Prova scritta di Meccanica Razionale - 03.09.2019
Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . . C.d.L.: . . . . Anno di Corso: 2 3 altro
FILA 1
Esercizio 1. Nel piano Oxy si consideri un corpo rigido, costituito da un’asta non omogenea AB, di massa m e lunghezza 3L, avente densit` a ρ(P ) = k|P − A| , (k > 0), inclinata di un angolo α = π/6 rispetto all’asse positivo delle ascisse, da un’asta omogenea BC, di massa 2m, e da un’asta omogenea AD, di massa m e lunghezza L (vedi figura). Si chiede di determinare:
1. le coordinate del baricentro G del corpo rigido (punti 4);
2. il momento d’inerzia I
Oydel corpo rigido rispetto all’asse Oy (punti 8).
O x
y
C
A
B
D
π61
Esercizio 2. In un piano orizzontale Oxy, si consideri un sistema materiale rigido costituito da: un anello omogeneo C, di centro C massa m e raggio R, incernierato nell’origine O del riferimento, un’asta omogenea, di massa m e lunghezza 2R, saldata al diametro OA di C, e un punto materiale P , di massa m, saldato a C nel punto D tale che il raggio CD sia perpendicolare ad OA. Sull’asta OA agisce la forza elastica ~ F
B= −k(B − B
′), con k = 8mg
9R , B punto medio del raggio CA e B
′proiezione ortogonale di B sull’asse Ox, mentre sull’anello C agisce una coppia di momento ~ M = mg (O − C) × ~ı, con ~ı versore dell’asse Ox.
O
A B
B
′D
C ϕ
x
y
Supposto il vincolo liscio e scelto il parametro lagrangiano ϕ = A ˆ Oy
+, ϕ ∈ [0, 2π), come indicato in figura, si chiede:
1. determinare la funzione potenziale delle forze attive agenti sul sistema (punti 3);
2. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema (punti 4);
3. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio del sistema (punti 4);
4. determinare l’energia cinetica del sistema (punti 3);
5. scrivere l’equazione differenziale del moto del sistema (punti 2);
6. disegnare il diagramma di fase (punti 4).
Avvertenze:
1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
2. Durata della prova: 150 minuti.
3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.
2
Soluzioni Esercizio 1
1. il baricentro G coincide con O
2. momento d’inerzia rispetto ad Oy: IOy= 39 8 mL2 Esercizio 2
1. potenziale U delle forze attive:
U= −mgRcos2ϕ − mgRsinϕ + c 2. quattro posizioni di equilibrio:
ϕ1=π
2; ϕ2= 3π
2 ; ϕ3=π
6; ϕ4=5π 6 ϕ1,2stabili e ϕ3,4instabili
3. energia cinetica:
T =8 3mR2ϕ˙2 4. equazione differenziale del moto:
¨ ϕ+ 3g
16Rcosϕ(1 − 2sinϕ) = 0 5. diagramma di fase:
ϕ1,2centri e ϕ3,4selle
