Lezione 6 Decadimenti dei nuclei Radioattività naturale Larghezza del decadimento

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 1

Lezione 6

Decadimenti dei nuclei Radioattività naturale

Larghezza del decadimento

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2016/17

Nuclei stabili e instabili

In natura esistono circa 270 nuclei stabili circa 1000 nuclei instabili.

In laboratorio si sono prodotti artificialmente circa 1500 nuclei instabili.

Radioattività = trasformazione spontanea o indotta (à radioattività naturale o artificiale) dei nuclei con emissione di radiazione corpuscolare o elettromagnetica

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 3

•  Il decadimento radioattivo è un processo casuale.

•  La probabilità di decadimento nell’unità di tempo è costante.

•  E’ una proprietà della specie nucleare e del tipo di decadimento e non dipende dal tempo.

In una sostanza contenente N nuclei la probabilità di decadimento del singolo nucleo nell’unità di tempo non dipende da N

λ  è chiamata costante di disintegrazione, si misura in s^-1 ed è una caratteristica del processo. Se un nuclide ha più di un modo di decadimento λ è la somma delle costanti di decadimento di ciascun modo.

Se al tempo t ci sono N(t) nuclei, il numero di nuclei che decadono fra t e t+dt è dP

dt =

λ

Legge del decadimento radioattivo

n 2

1+λ +... λ λ

= λ

N(t)dP

dt dt = N(t)

λ

N = −

λ

La vita media τ

è il tempo dopo il quale non è ancora decaduta una frazione pari ad 1/e dei nuclei iniziali.

Il tempo di dimezzamento T_½ è il tempo necessario affinché la popolazione iniziale di nuclei radioattivi si riduca della metà

τ =

t dN

0

∞

∫

dN

0

∞

∫

=

te^−λt dt

0

∞

∫

e^−λtdt

0

∞

∫

= 1

λ ⇒

N

2 = N T ( )

^{= N}

^e

T_1/2

τ

⇒ T

= τ ln(2) = 0.693 τ

N(t) = N

e

N(τ ) N

= 1

τ = 1 e

λ

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 5

235U 7.1×10⁸ anni

238U 4.5×10⁹ anni

Tempi di dimezzamento

Attività

L’attività di un campione radioattivo è definita come il numero di processi di decadimento subiti dal campione nell’unità di tempo.

A(t) = dN

dt = λ ^N

A(t) = λ N(t) = λ ^N

^e

= A

e

L’attività di un campione dipende dalla quantità di atomi radioattivi (e quindi dalla massa) del campione.

Unità di misura

Becquerel 1 Bq = 1 disintegrazione/s

Curie (Ci) è l’attività di 1 g di radio (α: ²³⁴ Ra à ²³⁰ Rn, T_1/2 = 1620 anni) 1 Ci = 3.7×10¹⁰ Bq

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 7

Es: calcolare la vita media del ¹⁴⁷₆₂Sm se si misura

A=680 Bq da 1 g di Sm

Misura di vita media

Vite medie lunghe è Variazione trascurabile di attività nel tempo

è 1 sola misura di attività + 1 misura di massa (m massa del campione, M peso atomico)

A = N

τ ^⇒

τ = N

A = m N_A

A M =1× 6.02×10²³

680 ×147 = 6.02×10¹⁸s =1.91×10¹¹y

Vite medie brevi èVariazione apprezzabile di attività nel tempo è 2 misure di attività (a tempi t₁ e t₂ e per un tempo Δt)

C

= A(t)

t₁ t₁+Δt

∫ ^{dt = A}

^e

^{⎡⎣ −e}

^{+1 ⎤⎦} ⎯

⎯⎯ → λ Δt A

e

C

= A(t)

t₂ t₂+Δt

∫ ^{dt = A}

^e

⎡⎣ ^−e

⁺¹ ⎤⎦ ⎯

⎯⎯ → λ Δt A

e

C

C

= e

⇒

Es: 2 misure a 24 h di distanza

per 30 min C₁=9800 C₂=7380 Bq

τ = 24 × 3600 ln 9800

7380

= 304645s = 3.5 d

τ =

(

)

ln C₁ C₂

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

τ = N

A = m N

A M

Decadimento α

Dalla conservazione dell’ energia nel decadimento

segue che il decadimento è possibile solo se

Inoltre applicando anche la conservazione della quantità di moto

si ricava che l’energia cinetica della particella α è determinata univocamente

€

Z

A

X

→

Y

+

He

E

= E

+ E

M

= M

+ T

+ M

+ T

Q = M

− M

− M

= T

+ T

M

v

+ M

v

= 0

Q > 0 ⇒ M

> M

+ M

Q = T

+ T

= ( M

v

)

2M

+ T

= ( M

v

)

2M

+ T

= M

M

+1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟T

T

= M

M + M Q ≈ A − 4

A Q

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 9

Schema di decadimento α del ²²⁸Th seguito da diseccitazione γ.

