Facoltà di Ingegneria

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Prova scritta di Fisica II – 28.04.2005 – Compito A

Nota: ₂

2 12

0 Nm

10 C 85 .

8 ⋅ ⁻

= ε

Esercizio n. 1 (grado di difficoltà: 1)

Quattro condensatori di capacità C₁ =6mF,C₂ =9mF,C₃ =12mF,C₄ =4mF sono collegati come mostrato in figura. La differenza di potenziale tra i terminali A e B vale V=V_A−V_B =40mV.

Calcolare:

- la capacità equivalente tra i terminali A e B

- l’energia elettrostatica complessiva immagazzinata nei 4 condensatori - la carica sul condensatore di capacità C₁ =6mF.

Rispondere quindi alle seguenti domande:

1. la capacità equivalente tra i terminali A e B A. 10µF

B. 130µF C. 4mF (*) D. 36mF

2. l’energia elettrostatica immagazzinata nel sistema dei 4 condensatori vale A. 3.2µJ (*)

B. 80.5µJ C. 40.1mJ D. 60.8mJ

3. la carica sul condensatore di capacità C₁ =6mF(che è uguale alla carica sul condensatore equivalente tra i terminali A e B) ha valore

A. 1µC B. 160µC (*) C. 4mC D. 71mC

Esercizio n. 2 (grado di difficoltà: 1)

In un sistema di riferimento cartesiano, di origine O ed assi x, y, z (con versori rispettivamente iˆ , jˆ e kˆ ), il potenziale elettrostatico ha espressione

( )

^{ax bz}

2 z 1 , y , x

V = ²+ con a e b costanti dimensionali di valori: ₂ m 1 V

a= e

m 1V b= . Determinare:

- l’energia potenziale elettrostatica di una carica q₁=+2µC, posta nel punto ^P≡

( )

^1,1,2 - la forza elettrostatica Fsu una carica q₂=−1nC posta nel punto ^S≡

(

^2,1,0

)

Nota: se non altrimenti indicato, è inteso che le distanze sono espresse in metri; ad esempio ^P≡

( )

^1,1,2 significa che per P è x=1m,y=1m,z=2m. Si ricorda che la relazione tra campo elettrico e potenziale nel punto (x,y,z) è:

( ) ( )

^kˆ

z jˆ V y iˆ V x z V y, x, V z

y, x,

E ∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

=

∇

−

=

Rispondere quindi alle seguenti domande:

4. l’energia potenziale elettrostatica della carica q₁=+2µC nel punto ^P≡

( )

^1,1,2 vale A. 5µJ(*)

B. 107µJ C. 10mJ D. 35mJ

C1 C₃

C2 C4

A

B

5. la forza elettrostatica F sulla carica q₂ =−1nC nel punto ^S≡

(

^2,1,0

)

vale A. ^F=

(

^iˆ+2jˆ+kˆ

)

^⋅10−9N

B. ^F=

(

^iˆ+2kˆ

)

^⋅10−9N

C. ^F=

( )

^{iˆ+2jˆ⋅10−9N}

D. ^F=

( )

^{2iˆ+kˆ ⋅10−9N(*)}

Si noti, a titolo di esempio, che la scrittura ^F=

(

^iˆ+2jˆ+kˆ

)

^⋅10−9N significa N

10 1 F , N 10 2 F , N 10 1

F_x = ⋅ ⁻⁹ _y = ⋅ ⁻⁹ _z = ⋅ ⁻⁹ .

Esercizio n. 3 (grado di difficoltà: 1)

Un elettrone, di carica –q e massa m , viene sparato in un condensatore piano, vuoto, avente armature di area A e a _q distanza d l’una dall’altra (con d<< A). Il

condensatore è carico e la differenza di potenziale tra le armature vale V . _C

L’elettrone entra nel condensatore alla distanza 2 d da ciascuna delle due lastre e con velocità v parallela alle _i lastre. All’uscita dal condensatore, l’elettrone è a distanza

4

d dalla lastra carica positivamente.

Determinare il modulo della velocità v dell’elettrone all’uscita dal condensatore, trascurando l’effetto della gravità. _f Rispondere quindi alle seguenti domande

6. con riferimento alla figura, ed assumendo nullo il potenziale della lastra carica negativamente, il potenziale in un punto generico ^P≡

( )

^x,y all’interno del condensatore vale

A.

