Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 1
Lezione 6
Decadimenti dei nuclei Radioattività naturale
Larghezza del decadimento
Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro
a.a. 2016/17
Nuclei stabili e instabili
In natura esistono circa 270 nuclei stabili circa 1000 nuclei instabili.
In laboratorio si sono prodotti artificialmente circa 1500 nuclei instabili.
Radioattività = trasformazione spontanea o indotta (à radioattività naturale o artificiale) dei nuclei con emissione di radiazione corpuscolare o elettromagnetica
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 3
• Il decadimento radioattivo è un processo casuale.
• La probabilità di decadimento nell’unità di tempo è costante.
• E’ una proprietà della specie nucleare e del tipo di decadimento e non dipende dal tempo.
In una sostanza contenente N nuclei la probabilità di decadimento del singolo nucleo nell’unità di tempo non dipende da N
λ è chiamata costante di disintegrazione, si misura in s-1 ed è una caratteristica del processo. Se un nuclide ha più di un modo di decadimento λ è la somma delle costanti di decadimento di ciascun modo.
Se al tempo t ci sono N(t) nuclei, il numero di nuclei che decadono fra t e t+dt è dP
dt =
λ
Legge del decadimento radioattivo
n 2
1+λ +... λ λ
= λ
N(t)dP
dt dt = N(t)
λ
dt = −dN = N(t) − N(t + dt) ⇒ dNN = −
λ
dtLa vita media τ
è il tempo dopo il quale non è ancora decaduta una frazione pari ad 1/e dei nuclei iniziali.
Il tempo di dimezzamento T½ è il tempo necessario affinché la popolazione iniziale di nuclei radioattivi si riduca della metà
τ =
t dN
0
∞
∫
dN
0
∞
∫
=
te−λt dt
0
∞
∫
e−λtdt
0
∞
∫
= 1
λ ⇒
N
02 = N T ( )
1/2= N
oe
−T1/2
τ
⇒ T
1/2= τ ln(2) = 0.693 τ
N(t) = N
0e
−λtN(τ ) N
0= 1
τ = 1 e
λ
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 5
235U 7.1×108 anni
238U 4.5×109 anni
Tempi di dimezzamento
Attività
L’attività di un campione radioattivo è definita come il numero di processi di decadimento subiti dal campione nell’unità di tempo.
A(t) = dN
dt = λ N
A(t) = λ N(t) = λ N
0e
−λt= A
0e
−λtL’attività di un campione dipende dalla quantità di atomi radioattivi (e quindi dalla massa) del campione.
Unità di misura
Becquerel 1 Bq = 1 disintegrazione/s
Curie (Ci) è l’attività di 1 g di radio (α: 234 Ra à 230 Rn, T1/2 = 1620 anni) 1 Ci = 3.7×1010 Bq
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 7
Es: calcolare la vita media del 14762Sm se si misura
A=680 Bq da 1 g di Sm
Misura di vita media
Vite medie lunghe è Variazione trascurabile di attività nel tempo
è 1 sola misura di attività + 1 misura di massa (m massa del campione, M peso atomico)
A = N
τ ⇒
τ = N
A = m NA
A M =1× 6.02×1023
680 ×147 = 6.02×1018s =1.91×1011y
Vite medie brevi èVariazione apprezzabile di attività nel tempo è 2 misure di attività (a tempi t1 e t2 e per un tempo Δt)
C
1= A(t)
t1 t1+Δt
∫ dt = A
0e
−λt1⎡⎣ −e
−λ Δt+1 ⎤⎦ ⎯
λ Δt<<1⎯⎯ → λ Δt A
0e
−λt1C
2= A(t)
t2 t2+Δt
∫ dt = A
0e
−λt2⎡⎣ −e
−λ Δt+1 ⎤⎦ ⎯
λ Δt<<1⎯⎯ → λ Δt A
0e
−λt2C
1C
2= e
−λ t(1−t2)⇒
Es: 2 misure a 24 h di distanza
per 30 min C1=9800 C2=7380 Bq
τ = 24 × 3600 ln 9800
7380
= 304645s = 3.5 d
τ =
(
t2 − t1)
ln C1 C2
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
τ = N
A = m N
AA M
Decadimento α
Dalla conservazione dell’ energia nel decadimento
segue che il decadimento è possibile solo se
Inoltre applicando anche la conservazione della quantità di moto
si ricava che l’energia cinetica della particella α è determinata univocamente
€
Z
A
X
N→
A−4Z −2Y
N −2+
24He
2E
X= E
α+ E
YM
X= M
Y+ T
Y+ M
α+ T
αQ = M
X− M
α− M
Y= T
Y+ T
αM
αv
α+ M
Yv
Y= 0
Q > 0 ⇒ M
X> M
α+ M
YQ = T
Y+ T
α= ( M
Yv
Y)
22M
Y+ T
α= ( M
αv
α)
22M
Y+ T
α= M
αM
Y+1
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟T
αT
α= M
YM + M Q ≈ A − 4
A Q
spettro energetico costituito da una sola rigaFisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 9
Schema di decadimento α del 228Th seguito da diseccitazione γ.