Sono possibili più righe α

•  Quali nuclei decadono α? Riscriviamo Q in termini delle energie di legame

La condizione Q>0 è soddisfatta se

Studiando il grafico B/A vs. A, tale condizione è verificata per nuclei con A>150

•  Le vite medie dei nuclei che decadono con emissione α variano da 10 ns a 10¹⁰ anni. Come si spiega questa estrema variabilità per lo stesso fenomeno fisico?

Q = M

− M

− M

= M (A, Z ) − M (4, 2) − M (A − 4, Z − 2) = Q = −B(A, Z) + B(A − 4, Z − 2) + B(4, 2)

B(4, 2) > B(A, Z) − B(A − 4, Z − 2)

106X

64G d ⁹²U

100F m

76O s

84P o

10

logT1

2 = a + b Q_α Legge di Geiger-Nuttall (1912)

Le vite medie dei radionuclidi dipendono fortemente all’energia cinetica delle α emesse.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 11

Teoria del decadimento α formulata da Gamow, Condon, Gurney (1929)

Si basa su meccanica quantistica: la probabilità di decadimento è legata alla probabilità che una particella α (formatasi nel nucleo dal legame di 2 p e 2 n nel livello di Fermi) possa attraversare per effetto tunnel la barriera coulombiana del nucleo.

β è la velocità della particella α uscente dal nucleo v₀ è la velocità della particella α all’interno del nucleo R è il raggio del nucleo

α  la costante di struttura fine

La dipendenza del fattore G dall’energia della particella α spiega perché piccole differenza in energia si traducono in grandi differenze di vita media.

La teoria dimostra la legge di Geiger-Nuttall osservata sperimentalmente.

La probalità di fuga della particella α dal nucleo per effetto tunnel è

P = 1

τ ^{= w}

v

2R e

Probabilità che α sia

formata nel nucleo Collisioni per unità di tempo contro la barriera

Prob. di trasmissione attraverso barriera

G = 1

! 2m E −V

R r₁

∫

⁽

⁾

α

Fattore di Gamow ⇒ ln P ∝ − 1

T_α

Legge di Geiger-Nuttall

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 13

Dalla conservazione dell’energia nel decadimento

dove M_X e M_Y sono le masse dei nuclei e si è tenuto conto che la massa del neutrino è trascurabile, segue che il decadimento è possibile solo se

Decadimento β

E

= E

+ E

+ E

M

= m

+ T

+ m

+ T

+ M

+ T

Q = M

− m

− m

− M

≈ M

− m

− M

β

β

Z

A

X

→

Y

+ e

+ ν

Z

A

X

→

Y

+ e

+ ν

Q > 0 ⇒ M

> m

+ M

La condizione sul Q-value, espressa in termini della masse atomiche (M) diventa

I decadimenti avvengono si spiegano con i decadimenti mediati dall’interazione debole

può avvenire anche al di fuori del nucleo

può avvenire solo all’interno del nucleo (m_p<m_n)

in cui si conservano oltre al quadrimpulso anche:

•  la carica elettrica

•  Il momento angolare totale

•  il numero barionico (+1 per protone e neutrone)

•  il numero leptonico (+1 e^- ν, -1 e⁺ ν-bar)

Μ(A, Z) > Μ(A, Z +1) + m

β

β

Μ(A, Z ) > Μ(A, Z −1) + 2m

n → p + e

+ ν

e

n

p → +

+ ν

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 15

Q = M

− m

− m

− M

= T

+ T

+ T

Q ≈ T

+ T

⇒ Q ≈ T

La presenza del neutrino spiega lo spettro continuo dell’elettrone prodotto: infatti l’energia disponibile è suddivisa tra elettrone e neutrino.

L’energia massima dello spettro corrisponde al Q-valore della reazione

dove si è tenuto conto che l’energia di rinculo del nucleo Y (M_Y>>m_e) è trascurabile.

