Legge di conservazione dell’ energia cinetica

Lezione 10

Equazioni di un plasma fluido

G. Bosia

Universita’ di Torino

Legge di conservazione dell’ energia cinetica

La legge di conservazione dell’ energia si ottiene dal secondo momento della distribuzione,

moltiplicando l’ equazione cinetica per 1/2 mv² ed integrando nello spazio delle velocità. Anche in questo caso è nullo il termine collisionale:

che rappresenta la variazione nel tempo dell'energia cinetica totale delle particelle, dovuta alle collisioni, contenute nell'unità di volume, come conseguenza del fatto che, in urti elastici, quali quelli columbiani che consideriamo,non varia l'energia cinetica totale delle particelle che

collidono a due a due

Eseguendo le varie operazioni di integrazione e seguendo criteri analoghi a quelli già visti, si arriva all’ equazione :

I II III (X-18)

[m^-3 Cs ^-1V]

0 2 )

(1 )

( ² =

∂

∫∫∫

u E v > = ⋅

∂ <

+ ∂

>

∂ <

∂ ∑

=

nq mv

x n mv

t n

)

2 ( 1

2 )

( 1

3

1 2

Conservazione dell’ energia cinetica

(X-18)

• Il primo termine del primo membro rappresenta la variazione nel tempo della densità di energia cinetica,

• il secondo termine del primo membro rappresenta la variazione di energia cinetica per unità di volume dovuta a migrazione di particelle, che trasportano l’ energia cinetica (conduzione di calore);

• il secondo membro rappresenta la potenza per unità di volume fornita al sistema dal campo elettrico (effetto Joule).

• Il campo magnetico non interviene, in accordo col fatto che B con compie alcun lavoro sulle particelle

Si e’ arrivati a tre equazioni che rappresentano altrettanti principi generali di conservazione, rispettivamente delle particelle, della quantità di moto e dell'energia.

Momenti della distribuzione di ordine più elevato, descrivono parametri fisici di significato fisico meno immediato e non saranno discussi

u E v > = ⋅

∂ <

+ ∂

>

∂ <

∂ ∑

=

nq mv

x n mv

t n

)

2 ( 1

2 )

( 1

3

1 2

Tensore degli sforzi

L’ equazione di conservazione della q.d.m.

si può riscrivere in una forma più adatta alle applicazioni di fisica del plasma.

Il secondo termine a primo membro. è la divergenza di un tensore, detto 'tensore degli sforzi P_ik, le cui componenti:

(X-19)

hanno le dimensioni di una pressione. Delle nove componenti di questo tensore, sei sono

indipendenti, data la simmetria P_ik = P_ki . Consideriamo una di queste componenti, per esempio la P_xy, che possiamo scrivere nella forma:

(X-20)

>

<

−

∂ =

>

<

+ ∂

∂

∂

∑

= k

i i

k i

k n F

x v v mn mn

t

f ³

1

) u (

>

<

= _{i k}

ik nm v v

P

∫∫∫

= _{x y x y z}

xy fm(v v )dv dv dv

P

Tensore degli sforzi

Nell'integrando:

• f dv rappresenta il numero di particelle contenute nel volume dv dello spazio delle velocità, per una data v ed un dato r, per unità di volume dello spazio ordinario.

• fmv_x dv è la componente x della quantità di moto delle particelle contenute in dv,

• (fmv_x) v_y dv e’ la quantita’ di moto di componente x che nell'unità di tempo viene trasportata nella direzione y dalle particelle contenute in dv

La quantità di moto trasferita per unità di tempo e per unità di volume in una certa direzione rappresenta una forza per unità di area, che in meccanica si chiama sforzo (shear). Nel caso della componente P_x,y, lo sforzo (diretto nella direzione x) ha una direzione di taglio rispetto a una superficie normale alla direzione del trasporto (secondo y). Nel caso di indici uguali, per esempio P_xx , lo sforzo si dice 'normale'.

Un caso particolare importante è quello di una funzione di distribuzione maxwelliana.

Dato che la funzione di distribuzione è isotropa:

(X-21) =

le componenti P_ik, con i = k sono nulle, come ci si può convincere eseguendo un integrale del tipo (X-20), tenendo conto della (X -21)

2 ) exp(

2 ) ( )

, , ( )

, , (

2 3

2

kT mv kT

n m t

v f t

f = = ⋅ ⋅

r π v

r

Tensore degli sforzi

Le componenti con indici uguali, risultano date da:

Sostituendo adesso il valore della velocità quadratica media < v ² > = 3 kT/m, otteniamo:

che è la pressione scalare ordinaria (p). Se si rappresentano le nove componenti del tensore degli sforzi sotto forma di matrice quadrata a tre righe e tre colonne, la matrice diventa

'diagonale^’, cioè sono diversi da zero solo gli elementi che si trovano sulla diagonale principale.