Sono possibili più righe α
• Quali nuclei decadono α? Riscriviamo Q in termini delle energie di legame
La condizione Q>0 è soddisfatta se
Studiando il grafico B/A vs. A, tale condizione è verificata per nuclei con A>150
• Le vite medie dei nuclei che decadono con emissione α variano da 10 ns a 1010 anni. Come si spiega questa estrema variabilità per lo stesso fenomeno fisico?
Q = M
X− M
α− M
Y= M (A, Z ) − M (4, 2) − M (A − 4, Z − 2) = Q = −B(A, Z) + B(A − 4, Z − 2) + B(4, 2)
B(4, 2) > B(A, Z) − B(A − 4, Z − 2)
106X
64G d 92U
100F m
76O s
84P o
10
0logT1
2 = a + b Qα Legge di Geiger-Nuttall (1912)
Le vite medie dei radionuclidi dipendono fortemente all’energia cinetica delle α emesse.
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 11
Teoria del decadimento α formulata da Gamow, Condon, Gurney (1929)
Si basa su meccanica quantistica: la probabilità di decadimento è legata alla probabilità che una particella α (formatasi nel nucleo dal legame di 2 p e 2 n nel livello di Fermi) possa attraversare per effetto tunnel la barriera coulombiana del nucleo.
β è la velocità della particella α uscente dal nucleo v0 è la velocità della particella α all’interno del nucleo R è il raggio del nucleo
α la costante di struttura fine
La dipendenza del fattore G dall’energia della particella α spiega perché piccole differenza in energia si traducono in grandi differenze di vita media.
La teoria dimostra la legge di Geiger-Nuttall osservata sperimentalmente.
La probalità di fuga della particella α dal nucleo per effetto tunnel è
P = 1
τ = w
αv
02R e
−2GProbabilità che α sia
formata nel nucleo Collisioni per unità di tempo contro la barriera
Prob. di trasmissione attraverso barriera
G = 1
! 2m E −V
R r1
∫
dr ≈ π(
Z − 2β)
α ∝ ZTα
Fattore di Gamow ⇒ ln P ∝ − 1
Tα
Legge di Geiger-Nuttall
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 13
Dalla conservazione dell’energia nel decadimento
dove MX e MY sono le masse dei nuclei e si è tenuto conto che la massa del neutrino è trascurabile, segue che il decadimento è possibile solo se
Decadimento β
E
X= E
e+ E
ν+ E
YM
X= m
e+ T
e+ m
ν+ T
ν+ M
Y+ T
YQ = M
X− m
e− m
ν− M
Y≈ M
X− m
e− M
Yβ
- Nuclei con eccesso di neutroniβ
+ Nuclei con eccesso di protoniZ
A
X
N→
Z+1AY
N−1+ e
−+ ν
eZ
A
X
N→
Z−1AY
N+1+ e
++ ν
eQ > 0 ⇒ M
X> m
e+ M
YLa condizione sul Q-value, espressa in termini della masse atomiche (M) diventa
I decadimenti avvengono si spiegano con i decadimenti mediati dall’interazione debole
può avvenire anche al di fuori del nucleo
può avvenire solo all’interno del nucleo (mp<mn)
in cui si conservano oltre al quadrimpulso anche:
• la carica elettrica
• Il momento angolare totale
• il numero barionico (+1 per protone e neutrone)
• il numero leptonico (+1 e- ν, -1 e+ ν-bar)
Μ(A, Z) > Μ(A, Z +1) + m
eβ
-β
+Μ(A, Z ) > Μ(A, Z −1) + 2m
en → p + e
−+ ν
ee
en
p → +
++ ν
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 15
Q = M
X− m
e− m
ν− M
Y= T
e+ T
ν+ T
YQ ≈ T
e+ T
ν⇒ Q ≈ T
eMaxLa presenza del neutrino spiega lo spettro continuo dell’elettrone prodotto: infatti l’energia disponibile è suddivisa tra elettrone e neutrino.