La massa del neutrino determina la derivata dello spettro nell’end-point

Number of electrons

Q-value del decadimento

Number of electrons

Q-value del decadimento

Si possono studiare i decadimenti β e la stabilità dei nuclei per mezzo delle parabole di massa.

Fissato il numero di massa A (nuclei isobari), il grafico della massa dei nuclei in funzione di Z è una parabola

Il minimo della parabola si trova per un nucleo (stabile) con Z=Z_min

M

(A, Z) = Z m

+ A − Z ( ) ^m

^{− B(A, Z)}

B(A, Z ) = a_VA − a_SA^2/3 − a_C Z (Z −1)

A^1/3 − a_A

(

)

4A + δ

A^1/2

∂ ^M

^{(A, Z )}

∂ Z = m

− m

− −a

2Z

A

+ a

1

A

+ a

(A − 2Z) A

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 0

Z

= m

− m

+ a

A

+ a

2 a (

A

+ a

A

)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 17

Nuclei A dispari: δ=0 una sola parabola di massa

Un solo nucleo stabile nel minimo della parabola di massa.

β^- ramo sinistro β⁺ ramo destro

Nuclei A pari: due parabole pari-pari δ<0

dispari-dispari δ>0

Si possono avere due o più isobari stabili. Quasi sempre sono pari-pari.

Solo 4 nuclei dispari-dispari stabili:

2H, ⁶Li, ¹⁰B, ¹⁴N

Cattura di un elettrone orbitale da parte di un protone del nucleo

A seguito della cattura elettronica viene lasciato un buco nella struttura a shell atomica (di solito shell K, più vicino al nucleo) con conseguente emissione di raggi X caratteristici o elettroni Auger.

La conservazione dell’energia implica che dove ε è l’energia della shell atomica

dell’elettrone catturato.

Electron capture (EC)

Z

A

X

+ e

→

Y

+ ν

p + e

→ n + ν

M (A, Z ) > M (A, Z −1) + ε

Processo competitivo con β⁺, quando la differenza fra le masse è piccola (<2m_e), p e r c h é f a v o r i t o energeticamente.

2m_e c²

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 19

Diseccitazione γ

•  Transizione di un nucleo da uno stato ad energia più alta ad uno stato ad energia più bassa emettendo un fotone di energia pari alla differenza di energia fra gli shell nucleari.

•  Avviene generalmente dopo un decadimento α o β, in cui il nucleo discendente viene prodotto in uno stato eccitato e si diseccita gamma .

•  L’emissione del fotone γ avviene in tempi dell’ordine 10^-10 -10^-20 s.

•  γ emessi monocromatici con energie comprese fra ~100 keV e pochi MeV.

27

60Co → ₂₈⁶⁰Ni^* + e⁻ +ν_e ↓ ⁶⁰₂₈Ni +γ

Esempio di decadimento gamma

Z

A

X

→

X

+ γ

Conversione interna

La diseccitazione nucleare può anche avvenire per conversioni interne.

In questo caso l’energia della diseccitazione è trasferita ad un elettrone atomico che viene emesso con un’energia cinetica pari alla differenza fra l’energia dello stato eccitato del nucleo e l’energia di legame dell’elettrone.

Elettroni monoenergetici tra ~100 di keV a qualche MeV.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 21

Sorgenti di radiazione

Processo Particella Spettro Range energia

Decadimento β⁺ β^- e^± Continuo keV-MeV

Decadimento α ⁴He Mono-energetico 4-9 MeV Frammenti di fissione nuclei Continuo 30-150 MeV Diseccitazione atomica fotoni X Mono-energetico eV-keV Diseccitazione atomica

(elettroni Auger)

e^- Mono-energetico eV-keV

Diseccitazione nucleare fotoni γ Mono-energetico keV-MeV Diseccitazione nucleare

(Conversione interna)

e^- Mono-energetico ~ 100 keV

Reazioni nucleari n Continuo o

mono-energetico

keV-MeV

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 23

Radioattività naturale

Sorgenti extraterrestri è Raggi cosmici

Radionuclidi naturali cosmogenici prodotti da reazioni nucleari tra raggi cosmici e atmosfera

Sorgenti terrestri è Radionuclidi naturali primordiali

Presenti nella crosta terrestre dalla formazione del Sistema Solare (4·10⁹ anni)

Raggi cosmici

I raggi cosmici che colpiscono lo strato esterno dell'atmosfera sono detti raggi cosmici primari e sono principalmente protoni di alta energia.

