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II ESONERO DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA 11 Gennaio 1999

ESERCIZIO N^O. 1 [ SISTEMA A DUE LIVELLI ]

L’hamiltoniano di un sistema quantistico a due livelli `e descritto dal seguente operatore:

H | 1i =| 1i + e^iπ/4 | 2i , H | 2i = e^−iπ/4 | 1i

dove | 1i e | 2i sono gli autostati normalizzati di un altro operatore hermitiano A:

A | 1i =√

2 | 1i , A | 2i = −√ 2 | 2i

All’istante t = 0 si esegue una misura dell’osservabile associata all’operatore A e si trova il valore −√

2.

a) Immediatamente dopo si esegue una misura di energia. Qual `e la probabilit`a di trovare il sistema nello stato fondamentale?

b) Come cambia questa probabilit`a eseguendo la misura dopo un intervallo di tempo finito t ?

c) In quali istanti di tempo t > 0 (se esistono) il sistema si ritrova nello stesso stato in cui si trovava al tempo t = 0 ?

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(9)

ESERCIZIO N^O. 2 [ BUCA DI POTENZIALE INFINITA ]

Una particella di massa m `e vincolata a muoversi in una dimensione soggetta all’azione del potenziale:

( V (x) = +∞ , per |x| ≥ L/2 V (x) = 0 , per |x| < L/2 All’istante iniziale la funzione d’onda `e:

ψ(x, t = 0) =

s2 L

cosπx

L − cos3πx L

· θ

x +L 2

θ (−x)

1) Quali, fra i possibili risultati di una misura dell’ energia della particella, hanno probabilit`a non nulla?

2) Determinare le probabilit`a dei primi tre autovalori dell’ Hamiltoniano.

3) Supponendo che il sistema evolva liberamente, determinare la funzione d’onda del sistema ad un tempo t > 0 generico.

4) FACOLTATIVO: Esiste un istante di tempo t > 0 tale che in quell’istante la particella non possa essere trovata nella met`a sinistra del segmento, x < 0? In caso affermativo, quando questo si verifica per la prima volta?

Si ricordi che gli autovalori e le autofunzioni della buca di potenziale considerata sono:

E_n= ¯h²π²

2mL² n² , n = 1, 2, . . .

e: 









ψ_n(x) =

s2 Lsen

nπ L x

, per n pari ψ_n(x) =

s2 Lcos

nπ L x

, per n dispari Definendo inoltre i seguenti integrali:

I_CS(m, n) =

Z

dα cos (mα) sen (nα) I_CC(m, n) =

Z

dα cos (mα) cos (nα) si ha, per m 6= n:

I_CS(m, n) = 1

m²− n² [n cos (mα) cos (nα) + m sen (mα) sen (nα)]

I_CC(m, n) = 1

m²− n² [m cos (nα) sen (mα) − n cos (mα) sen (nα)]

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ESERCIZIO N^O. 1 [ BUCA DI POTENZIALE A DELTA E GRADINO ]

Una particella di massa m priva di spin si muove in una dimensione soggetta al potenziale:

V (x) = −V0a δ(x) − V0θ(x − b) dove V₀, a e b sono costanti positive.

a) Determinare la condizione di esistenza di eventuali stati legati della particella e la cor- rispondente funzione d’onda. Per semplicit`a, in quest’ultima si lasci indicata generi- camente la costante di normalizzazione moltiplicativa.

b) Si consideri il caso limite in cui b → ∞ ed il potenziale in tutto lo spazio assume pertanto la forma V (x) = −V₀a δ(x). Utilizzando i risultati precedentemente ottenuti, determinare l’autovalore dell’energia dell’unico stato legato esistente e la corrispon- dente autofunzione.