L’energia massima dello spettro corrisponde al Q-valore della reazione
dove si è tenuto conto che l’energia di rinculo del nucleo Y (MY>>me) è trascurabile.
La massa del neutrino determina la derivata dello spettro nell’end-point
Number of electrons
Q-value del decadimento
Number of electrons
Q-value del decadimento
Si possono studiare i decadimenti β e la stabilità dei nuclei per mezzo delle parabole di massa.
Fissato il numero di massa A (nuclei isobari), il grafico della massa dei nuclei in funzione di Z è una parabola
Il minimo della parabola si trova per un nucleo (stabile) con Z=Zmin
M
Atomo(A, Z) = Z m
H+ A − Z ( ) m
n− B(A, Z)
B(A, Z ) = aVA − aSA2/3 − aC Z (Z −1)
A1/3 − aA
(
A − 2Z)
24A + δ
A1/2
∂ M
Atomo(A, Z )
∂ Z = m
H− m
n− −a
C2Z
A
1/3+ a
C1
A
1/3+ a
A(A − 2Z) A
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 0
Z
min= m
n− m
H+ a
CA
−1/3+ a
A2 a (
CA
−1/3+ a
AA
−1)
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 17
Nuclei A dispari: δ=0 una sola parabola di massa
Un solo nucleo stabile nel minimo della parabola di massa.
β- ramo sinistro β+ ramo destro
Nuclei A pari: due parabole pari-pari δ<0
dispari-dispari δ>0
Si possono avere due o più isobari stabili. Quasi sempre sono pari-pari.
Solo 4 nuclei dispari-dispari stabili:
2H, 6Li, 10B, 14N
Cattura di un elettrone orbitale da parte di un protone del nucleo
A seguito della cattura elettronica viene lasciato un buco nella struttura a shell atomica (di solito shell K, più vicino al nucleo) con conseguente emissione di raggi X caratteristici o elettroni Auger.
La conservazione dell’energia implica che dove ε è l’energia della shell atomica
dell’elettrone catturato.
Electron capture (EC)
Z
A
X
N+ e
−→
Z−1AY
N+1+ ν
ep + e
−→ n + ν
eM (A, Z ) > M (A, Z −1) + ε
Processo competitivo con β+, quando la differenza fra le masse è piccola (<2me), p e r c h é f a v o r i t o energeticamente.
2me c2
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 19
Diseccitazione γ
• Transizione di un nucleo da uno stato ad energia più alta ad uno stato ad energia più bassa emettendo un fotone di energia pari alla differenza di energia fra gli shell nucleari.
• Avviene generalmente dopo un decadimento α o β, in cui il nucleo discendente viene prodotto in uno stato eccitato e si diseccita gamma .
• L’emissione del fotone γ avviene in tempi dell’ordine 10-10 -10-20 s.
• γ emessi monocromatici con energie comprese fra ~100 keV e pochi MeV.
27
60Co → 2860Ni* + e− +νe ↓ 6028Ni +γ
Esempio di decadimento gamma
Z
A
X
N*→
ZAX
N+ γ
Conversione interna
La diseccitazione nucleare può anche avvenire per conversioni interne.
In questo caso l’energia della diseccitazione è trasferita ad un elettrone atomico che viene emesso con un’energia cinetica pari alla differenza fra l’energia dello stato eccitato del nucleo e l’energia di legame dell’elettrone.
Elettroni monoenergetici tra ~100 di keV a qualche MeV.
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 21
Sorgenti di radiazione
Processo Particella Spettro Range energia
Decadimento β+ β- e± Continuo keV-MeV
Decadimento α 4He Mono-energetico 4-9 MeV Frammenti di fissione nuclei Continuo 30-150 MeV Diseccitazione atomica fotoni X Mono-energetico eV-keV Diseccitazione atomica
(elettroni Auger)
e- Mono-energetico eV-keV
Diseccitazione nucleare fotoni γ Mono-energetico keV-MeV Diseccitazione nucleare
(Conversione interna)
e- Mono-energetico ~ 100 keV
Reazioni nucleari n Continuo o
mono-energetico
keV-MeV
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 23
Radioattività naturale
Sorgenti extraterrestri è Raggi cosmici
Radionuclidi naturali cosmogenici prodotti da reazioni nucleari tra raggi cosmici e atmosfera
Sorgenti terrestri è Radionuclidi naturali primordiali
Presenti nella crosta terrestre dalla formazione del Sistema Solare (4·109 anni)
Raggi cosmici
I raggi cosmici che colpiscono lo strato esterno dell'atmosfera sono detti raggi cosmici primari e sono principalmente protoni di alta energia.