Nel loro rapido viaggio verso la superficie terrestre, essi collidono con gli atomi nell'aria, creando sciami di nuove particelle e di antiparticelle che costituiscono i raggi cosmici secondari. Questo fenomeno è all'origine della pioggia cosmica che investe la terra.

Dalla sua analisi, negli anni '30, furono scoperte il positrone, la prima particella di antimateria, e le prime particelle elementari, il pione e il muone.

All'interno della pioggia cosmica ci sono anche neutrini.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 25

Famiglie radioattive naturali

Tre famiglie radioattive presenti in natura, in equilibrio secolare, con capostipiti a vita media ≈ a quella della Terra (10⁹ anni) e >> di quella dei discendenti

è Decadimenti a catena

Serie dell’Uranio (famiglia 4n+2) capostipite:

T_1/2=4.5×10⁹ anni

Serie dell’Attinio (famiglia 4n+3) capostipite:

T_1/2=7.13×10⁸ anni

Serie del Torio (famiglia 4n) capostipite:

T_1/2=1.4×10¹⁰ anni

90 232

Th

92 238U

92 235U

Equilibri radioattivi nella catene di decadimento

Es. catena radioattiva:

A → B→ C (stabile)

Se N_b(0)=0 e N_c(0)=0, la soluzione del sistema di equazioni differenziali è

N

(t) = N

(0)e

N

(t) = N

(0) λ

λ

− λ

^e

−λ_at

− e

⎡⎣ ⎤⎦

N

(t) = N

(0) 1+ 1

λ

− λ

( λ

^e

− λ

^e

)

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

€

dN

dt = − λ

^N

dN

dt = λ

^N

− λ

^N

dN

dt = λ

^N

⎧

⎨

⎪

⎪ ⎪

⎩

⎪

⎪ ⎪

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 27

€

dN

dt = 0 → t

=

ln λ

λ

λ

− λ

€

λ

N

(t

) = λ

N

(t

)

Ad ogni altro istante

€

λ

N

(t)

λ

N

(t) = λ

λ

− λ

^{1− e}

−(λ_B−λ_A)^t

[ ]

•  Se λ_B>λ_A e t>t_max èEquilibrio transitorio

•  Se λ_B>>λ_A èEquilibrio secolare

€

λ

N

= λ

N

λ

^N

λ

^N

⁼

λ

λ

− λ

^>1

Serie del Torio

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 29

Serie dell’Attinio

Serie dell’Uranio

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 31

Se un corpo contiene nuclei radioattivi quando si forma, il decadimento dei nuclei scandisce il trascorrere del tempo come un’orologio.

Un’applicazione importante della radioattività naturale è la datazione radioattiva, essa utilizza la radioattività naturale per la determinazione dell’età di campioni archeologici o geologici

( )

anni 5730

anni 8268

2 / 1

14

=

= T

τ C

Es. datazione radiometrica basata sul ¹⁴C serve per stabilire da quanto tempo una sostanza vivente è morta (va bene per reperti archeologici)

Quando un organismo vivente muore non assorbe più ¹⁴C la cui percentuale diminuisce esponenzialmente con la legge

costante a causa della produzione di

nell’atmosfera

( )

( ⁺ ) ⁼

+ n p

C

n p

C

6 6

8 6

12 14

14

N→

C

( )

( ) ⁰

14

t C

C

t N e

N =

Es. datazione radiometrica basata sull’ serve per stabilire l’età delle rocce. ²³⁸₉₂

U

Datazione radiometrica

In meccanica quantistica la funzione d’onda di uno stato stazionario di energia E_n evolve nel tempo come

Se l’energia E_n dello stato è reale à

cioè la probabilità è costante e la particella resta nello stato stazionario.

Se la particella è instabile, la probabilità di decadimento si calcola con la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo. Lo stato non è più stazionario e il suo autovalore è modificato aggiungendo una parte immaginaria

cosicché la probabilità di trovare la particella nello stato decresce esponenzialmente nel tempo come atteso dalla legge del decadimento radioattivo

La larghezza del decadimento rappresenta l’indeterminazione dell’energia dello stato non-stazionario.