In questo caso nella (VIII-17), al posto della divergenza del tensore si sostituirà il gradiente della pressione (scalare):

ossia

(X-23)

Nota : Si tenga conto che essendo v²= v_x² +v_y² +v_z², e’ anche v² =< v_x²> +<v_y²> +<v_z²>. Se il mezzo e’ isotropo < v_x²> = <v_y²> = <v_z²> = <v² > da cui < v²> = 3 < v_i²>

ii = nkT P

*) 2 2

3

1 < >

>=

<

= nm v_i nm v

Pii

k i

i ik

x p

x ∂

⇒ ∂

∂

∑

) ( )

( grad p

div P_ik ⇒

Tensore degli sforzi

Il tensore degli sforzi generalizza la nozione di pressione scalare ed includendo gli 'sforzi di taglio che si presentano nel caso di una funzione di distribuzione anisotropa.

Gli sforzi di taglio danno luogo tipicamente al fenomeno macroscopico della 'viscosità', incontrato nella fisica dei fluidi.

Quando la velocità media u data è diversa da zero, velocità v di una singola particella può essere considerata sia somma della velocità ('macroscopica‘) u, comune a tutte le

particelle e di una velocità 'relativa' v - u distribuita a caso in tutte le direzioni, che rappresenta quello che si indica come “moto di agitazione termica”.

La nozione di tensore degli sforzi e’ meglio espressa in termini di velocità termica o

velocità relativa rispetto al moto di insieme. E' per questo motivo e’ spesso definito come:

(X-24)

Sviluppando i prodotti:

Ossia:

(X.25)

>

−

⋅

−

<

= (

) (

)

ik

nm v u v u

ψ

k i ik

k i k

i k

i k

i

k i k

i k

i k

i ik

u nmu P

u u u

u u

u v

v nm

u u v

u u

v v

v nm

−

=

>

+

−

−

>

<

=

=

>

+

>

<

−

>

<

−

>

<

=

] [

] [

ψ

k i ik

ik

= P − nmu u

ψ

Tensore degli sforzi

Perciò sostituendo nella (VIII-17) (X-26)

Da cui: esplicitando le derivate dei prodotti:

(X-27)

Si e’ posto f_k = n < F_k> (forza media per unità di volume). Il primo e quarto termine si elidono per l’equazione di continuità :

Pertanto:

(X-28)

La velocità macroscopica u e’ funzione dello spazio e del tempo (ossia u = u(r,t)). Pertanto la derivata totale di u

>

<

∂ =

>

⋅

<

− + ∂

∂

⋅

∂

∑

= k

i i

k i ik

k n F

x

u u mn t

mn ³

1

) (

)

( u ψ

>

=<

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∑ ∑ ∑

=

=

= k

i i

k i

i i

i k

i i

ik k

k f

x u nu x nm

mu nu x

t nm u t

mu n

3

1 3

1 3

1

ψ

) 0 ) (

(

3

1

∂ = + ∂

∂

= ∂

∂ +

∂

∑

=

i i

i

x nu t

n n t div

n u

k

i i

ik i

i i

k i

k f

u x x

u u t

nm u =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∑ ∑

=

=

3

1 3

1

]

[ ψ

Tensore degli sforzi

(X-14)

rappresenta fisicamente l’ accelerazione del fluido in in certo punto dello spazio ed in un certo instante :

u u u

u) ( )

(

3

1

∇

⋅

∂ +

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

∑

= x t

u u t

u dt

du dt

d

i i

k i k

k k

Introducendo nella (X-28) si ottiene l’equazione del moto simile a quello di un fluido.

(X-29)

• Il primo termine del primo membro e’ il prodotto della densità di massa per l’accelerazione

”macroscopica“,

• il secondo del primo membro e’ la pressione per unità di volume esercitata in un punto dal/sul plasma

• il secondo membro è la forza media per unita di volume.

k

i i

ik

k f

x t

mn u =

∂ + ∂

∂

∂

∑

= 3

1

ψ

Equazione del moto”fluido”

Nel caso di forze di tipo solo elettromagnetico la forza media e’:

Pertanto l’ equazione del moto di plasma fluido (VIII-17) si può scrivere come:

(X-30):

B u E

v B

v E v

F >= ⋅ = + ∧ = + ∧

<

∫∫∫

∫∫∫

n ³ ( ) ³

) (

) ( )

) (

( u u u ψ E u B

∧ +

= +

∇

⋅

∂ +

∂ div nq nq

nm t

Non sempre l’ equazione fluida viene impiegata nella sua forma più completa.