Nel loro rapido viaggio verso la superficie terrestre, essi collidono con gli atomi nell'aria, creando sciami di nuove particelle e di antiparticelle che costituiscono i raggi cosmici secondari. Questo fenomeno è all'origine della pioggia cosmica che investe la terra.
Dalla sua analisi, negli anni '30, furono scoperte il positrone, la prima particella di antimateria, e le prime particelle elementari, il pione e il muone.
All'interno della pioggia cosmica ci sono anche neutrini.
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 25
Famiglie radioattive naturali
Tre famiglie radioattive presenti in natura, in equilibrio secolare, con capostipiti a vita media ≈ a quella della Terra (109 anni) e >> di quella dei discendenti
è Decadimenti a catena
Serie dell’Uranio (famiglia 4n+2) capostipite:
T1/2=4.5×109 anni
Serie dell’Attinio (famiglia 4n+3) capostipite:
T1/2=7.13×108 anni
Serie del Torio (famiglia 4n) capostipite:
T1/2=1.4×1010 anni
90 232
Th
92 238U
92 235U
Equilibri radioattivi nella catene di decadimento
Es. catena radioattiva:
A → B→ C (stabile)
Se Nb(0)=0 e Nc(0)=0, la soluzione del sistema di equazioni differenziali è
N
a(t) = N
a(0)e
−λatN
b(t) = N
a(0) λ
aλ
b− λ
ae
−λat
− e
−λbt⎡⎣ ⎤⎦
N
c(t) = N
a(0) 1+ 1
λ
b− λ
a( λ
ae
−λbt− λ
be
−λat)
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
€
dN
adt = − λ
aN
adN
bdt = λ
aN
a− λ
bN
bdN
cdt = λ
bN
b⎧
⎨
⎪
⎪ ⎪
⎩
⎪
⎪ ⎪
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 27
€
dN
Bdt = 0 → t
max=
ln λ
Bλ
Aλ
B− λ
A€
λ
BN
B(t
max) = λ
AN
A(t
max)
Ad ogni altro istante
€
λ
BN
B(t)
λ
AN
A(t) = λ
Bλ
B− λ
A1− e
−(λB−λA)t
[ ]
• Se λB>λA e t>tmax èEquilibrio transitorio
• Se λB>>λA èEquilibrio secolare
€
λ
BN
B= λ
AN
Aλ
BN
Bλ
AN
A=
λ
Bλ
B− λ
A>1
Serie del Torio
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 29
Serie dell’Attinio
Serie dell’Uranio
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 31
Se un corpo contiene nuclei radioattivi quando si forma, il decadimento dei nuclei scandisce il trascorrere del tempo come un’orologio.
Un’applicazione importante della radioattività naturale è la datazione radioattiva, essa utilizza la radioattività naturale per la determinazione dell’età di campioni archeologici o geologici
( )
anni 5730
anni 8268
2 / 1
14
=
= T
τ C
Es. datazione radiometrica basata sul 14C serve per stabilire da quanto tempo una sostanza vivente è morta (va bene per reperti archeologici)
Quando un organismo vivente muore non assorbe più 14C la cui percentuale diminuisce esponenzialmente con la legge
costante a causa della produzione di
nell’atmosfera
( )
( + ) =
+ n p
C
n p
C
6 6
8 6
12 14
14
N→
14C
( )
14( ) 0
/τ14
t C
C
t N e
N =
−Es. datazione radiometrica basata sull’ serve per stabilire l’età delle rocce. 23892
U
Datazione radiometrica
In meccanica quantistica la funzione d’onda di uno stato stazionario di energia En evolve nel tempo come
Se l’energia En dello stato è reale à
cioè la probabilità è costante e la particella resta nello stato stazionario.
Se la particella è instabile, la probabilità di decadimento si calcola con la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo. Lo stato non è più stazionario e il suo autovalore è modificato aggiungendo una parte immaginaria
cosicché la probabilità di trovare la particella nello stato decresce esponenzialmente nel tempo come atteso dalla legge del decadimento radioattivo
La larghezza del decadimento rappresenta l’indeterminazione dell’energia dello stato non-stazionario.