E

⇒ E

− 1 2 iΓ

ψ

(t)

= ψ

(0)

ψ

(t)

= ψ

(0)

exp − Γ

! t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ Γ

! = λ = 1 τ ψ

(t) = ψ

(0) exp −i E

t

!

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Distribuzione di Breit-Wigner

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 33

La funzione d’onda di uno stato non stazionario di energia centrale E_n che decade con larghezza Γ è

La trasformata di Fourier della funzione d’onda è

Facendo la sostituzione di variabili

si ottiene

ψ

(t) = ψ

(0) exp −i E

! − i Γ 2 !

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟t

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

g(ω) = ψ_n

( )

2π ^{exp −i} E_n

! − i Γ 2!

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟t

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

0

∞

∫

^{( )}

β ^{= Γ}

2 ! α ^{= !} ω − E

!

g( ω ) = ψ

( ) ⁰

2 π ^e

iαt

e

0

∞

∫ ^dt

e

e

0

∞

∫ ^{dt = −} _β ^{1 e}

^e

0

∞

+ i α

β ^e

iαt

e

0

∞

∫ ^{dt =} _β ^{1 + i} _β ^{α e}

^e

0

∞

∫

1− i α β

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ e

e

dt

0

∞

∫ ⁼ _β ¹

e^iαte^−βt dt

0

∞

∫

_β

_α

2! − i

!

(

ω

)

i!

i! = i!

!

ω

( )

2

g( ω ) = ψ

( ) ⁰

2 π

i !

! ω − E

( ) ^{+ i Γ} ₂

Calcoliamo l’integrale per parti

In definitiva trasformata di Fourier della funzione d’onda è

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 35

La probabilità P(E) di avere uno stato che decade centrato su E_n e di larghezza Γ è

La probabilità deve essere normalizzata per cui introduciamo una costante C tale che si abbia

Ricaviamo il valore di C

L’energia di uno stato che decade non è definita ma ha una distribuzione attorno al valore centrale En

1 = C !

ψ

( ) ⁰

2 π

dE E − E

( )

^{+ Γ}

2

4

−∞

∞

∫ ^{= C !}

2

ψ

( ) ⁰

2 π

2

Γ 4

Γ

( E − E

)

⁺¹

−∞

∞

∫ ^{d ⎛} _⎝ ^{⎜ 2E} _Γ ^⎞ _⎠ ^⎟

= C !

ψ

( ) 0

π Γ arctan 2

Γ ( E − E

)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

∞

= C !

ψ

( ) 0

Γ ⇒ C = Γ

!

ψ

( ) ⁰

P(E) ∝ g

( ω ^)g( ω ) = !

2 π

ψ

( ) ⁰

E − E

( )

^{+ Γ}

2

4

C P(E)

−∞

∞

∫ ^{dE = 1}

La forma della curva prende il nome di Breit-Wigner o Lorentziana.

Γ  è la larghezza a metà altezza della curva.

La larghezza di uno stato instabile deriva dal principio di indeterminazione di Heisemberg

Γ τ ≈ ! ⇒ Γ ≈ ! τ

P(E) = 1 2 π

Γ E − E

( )

^{+ Γ}

2

4

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 37

La vita media degli stati eccitati di un nucleo (quindi il tempo di emissione-assorbimento di un fotone gamma) è compresa tra 10^-9 e 10^-15 s

La vita media degli stati eccitati di un atomo (quindi il tempo di emissione-assorbimento di fotoni) è circa tra 10^-8 s

Poiché λ rappresenta la probabilità di decadimento per unità di tempo da uno stato iniziale

|i> ad un uno stato finale |f>, λ (e quindi la vita media) si può calcolare dalla regola d’oro di Fermi

Γ= !

τ = !c

10

c = 197.3 [MeVfm]

10

[s] 3×10

×10

[fms

] = 6.6 ×10

eV

Γ= !

τ = !c

10

c = 197.3 [MeVfm]

10

[s] 3×10

×10

[fms

] = 6.6 ×10

eV

Γ

! = λ = 1 τ ⁼

2 π

! f H

i

ρ ( ) ^E

Risonanze nucleari

n +¹⁶O → ¹⁷O

Le risonanze corrispondono a stati eccitati di ¹⁷O

n +²³⁸₉₂U → ₂⁴He + ²³⁵₉₀Th

Le risonanze corrispondono a stati eccitati di ²³⁹U