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA 7 Giugno 2000

ESERCIZIO N^O. 2 [ BARRIERA DI POTENZIALE A DELTA E COEFFICIENTI R,T ] Un fascio di particelle, di massa m e spin 0, `e vincolato a muoversi in una dimensione soggetto al potenziale V (x) definito da:







V (x) = +∞ per x < 0 V (x) = h¯²λ

2m δ (x − a) per x > 0 con λ ed a costanti positive.

a) Determinare (a meno di una costante di normalizzazione assoluta) le autofunzioni dell’energia del sistema e trovare per quali valori dell’energia tali autofunzioni sono le stesse che si avrebbero in assenza della barriera di potenziale a delta.

b) Assumendo che il fascio incidente si muova da destra verso sinistra, proveniente da x = +∞, calcolare la densit`a di corrente j_i dell’onda incidente sulla barriera di potenziale a delta in x = a e la densit`a di corrente jr dell’onda riflessa da tale barriera. Mostrare inoltre che per il coefficiente di riflessione:

R = j_r

|j_i|

si ottiene il valore R = 1. Sapreste dare una spiegazione di tale risultato?

c) Calcolare a quale valore tende la probabilit`a che una particella si trovi nella regione 0 < x < a quando l’energia del fascio tende a zero.

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(31)

PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA 13 Settembre 2001

ESERCIZIO N^O. 2 [ BARRIERA DI POTENZIALE E COEFFICIENTI R,T ]

Un fascio di particelle di massa m prive di spin, proveniente dalla regione x = −∞, incide con energia E = V0 sulla barriera di potenziale

V (x) =

( 0, per x < 0, x > a V₀, per 0 < x < a

a) Determinare la funzione d’onda delle particelle ed i coefficienti di riflessione e trasmissione.

b) Determinare la probabilit`a relativa che le particelle si trovino rispettivamente nelle regioni 0 < x < a ed a < x < 2a.

c) Utilizzando i risultati ottenuti al punto a), determinare la funzione d’onda ed i coefficienti di riflessione e trasmissione nel limite in cui la lunghezza a della barriera tende ad infinito (gradino di potenziale).

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(37)

PROVA DI ESAME DI FISICA QUANTISTICA 16 Settembre 2002

ESERCIZIO [ PARTICELLA SU UNA CIRCONFERENZA ]

Una particella di massa m, priva di spin, `e vincolata a muoversi su di una circonferenza di raggio R, posizionata nel piano x y e centrata nell’origine. L’Hamiltoniana che descrive la particella `e pertanto

H = p²_ϑ

2 mR² = − h¯² 2 mR²

d² dϑ²

dove ϑ rappresenta l’angolo polare che definisce la posizione della particella sulla circonferenza e p_ϑ= −i ¯h d/dϑ `e il suo momento coniugato, coincidente con la componente lungo l’asse z del momento angolare della particella.

All’istante iniziale t = 0, la particella si trova nello stato descritto dalla funzione d’onda ψ (ϑ) = N (1 + cos ϑ)

dove N `e una costante di normalizzazione.

a) Verificare che le funzioni

ϕ_`(ϑ) = 1

√2π e^i`ϑ, ` = 0, ±1, ±2, . . .

sono autofunzioni simultanee del momento p_ϑ e dell’Hamiltoniana H, calcolarne i corrispondenti autovalori ed il relativo livello di degenerazione.

b) Determinare i possibili risultati di una misura dell’energia della particella, le rispettive probabilit`a ed il valore medio dell’energia.

c) Scegliendo per convenzione l’angolo ϑ compreso nell’intervallo [−π, π], calcolare il valore medio di ϑ all’istante t = 0 e giustificare il risultato ottenuto studiando il grafico della distribuzione |ψ (ϑ)|².

d) Calcolare, all’istante iniziale t = 0, il valore dell’indeterminazione ∆ϑ =hϑ²i − hϑi²^1/2. e) Verificare che l’operatore velocit`a angolare ˙ϑ = dϑ

dt `e legato alla componente z del momento angolare dalla relazione classica pϑ = mR²ϑ.˙

f ) FACOLTATIVO: Verificare che, nello stato della particella, la velocit`a angolare ha valore medio (indipendendente dal tempo) nullo e pertanto il valore medio dell’angolo ϑ risulta costante nel tempo:

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Verificare questo risultato mediante un calcolo esplicito del valore medio hϑi_tal tempo generico t.

