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Energia cinetica media

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Academic year: 2021

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(1)

Energia cinetica media

Si ` e vosto che, per una particella puntiforme 1 2 mhv 2 i = 3 2 kT . Moltiplicando per il numero di particelle N = nN A ottengo

U = 3 2 nRT e C v = 3 2 R

Un gas monoatomico si pu` o considerare come fatto da particelle puntiormi, se ` e abbastanza rarefatto

Le particelle puntiformi sono libere di traslare lungo tre direzioni, ma non di ruotare, perch´ e una particella ruotata ` e indistinguibile da quella non ruotata

Dico che i gas monoatomici hanno tre gradi di libert` a vale il seguente risultato:

Ogni grado di libert` a porta un contributo 1 2 nRT all’energia interna

(2)

Gas biatomici e poliatomici

Un gas biatomico pu` o traslare, ma anche ruotare

Le rotazioni possono avvenire solo su assi perpendicolari alla congiungente gli atomi

Ci sono quindi due gradi di libert` a in pi` u, per un totale di cinque I gas biatomici hanno U = 5 2 nRT e C v = 5 2 R

Oltre slle rotazioni, possono esistere oscillazioni degli atomi attorno alla posizione di equilibrio

in un oscillatore armonico, l’energia potenziale uguaglia quella cinetica l’oscillazione in una direzione porta un altro grado di libert` a

Le molecole con molti atomi hanno diversi gradi di libert` a di

traslazione, rotazione e oscillazione, e l’energia interna va valutata in

funzione di questi

(3)

Energia interna dei solidi

In un solido cristallino fatti da atomi, questi oscillano attorno a posizioni di equilibrio

Il potenziale, per piccole oscillazioni, vale U(x ) ≈ U(x 0 ) + U 0 (x 0 )(x − x 0 ) + 1

2 U 00 (x 0 )(x − x 0 ) 2 Nel minimo U 0 (x 0 ) = 0 quindi ho un oscillatore armonico

In un oscillatore armonico, energia cinetica e potenziale si equagliano, quindi mi aspetto che ciascuna delle due porti un contributo

U = 1 2 nRT per ogni direzione di oscillazione

Per un solido, quindi

(4)

Energia interna ed energia di legame

Nelle reazioni chimiche si sviluppa oppure si richiede energia In una molecola, i singoli atomi non hanno l’energia sufficiente per muoversi indipendentemente

L’energia di legame ` e l’energia della molecola meno l’energia che avrebbero gli atomi che la compongono se non fossero legati

Questa energia ` e negativa, altrimenti il legame non potrebbe sussistere Nelle reazioni chimiche cambia l’energia di legame

Esempio: reazione CH 4 + 2O 2 = CO 2 + 2H 2 O

Il bilancio energetico da’, se la reazione deve avvenire spontaneamente U = U L − ε CH

4

− 2ε O

2

> U L − ε CO

2

− 2ε H

2

O

quindi l’energia di legame alla fine della reazione deve essere maggiore

che non all’inizio

(5)

Passaggio di calore

Pu` o avvenire per conduzione senza trasporto di materia Se c’` e trasporto di materia ` e convezione

Attraverso la radiazione mediante l’irraggiamento

Una possibilit` a utile nei sistemi biologici ` e l’evaporazione

(6)

Conduzione

Il calore si propaga tra corpi a contato, senza che si trasferisca materia Le molecole vicine si urtano, e quelle con energia cinetica maggiore la cedono a quelle meno energetiche

Se frappongo una sbarra di lunghezza L e sezione S di materiale conduttore tra due sorgenti tenute a temperature T 1 e T 2 costanti, con T 1 > T 2 un legge empirica ` e

Q = k T 1 − T 2

L S

k si chiama conducibilit` a termica

(7)

Convezione

Se bevo un t` e bollente la mia temperatura si alza

L’aria fresca prodotta dal condizionatore ha effetto quando arriva fino a me

L’acqua dell’impianto di riscaldamento circola in tutta la casa per portare il calore

Se un vento freddo soffia sulla superficie del mare, gli strati inferiori pi` u caldi salgono in alto, innescando una corrente di grande

importanza biologica

il calore trasportato ` e proporzionale alla differenza di temperatura

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Irraggiamento

E l’unico sistema che funziona anche nel vuoto ` Ci permette di avere l’energia del sole

E regolato dalla legge di Stefan `

I = e · σ · T 4

dove 0 ≤ e ≤ 1 ed e = 1 per un corpo nero come un uomo o il sole e σ ` e una costante universale (di Stefan-Boltzmann) e vale

σ = 5.67 · 10 −8 W /m 2 o K

Se un corpo ha temperatura T c e l’ambiente ha temperatura T a

l’intensit` a ceduta da corpo sar` a

∆I = σ(T c 4 − T a 4 ) ≈ 4σT a 4 (T c − T a ) Perch´ e la Terra si raffredda di notte?

A cosa servono i binocoli ad infrarossi?

(9)

Evaporazione

Anche se un liquido non ` e alla temperatura di ebollizione, una molecola in superficie pu` o avere abbastanza energia da staccarsi Questa molecola ha pi` u energia della media, quindi la temperatura del resto del liquido si abbassa

a cosa serve sudare?

L’acqua sulla superficie dei polmoni evapora, e si perdono circa 580 calorie al giorno per questo

Bere molto d’estate, quando fa caldo, permette di mantenere la

temperatura corporea a un livello accettabile

(10)

Trasformazioni irreversibili

Il moto di un proiettile ` e ugualmente plausibile se filmato e proiettato alla rovescia

Un tuffo dal trampolino , lo sciogliersi del ghiaccio, il fermarsi del moto di un oggetto per effetto dell’attrito, non sono plausibili se si guardano nel verso ”sbagliato” del tempo

queste trasformazioni non sono impossibili in teoria, ma cos`ı poco

probabili che non si vedranno mai in tutta la vita dell’universo

trasformazioni di questo tipo si dicono irreversibili.

