di sinistra sarebbe (1-1) ⋅1 = 0 , quello di destra
3 1) 1(1
2−
= 0 L’uguaglianza è vera lo stesso , ma non è quello che richiede il testo dell’esercizio !
Passo dell’induzione :
Ipotesi : 1⋅2+2⋅3+ 3⋅4+ … (n-1) ⋅n =
3 1) n(n
2−
Tesi : 1⋅2+2⋅3+ 3⋅4+ … (n-1) ⋅n + (n) ⋅(n+1) =
3
1)]
1) 1)[(n
(n + +
2−
( ottenuta mettendo n+1 al posto di n nell’ipotesi), ossia
1⋅2+2⋅3+ 3⋅4+ … (n-1) ⋅n + (n) ⋅(n+1) =
3
2) (n)(n 1)
(n + +
(*) 1⋅2+2⋅3+ 3⋅4+ … (n-1) ⋅n + (n) ⋅(n+1) =
3 1) n(n
2−
+ n(n+1) ( usando l’ipotesi) 1. D OMANDA : SULLA PROVA MEDIANTE IL PRINCIPIO DI INDUZIONE
R R
IISSPPOOSSTTAA1
Ma 3 1) n(n2 −
+ n(n+1) =
3
1) 3n(n 1)
n(n
2− + +
= 3
3]
1) 1)[(n
n(n + − +
= 3
2) (n)(n 1)
(n + +
e quindi (*) diventa 1⋅2+2⋅3+ 3⋅4+ … (n-1) ⋅n + (n) ⋅(n+1) =
3
2) (n)(n 1)
(n + +
,
che è esattamente la tesi !
[…] Il testo è questo: Usando il principio di induzione provare che per ogni numero naturale n>=1 si ha 1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n=2-(n+2/2^n)
Ho provato a svolgere l esercizio ma mi sono bloccata quasi subito...
Nella base dell’ induzione viene fuori che 1/2=1/2 quindi è vera; il passo dell’ induzione dovrebbe essere così: 2-(n+2/2^n)+(n+1)/(2^n+1) che poi va confrontato con 2-(n+3/2^n+1)… proprio qui mi fermo non so come andare avanti per risolvere l esercizio… […]
Provare che per ogni numero naturale n≥1 si ha
nn n
n
2 2 2 ... 2
2 3 2
2 2 1
3 2
− +
= + + +
+ .
Come dice lei ‘Nella base dell’ induzione viene fuori che 1/2=1/2 quindi è vera’ : esatto !
Poi lei dice ‘il passo dell’ induzione dovrebbe essere così: n n
2 2 + 2
− + 1
2 1
+
+
n
n che poi va confrontato con
2
12 − n
n+
+3 ’
Esattamente !
E infine scrive ‘non so come andare avanti per risolvere l’ esercizio…’
Si tratta di fare il calcolo algebrico, come a scuola ☺
n
n 2
2 − + 2 + 1
2 1
+
+
n
n = 2- ]
2
) 1 ( ) 2 (
[ 2 + −
+1+
n
n
n = 1
2 2 − n
n+
+3
fatto !
2. D OMANDA : ANCORA SULLA PROVA MEDIANTE IL PRINCIPIO DI INDUZIONE
R R
IISSPPOOSSTTAA2
[…] ho un problema a concludere una dimostrazione per induzione...più precisamente la seconda dimostrazione del foglio di esercizi che ha pubblicato Lei on line.
La dimostrazione è la seguente: Per ogni n >= 1 (n^3) + 2n è divisibile per 3 Ho proceduto in questo modo:
Passo base: Provo con n = 1
1 + 2 = 3 è divisibile per 3 => la proprietà è Vera per n = 1
Passo induttivo: Se la proprietà è vera per un generico n (n >= 1) allora è vera anche per n + 1 Suppongo che la proprietà valga per n, n>=1: n^3 + 2n è divisibile per 3 (ipotesi induttiva) Mostriamo che vale anche per n + 1 (tesi)
Sostituisco n + 1 al posto di n e ottengo:
(n+1)^3 + 2(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 2n + 2 = (n^3 + 2n) + 3n(n+1) + 3
Ora vengono i problemi perchè non so come terminare per dire che (n+1)^3 + 2(n+1) è multiplo di 3...
noi sappiamo che (n^3 + 2n) per ipotesi induttiva è multiplo di 3 però per 3n(n+1)+3 non riesco a capire come fare a dire che anche lui è multiplo di 3. Basta solo dire che 3n(n+1)+3 e' un multiplo in quanto si vede che lo è (c'è tutto moltiplicato per 3) oppure questa non è la strada giusta?