Quando si può, vengono introdotte approssimazioni che riducano la complessità dei calcoli.

Per esempio, quando si può ammettere che la pressione sia scalare, oppure che la funzione di distribuzione sia maxwelliana, possiamo fare una sostituzione del tipo

il che costituisce di solito una notevole semplificazione.

Un'altra importante approssimazione è la linearizzazione dell’equazione del moto: nei casi in cui le forze applicate sino deboli, possiamo assumere che producano piccoli effetti. In

particolare nell’ equazione del moto (X-30),

(X-30):

spesso il campo applicato E e’ piccolo rispetto al termine di campo magnetico e si considera infinitesimo del 1° ordine (così come la velocità macroscopica u che esso produce, le sue derivate ed altre grandezze ad esse proporzionali).

Linearizzazione dell’ equazione del moto

) (

) ( )

(u u ψ E u B

u + ⋅∇ + = + ∧

∂

∂ div nq nq

t

) ( )

( grad p

div P_ik ⇒

Linearizzazione dell’ equazione del moto

Termini contenenti i prodotti di due o più grandezze del 1° ordine (ossia infinitesimi del 2°ordine o di ordine ancora più elevato) sono trascurati. Questo comporta una notevole semplificazione, perché le equazioni si riducono ad equazioni lineari. Nel caso caso specifico termini (non lineari) del tipo sono del 2° ordine rispetto a quelli (lineari)del tipo e quindi si potrà fare la sostituzione:

(X-31)

I risultati ottenuti si applicano ad ogni specie di particelle del plasma (elettroni, ioni di masse diverse,...).

Per un plasma di j specie di particelle si possono scrivere j equazioni di continuità, ciascuna valida per una specie di particelle

(X-32)

t t

dt d

∂

⇒ ∂

∇

⋅

∂ +

= ∂ u

u u u

)) (

u u ) ( ⋅∇

∂t

∂u

0 )

( =

∂ +

∂

j j

j

div n

t

n u

Nel caso di momenti dell’equazione di Boltzmann collisionale, il termine di collisione nell’ equazione dei momenti dell’ equazione Per esempio il termine di collisione del momento di ordine uno e’

:(X-33)

e non risulta più in generale nullo.

Esso rappresenta la variazione nel tempo della densità di quantità di moto che le particelle di specie j subiscono a causa delle collisioni con tutte le altre particelle presenti.

Queste collisioni avvengono a due a due sia fra particelle di specie j ed altre particelle della stessa specie j, sia fra particelle di specie j e particelle di specie diversa.

Applicando il principio della conservazione della quantità di moto nelle collisioni, arriviamo alle seguenti conclusioni::

1) fra tutte le variazioni di quantità di moto di cui il termine R_j tiene conto, sono nulle quelle dovute a collisioni fra particelle di specie j e particelle della stessa specie;

pertanto R_j rappresenta gli scambi di quantità di moto che avvengono fra particelle di specie j e particelle diverse da j;

2) ogni singolo R_j non sarà in generale nullo,

Descrizione a più fluidi

∫∫∫

= v v

R ( ) m d³ t

f

j coll j j

Descrizione a piu’ fluidi

a) :

3) sarà nulla la somma (vettoriale) fatta su tutte le specie di particelle presenti ovvero:

(X-34)

dato che fisicamente questa somma rappresenta la variazione totale di densità di quantità di moto, dovuta a tutti gli urti possibili che avvengono dentro l'unità di volume.

Per il resto, tutti gli altri sviluppi che portano alle equazioni del moto si possono ripetere pari pari, basta tirarsi dietro il termine collisionale. Si arriva così a scrivere l’

equazione del moto in presenza di collisioni:

(X-35)

Equazioni di conservazione all'energia, analoghe all’ equazione di conservazione della quantita’ di moto con l’eventuale aggiunta dei termini collisionali,sono di uso meno frequente.

j j

j j j

j j

j j

j j

j div n q n q

m t

n u u u ψ E u B R

+

∧ +

= +

∇

⋅

∂ +

∂ ( ) ] ( ) ( )

[

= 0

∑

Uso autoconsistente della descrizione a piu’ fluidi

Le equazioni del moto e di continuità (X-15 e X-14), sono necessarie per descrivere la dinamica del plasma “fluido” e, quando risolte, forniscono, per ogni specie, le quantità n_j e u_j

Da queste e’ possibile calcolare la densità di carica (ρ_c) e di corrente J secondo le relazioni :

(X-36) (X-37)

da affiancare alle equazioni di Maxwell per il calcolo “autoconsistente” della dinamica del plasma

Il sistema e’ tuttavia 'chiuso', solo se e’ possibile scrivere un numero di equazioni indipendenti pari al numero di incognite. E’ spesso necessario aggiungere qualche altra equazione (e.g. di stato, la cui scelta varierà da caso a caso) per pareggiare il numero di equazioni col numero delle incognite.

j j j

cj ⁼

∑

ρ

j j j j

j q n u

J ⁼

∑

Approssimazioni delle equazioni fluide

A seconda del caso trattato e’ ragionevole fisicamente e matematicamente conveniente usare approssimazioni dell’ equazione fluide.