E
n⇒ E
n− 1 2 iΓ
ψ
n(t)
2= ψ
n(0)
2ψ
n(t)
2= ψ
n(0)
2exp − Γ
! t
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ Γ
! = λ = 1 τ ψ
n(t) = ψ
n(0) exp −i E
nt
!
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
Distribuzione di Breit-Wigner
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 33
La funzione d’onda di uno stato non stazionario di energia centrale En che decade con larghezza Γ è
La trasformata di Fourier della funzione d’onda è
Facendo la sostituzione di variabili
si ottiene
ψ
n(t) = ψ
n(0) exp −i E
n! − i Γ 2 !
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟t
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
g(ω) = ψn
( )
02π exp −i En
! − i Γ 2!
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟t
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
0
∞
∫
exp i( )
ωt dtβ = Γ
2 ! α = ! ω − E
n!
g( ω ) = ψ
n( ) 0
2 π e
iαt
e
−βt0
∞
∫ dt
e
iαte
−βt0
∞
∫ dt = − β 1 e
−βte
iαt0
∞
+ i α
β e
iαt
e
−βt0
∞
∫ dt = β 1 + i β α e
iαte
−βt0
∞
∫
1− i α β
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ e
iαte
−βtdt
0
∞
∫ = β 1
eiαte−βt dt
0
∞
∫
=β
− i1α
= Γ 12! − i
!
(
!ω
− En)
i!
i! = i!
!
ω
− En( )
+ i Γ2
g( ω ) = ψ
n( ) 0
2 π
i !
! ω − E
n( ) + i Γ 2
Calcoliamo l’integrale per parti
In definitiva trasformata di Fourier della funzione d’onda è
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 35
La probabilità P(E) di avere uno stato che decade centrato su En e di larghezza Γ è
La probabilità deve essere normalizzata per cui introduciamo una costante C tale che si abbia
Ricaviamo il valore di C
L’energia di uno stato che decade non è definita ma ha una distribuzione attorno al valore centrale En
1 = C !
2ψ
n( ) 0
22 π
dE E − E
n( )
2+ Γ
2
4
−∞
∞
∫ = C !
2
ψ
n( ) 0
22 π
2
Γ 4
Γ
2( E − E
n)
2+1
−∞
∞
∫ d ⎛ ⎝ ⎜ 2E Γ ⎞ ⎠ ⎟
= C !
2ψ
n( ) 0
2π Γ arctan 2
Γ ( E − E
n)
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−∞∞
= C !
2ψ
n( ) 0
2Γ ⇒ C = Γ
!
2ψ
n( ) 0
2P(E) ∝ g
*( ω )g( ω ) = !
22 π
ψ
n( ) 0
2E − E
n( )
2+ Γ
2
4
C P(E)
−∞
∞
∫ dE = 1
La forma della curva prende il nome di Breit-Wigner o Lorentziana.
Γ è la larghezza a metà altezza della curva.
La larghezza di uno stato instabile deriva dal principio di indeterminazione di Heisemberg
Γ τ ≈ ! ⇒ Γ ≈ ! τ
P(E) = 1 2 π
Γ E − E
n( )
2+ Γ
2
4
Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 6 Paolo Maestro 37
La vita media degli stati eccitati di un nucleo (quindi il tempo di emissione-assorbimento di un fotone gamma) è compresa tra 10-9 e 10-15 s
La vita media degli stati eccitati di un atomo (quindi il tempo di emissione-assorbimento di fotoni) è circa tra 10-8 s
Poiché λ rappresenta la probabilità di decadimento per unità di tempo da uno stato iniziale
|i> ad un uno stato finale |f>, λ (e quindi la vita media) si può calcolare dalla regola d’oro di Fermi
Γ= !
τ = !c
10
−15c = 197.3 [MeVfm]
10
−15[s] 3×10
8×10
15[fms
−1] = 6.6 ×10
−1eV
Γ= !
τ = !c
10
−8c = 197.3 [MeVfm]
10
−8[s] 3×10
8×10
15[fms
−1] = 6.6 ×10
−9eV
Γ
! = λ = 1 τ =
2 π
! f H
Ii
2ρ ( ) E
fRisonanze nucleari
n +16O → 17O
Le risonanze corrispondono a stati eccitati di 17O
n +23892U → 24He + 23590Th
Le risonanze corrispondono a stati eccitati di 239U