[…] mi è venuto un dubbio risolvendo l'esercizio n. 9
Arrivato alla fine mi trovo con l'uguaglianza (n+1)! [1 + (n+1) ] - 1 = [ (n+2)! ] - 1
Secondo le soluzioni è corretta questa uguaglianza ma non riesco a capire, risolvendo i calcoli, come riesco a passare dal primo al secondo membro.
C'è' per caso qualche regola per cui il primo membro e in particolare questa parte:
(n+1)! [1 + (n+1) ] si trasforma in [ (n+2)! ] ?
3. D OMANDA S ULL ’ INDUZIONE : NON SO CONCLUDERE L’ ESERCIZIO N.2
R
ISPOSTARASSICURANTE
Sì va benone ! per essere più convincenti raccogliamo il 3 : 3n(n+1)+3 = 3 [n(n+1)+1]
fatto ! ora si vede perfettamente che abbiamo a che fare con un multiplo di 3 (come lei ha osservato).
4. D OMANDA S ULL ’ INDUZIONE : UN DUBBIO SUL FATTORIALE NELL ’ ESERCIZIO N.9
R
ISPOSTASì ! ancora un passetto e troviamo:
(n+1)! [1 + (n+1) ] = [(n+1)!] [n+2]
e ora [(n+1)!] [n+2] = [ (n+2)! ] per la definizione stessa di fattoriale.
Infatti :
(n+2)! è il seguente prodotto (n+2)(n+1)(n)(n-1)... (2)(1) (n+1)! è il seguente prodotto (n+1)(n)(n-1)... (2)(1) quindi
(n+2)! = (n+2) (n+1)!
3
[…] A dire la verità ho anche qualche problema a provare con l'induzione affermazioni del tipo:
13 divide 4^(2n+1) + 3^(n+2) per ogni n>o=(maggiore o uguale) 0;
8^n + 6 è divisibile per 3 per ogni n > 0.
5. D OMANDA S ULL ’ INDUZIONE : AFFERMAZIONI DEL TIPO 13 DIVIDE 42 N +1 + 3 N +2 PER OGNI N ≥ 0
R
ISPOSTANella mia soluzione della seconda affermazione ho evidenziato in rosso un possibile artificio che occorre usare per poter applicare l'ipotesi induttiva.
Anche l'altro esercizio ( di cui le allego la risposta tratta dalle dispense di G.
Niesi) richiede un espediente di calcolo e quindi entrambi non sono facili.
L'essenziale è che lei si sia impadronito della tecnica di dimostrazione per induzione, e ciò lo può verificare risolvendo per primi gli esercizi del mio foglio sull'induzione, che trova sulla mia homepage.
8
n+ 6 è divisibile per 14 per ogni n > 0.
Base induzione: per n=1 la proprietà diventa '8+6 è divisibile per 14' , che è vera.
Passo induzione:
Ipotesi : 8
n+ 6 è divisibile per 14 per ogni n > 0 Tesi: 8
n+1+ 6 è divisibile per 14 per ogni n > 0
Partiamo dal numero della tesi 8
n+1+ 6 , dobbiamo fare in modo di 'manipolarlo' in modo da far intervenire il numero 8
n+ 6 dell'ipotesi. Un modo è questo:
Usiamo intanto le proprietà delle potenze : 8
n+1+ 6 = 8⋅8
n+ 6
E poi aggiungendo e togliendo ... possiamo scrivere 8⋅8
n+ 6 = 8 (8
n+6) - 8⋅6 +6.
A questo punto si può usare l'ipotesi induttiva:
8 (8
n+6) - 8⋅6 +6 = 8(14k)- 42 con k ≥ 1 = 8(14k)- (14)(3)
= 14( 8k -3) <--- questo è un multiplo di 14
( 8k-3 è un numero naturale: k≥1 ⇒ 8k-3≥5) . OK !
4