1) Pressione scalare: si fa la sostituzione:

(X-38)

dove p sono le pressioni parziali dei vari componenti. J 2) Linearizzazione: si trascurano i termini non lineari:

(X-39)

considerandoli infinitesimi di ordine superiore al primo.

Quando le due approssimazioni vengano introdotte simultaneamente, il modello viene chiamato di 'plasma tiepido’.

3) Plasma senza collisioni: studiando fenomeni che non dipendono (o dipendono poco) dallo effetto delle collisioni, si trascurano i termini collisionali:

(X-40)

si parla di 'plasma senza collisioni, come già visto nel caso della equazione di Vlasov.

4) Plasma freddo: oltre alla linearizzazione, si pongono a zero i termini di pressione:

(X-41)

) ( )

( grad p

div

ψ

' 0 )

(u_j ⋅∇ u_j ⇒

⇒ 0 Rj

0 )

(p_j ⇒ grad

'come se' il plasma fosse completamente privo di pressione e si trovasse quindi alla

tempe- ratura assoluta di 0°K. Nonostante che questo sia in contrasto evidente con molte proprietà generali del plasma, il modello che ne risulta costituisce una rappresentazione molto valida per lo studio della propagazione di onde elettromagnetiche nei plasmi, In

particolare, nel caso di modello di 'plasma freddo senza collisioni, le equazioni del moto (X- 17) si riducono a

(X-42)

cioè ad un’ equazione del moto formalmente eguale a quella delle particelle singole.

5) Ioni di massa infinita: nei fenomeni che dipendono essenzialmente dalla presenza degli elettroni, per i quali l'influenza degli ioni sia trascurabile, fra le equazioni del moto si scrive solo quella relativa agli elettroni, mentre gli ioni sono ritenuti immobili, come un sottofondo fisso di cariche positive.

Una esemplificazione molto utile è data da un plasma formato da elettroni (di massa m e carica -e) ed ioni di una sola specie, ionizzati una sola volta (di massa M e carica +e), come potrebbe essere, ad esempio, il caso di un plasma di elettroni e protoni. Le

equazioni di continuità (X-32) si traducono in due equazioni, una per gli ioni e l'altra per gli elettroni rispettivamente:

Approssimazioni delle equazioni fluide

)]

(

[E+ u ∧B

∂ =

∂

j j j

j

j q q

t m u

Equazioni fluide per un plasma di elettroni ed isotopi di H (m,-e,n

) (M+e,n

)

Equazioni di continuità

Equazioni del moto

Densità di carica e di corrente (X-43)

(X-44)

(X-45)

(X-46)

(X-47)

(X-48) (X-49)

0 ) (

0 ) (

=

∂ +

∂

=

∂ +

∂

i i i

e e e

n t div

n

n t div

n

u u

e e

e e

e e

e e

i j

i i

i i

i i

e n t div

m n

e n t div

M n

R B

u E u ψ

u u

R B

u E u ψ

u u

+

∧ +

−

= +

∇

⋅

∂ +

∂

+

∧ +

= +

∇

⋅

∂ +

∂

)]

( [

) ( ]

) (

[

)]

( [

) ( ]

) (

[

) (

) (

e e i

e i c

n n

e

n n e

u u

J = _i −

− ρ =

e

i R

R = − Termine di collisione

Equazioni fluide per un plasma di elettroni ed isotopi di H (m,-e,n

) (M+e,n

)

(X-50)

(X-51)

(X-52)

(X-53)

Equazioni del moto

Linearizzate (plasma tiepido)

Plasma freddo non collisionale

e e

e e

e e

i j

i i

i i

e n p

t grad m

n

e n p

t grad M

n

R B

u u E

R B

u u E

+

∧ +

−

=

∂ +

∂

+

∧ +

=

∂ +

∂

)]

( [

) (

)]

( [

) ( [

)]

( [

)]

( [

B u

u E

B u

u E

∧ +

−

∂ =

∂

∧ +

∂ =

∂

e e

j i

t e m

t e M