(11)

Secondo principio della termodinamica

Se metto in contato due corpi a temperature diverse, l’esperienza mi dice che il calore passa sempre da quello pi` u freddo a quello pi` u caldo posso pensare di inventare un procedimento per prendere il calore dal corpo pi` u freddo e, dopo molto trasformazioni, cederlo al corpo pi` u caldo; l’esperienza mi dimostra che se faccio questo (ad esempio, con un frigorifero) ci sar` a sempre qualche altro effetto

Posso quindi formulare il secondo principio (enunciato di Clausius) E impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia il `

passaggio di calore da un corpo pi` u freddo ad un corpo pi` u caldo

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Enunciato di Kelvin

Un modo per portare calore dal corpo pi` u freddo a quello pi` u caldo consiste nel trasformarlo in lavoro

Il lavoro pu` o poi sempre essere trasformato tutto in calore per riscaldare il corpo pi` u caldo

Se questo si pu` o fare trasformando tutto il calore in lavoro, il secondo principio non sar` a pi` u vero

Vale il secondo principio nell’enunciato di Lord Kelvin

` E impossibile realizazre una trasformazione il cui unico risultato sia la trasformazione di calore, tratto da una sorgente a temperatura

costante, in lavoro

Se questo non fosse vero, potremmo estrarre energia termica dal

mare, che viene poi riscaldato dal sole

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Trasformazioni reversibili

Perch` e una trasformazione si possa invertire, ` e necessario cambiare molto lentamente lo stato del sistema

Se questo avviene, posso pensare che in ogni istante pressione, temperatura e concentrazione delle soluzioni abbiano valori ben definiti

Questa trasformazione potr` a quindi essere disegnata su un diagramma

pressione-volume come una linea

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Rendimento

Dato che calore e lavoro non sono del tutto trasformabili l’uno

nell’altro, posso chiedermi che percentuale di calore posso trasformare in lavoro

Voglio costruire una macchina che trasformi calore in lavoro: per non essere ”usa e getta” la macchina deve essere ciclica

La sua rappresentazione nel diagramma p − V sr` a una curva chiusa Deve lavorare almeno tra due temperature T 1 e T 2 con T 1 > T 2 Estraggo un certo calore Q 1 alla temperatura T 1 , e cedo un calore Q 2 alla temperatura T 2 .

Dato che la trasformazione ` e ciclica e che l’energia ` e una funzione di stato, il lavoro fatto sar` a uguale al calore scambiato W = Q 1 − Q 2 Il rendimento η ` e il rapporto tra lavoro fatto e calore ricevuto alla temperatura pi` u alta

η = W Q 1

= Q 1 − Q 2 Q 1

≤ 1

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Ciclo di Carnot

Carnot ha dimostrato che la macchina termica ideale ha un rendimento

η = Q 1 − Q 2 Q 1

= T 1 − T 2 T 1

e che il rendimento ` e lo stesso per tutte le trasformazioni reversibili Si dimostra anche che le trasformazioni irreversibili hanno sempre un rendimento inferiore

Dall’equazione precedente ho che 1 − Q 2

Q 1 = 1 − T 2 T 1 e quindi

Q (−Q )

(16)

Entropia

Per una trasformazione reversibile che lavoro tra temperature T 1 , T 2 , . . . , T N posso generalizzare come P N

i =1 Q i /T i = 0

Per una trasformazione che scambia calore con continuit` a alle diverse temperature

I dQ T = 0

Posso prendere ora una trasformazione che va da A a B e considero la quantit` a

∆S (I ,II ) = Z B

A (I ,II )

dQ T

calcolata attraverso due trasformazioni reversibili diverse che vanno da A a B

la trasformazione ciclica che va da A a B attraverso I o torna da B ad A attraverso II ha ∆S (I +II ) = 0 = ∆S (I ) − ∆S (II )

quindi l’entropia S ` e una funzione di stato

(17)

Entropia dei processi irreversibili

Considero una trasformazione che va da A a B in modo irreversibile e da B ad A in modo reversibile: complessivamente ` e irreversibile, quindi

I dQ

T =

Z B A,irr

dQ

T −

Z B A,rev

dQ T < 0 Quindi

Z B A

dQ irr

T <

Z B A

dQ rev

T = S (B) − S (A)

Quindi la variazione dell’entropia in una trasformazione ` e maggiore di

quella dovuta allo scambio di calore

(18)

Energia libera di Gibbs

Un sistema termodinamico pu` o fare lavoro espandendosi, ma anche in altri modi

Separo questi due tipi di lavoro definendo dW = −pdV + dw e inserendo questa espressione nella formula del primo principio per le trasformazioni reversibili

dU = dW + dQ = −pdV − dw rev + TdS da questo ottengo dw rev = TdS − dU − pdV

Posso ora definire l’energia libera di Gibbs come G = U + pV − TS

per processi a temperatura e pressione costante, cio` e quelli che maggiormente interessano i sistemi biologici, ho che

dG = dU + pdV − TdS = −dw rev

per una generica trasformazione

dw ≤ −dG

(19)

Energia libera di Gibbs ed equilibrio

Quando G diminuisce si pu` o quindi ottenere del lavoro diverso da quello di espansione strettamente necessario per lo svolgersi della trasformazione. Pe runa trasformazione finita

w AB ≤ G (A) − G (B)

E chiaro che un sisteam pu` ` o fare lavoro a T e p costante solo se G diminuisce, se non viene fornita energia dall’esterno

Un sistema in equilibrio stabile si trover` a quindi in uno stato di G

minima

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