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(44)

ESERCIZIO N^O. 1 [ OSCILLATORE ARMONICO ]

Un oscillatore armonico lineare di massa m e pulsazione ω si trova al tempo t = 0 in uno stato tale che a) misurando l’osservabile aa^† si trovano solo i valori 1 e 3; b) il valore medio di a^†a `e 1/2 e quello di aa + a^†a^† `e zero.

1) Determinare lo stato pi`u generale che obbedisce a queste condizioni.

2) Calcolare in funzione del tempo il valore medio dell’energia potenziale.

3) Se un tale oscillatore si trova ad un dato istante nello stato la cui funzione d’onda è quella dello stato fondamentale di un oscillatore di uguale massa e pulsazione 2ω, qual è la probabilità che misurando l’energia a tale istante si trovi ¹₂¯hω, cioè quella del suo stato fondamentale?

Si ricordi che la funzione d’onda dello stato fondamentale di un oscillatore armonico di massa m e pulsazione ω `e:

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(49)

ESERCIZIO N^O. 2 [ OSCILLATORE ARMONICO ]

Un oscillatore armonico di massa m e frequenza ω si trova, all’istante iniziale t = 0, in uno stato che non contiene stati pi`u eccitati del secondo:

| ψ₀i = α | 0i + β | 1i + γ | 2i

Si sa inoltre che il valore medio dell’energia `e hEi = 3/4 ¯hω e che il valore medio della posizione, ad un qualunque istante di tempo t successivo, `e nullo ed indipendente dal tempo: hxi_t= hψ_t | x | ψ_ti = 0.

a) Mostrare che le suddette condizioni non sono sufficienti a determinare univocamente lo stato iniziale | ψ₀i e derivare l’espressione pi`u generale risultante per tale stato.

b) Individuare una possibile misura di un’osservabile fisica che consenta di determinare completamente lo stato | ψ₀i, dimostrandone l’efficacia in tal senso.

c) FACOLTATIVO: l’indipendenza dal tempo del valore medio di x sullo stato | ψ_ti im- plica:

d

dt hψ_t| x | ψ_ti ≡ hψ_t| dx

dt | ψ_ti = i

¯

h hψ_t | [H, x] | ψ_ti = 0

Esprimendo l’operatore dx/dt in termini degli operatori di creazione e distruzione, a ed a^†, dimostrare che vale l’equazione del moto:

dx dt = p

m

dove p `e l’operatore impulso, e che il valore medio di tale operatore sullo stato | ψ_ti

`e effettivamente nullo.

(50)

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PROVA DI ESAME DI ISTITUZIONI DI FISICA TEORICA 5 Febbraio 2001

ESERCIZIO N^O. 2

[ OSCILLATORE ARMONICO BIDIMENSIONALE E TEORIA DELLE PERTURBAZIONI ] Una particella di massa m e priva di spin `e vincolata a muoversi in due dimensioni soggetta ad un potenziale centrale di tipo armonico. L’hamiltoniana che descrive la particella `e pertanto:

H = p²_x

2 m + p²_y 2 m + 1

2m ω²(x²+ y²)

La particella si trova in uno stato tale che: 1) una misura dell’energia fornisce con certezza il risultato E = 2 ¯h ω; 2) il valore medio dell’operatore A = x y `^b e uguale ad ¯h/(2 m ω); 3) il valore medio dell’operatore B = x^b ²− y² `e nullo.

a) Determinare lo stato della particella.

b) Si supponga di aggiungere all’hamiltoniana una perturbazione della forma V = λB.^b Calcolare le correzioni al primo ordine in λ agli autovalori dell’energia dello stato fondamentale e del primo livello eccitato, discutendo l’eventuale rimozione della degenerazione.

c) Calcolare le espressioni esatte dei suddetti autovalori e confrontare i risultati con quelli ottenuti in teoria delle perturbazioni.