Prova scritta di Meccanica Razionale - 18.06.2019
Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . . C.d.L.: . . . . Anno di Corso: 2 3 altro
FILA 1
Esercizio 1. Nel piano Oxy si consideri un corpo rigido, costituito da tre aste omogenee: AB, di massa 2m e lunghezza 4L, AC, di massa m e lunghezza 2L, e CD, di massa m e lunghezza 4L (vedi figura).
Si chiede di determinare:
1. le coordinate del baricentro G del corpo rigido (punti 2);
2. la matrice d’inerzia I
Odel corpo rigido rispetto al riferimento Oxyz, con Oz ortogonale al piano Oxy (punti 10).
O x
y
A
B C
D
1
Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale rigido pesante costituito da: un anello omogeneo C, di centro C massa m e raggio R, incernierato nell’origine O del riferimento, un’asta omogenea, di massa m e lunghezza 2R, saldata al diametro OA di C, e un punto materiale P , di massa m, saldato a C nel punto D tale che il raggio CD sia perpendicolare ad OA. Oltre alle forze peso, sull’asta OA agisce la forza elastica ~ F
B= −k(B − B
′), con k = α mg
3R , (α > 0), B punto medio del raggio CA e B
′proiezione ortogonale di B sull’asse Ox, mentre sull’anello C agisce una coppia di momento ~ M = mg (O − C) ×~ı, con ~ı versore dell’asse Ox.
O
B A B
′D θ C
x
y
Supposto il vincolo liscio e scelto il parametro lagrangiano θ = A ˆ Oy
+, θ ∈ [0, 2π), come indicato in figura, si chiede:
1. determinare la funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sul sistema (punti 5);
2. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema in funzione di α (punti 4);
3. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio del sistema in funzione di α (punti 4);
4. calcolare la reazione vincolare esterna all’equilibrio (punti 2);
5. determinare l’energia cinetica del sistema (punti 3);
6. calcolare le pulsazioni principali delle piccole oscillazioni attorno alla configurazione di equilibrio stabile nel caso in cui α = 2 (punti 2).
Avvertenze:
1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
2. Durata della prova: 150 minuti.
3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.
2
Soluzioni Esercizio 1
1. coordinate del baricentro: G((5 −√ 3) 4 L;3
4L) 2. momento d’inerzia: IOx= 8 mL2
3. momento d’inerzia: IOy=40 3 mL2 4. momento d’inerzia: IOz= 64
3 mL2 5. prodotto d’inerzia: Ixy= (2√
3 − 6)
3 mL2
Esercizio 2
1. potenziale U delle forze attive:
U = 3mgRcosθ −3
8mgαRcos2θ + c 2. quattro posizioni di equilibrio:
θ1= 0 , θ2= π , θ3,4= ±arccos(4/α) che esistono se α ≥ 4 3. stabili:
θ1se α < 4 , θ3,4se α > 4 4. instabile:
θ2
5. punto di biforcazione stabile:
α = 4 6. reazione vincolare esterna in O all’equilibrio:
Φ~O(θ1) = mg(α 2 − 3)~j Φ~O(θ2) = −mg(α
2 + 3)~j
~ΦO(θ3,4) = −mg~j 7. energia cinetica:
T = 8 3mR2θ˙2 8. pulsazione principale in θ1:
ω2= 9g 32R