(

^{x y}

)

d V=V^C +

B. V=V_C y²

C. x

y d V V

2

= C

D. y

d V=V^C (*)

7. il modulo della velocità v con cui l’elettrone esce dal condensatore ha espressione _f A.

q C

f 4m

v = qV

B. v_f =v_i C.

q C 2 i

f 2m

v qV

v = + (*)

D.

q 2 C i

f m

v qV

v = −

Esercizio n. 4 (grado di difficoltà: 1,5)

Un cilindro retto di materiale isolante, di altezza H e raggio R, contiene carica negativa distribuita simmetricamente rispetto al proprio asse con densità volumica ρ(r)=Ar³, dove A è una costante < 0.

Si risponda alle seguenti domande:

8. La carica totale posseduta dal cilindro vale:

A. 5

AHR Q 2

π 5

= (*)

B. 5

AHR Q 4

π 3

=

d

d/4

d/2

v

i

mq

y

x - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

H

R r

C. H 7

R Q 12

π 4

=

D. 5A

HR Q 13

π 2

=

9. Assumendo che R H<<1 in maniera che si possa considerare il cilindro come se fosse indefinito, si calcoli, utilizzando la legge di Gauss, il campo elettrostatico E(r) esternamente al cilindro, in un generico punto P a distanza r dall’asse dove r >R:

A. r

r 1 5 ) AR r ( E

0 5⋅

= ε (*)

B. r

r 1 5 ) AR r ( E

0 5⋅

− ε

=

C. r

r 4 ) R r (

E ₂

ε0

−

=

D. r

2 r ) 3 r ( E

πε0

=

Esercizio n. 5 (grado di difficoltà: 1,5)

Un filo, sottile, non conduttore, carico, e’ piegato a forma di semicirconferenza di raggio R, come mostrato in figura.

Se la sua carica e’ distribuita con densità lineare λ=λ₀(cosθ+sinθ), dove θ è l’angolo mostrato in figura, si studino le proprietà elettrostatiche di questa distribuzione di carica e si risponda alle seguenti domande:

10. La carica elettrica totale posseduta dal filo vale:

A.

Q =

0 B. Q=λ2πR C. Q=2λ₀R(*) D. Q=

( )

12λ

11. Il potenziale elettrostatico V misurato nel centro O della semicirconferenza vale, rispetto al suo valore, considerato nullo, all’infinito:

A. V(O) 4 R πε0

= λ

B. ₂

0R ) O (

V ε

= λ

C.

0 0

) 2 O (

V πε

= λ (*)

D. V(O)=0

Esercizio n. 6 (grado di difficoltà: 1)

Quattro cariche puntiformi rispettivamente di intensità Q1= +q, Q₂ = -2q, Q₃ = +q, q₄ = -2q, sono posizionate ai vertici di un quadrato di lato L, come mostrato in figura.

Studiare le proprietà elettrostatiche di questa configurazione di carica dal punto di vista energetico e rispondere alle seguenti domande:

12. l’energia potenziale elettrostatica associata alla configurazione di cariche mostrata in figura, calcolata rispetto al suo valore nullo all’infinito, vale:

Q

₁

Q

2

Q

₄

Q

₃

R

O

A. 4 L U q

0 2

elettr

= πε

B. ^U ₈^q _L

(

^{5 2 16}

)

0 2

elettr −

= πε (*)

C. ₂

0 2

elettr

L 4 U q

= πε

D. U_elettr =0

13. il lavoro che e’ necessario compiere dall’esterno per spostare la carica Q₃ dalla sua posizione iniziale, mostrata in figura, all’infinito, vale:

A. L

q W 16

0 esterno

= πε

B. ₂

0 2

esterno

L 4 W q

= πε

C. ^W ₈^q _L

(

^{8 2}

)

0 2

esterno −

= πε (*)

D. W_esterno=0

Altre domande:

14. “Campo elettrostatico conservativo” significa che:

A. il campo e’ variabile nel tempo

B. il campo non dipende dalla posizione spaziale

C. il lavoro compiuto dal campo su una carica puntiforme è indipendente dal percorso seguito dalla carica (*) D. il lavoro compiuto dal campo su una carica puntiforme è nullo per ogni cammino scelto

15. la capacità di un condensatore dipende

A. dal materiale di cui sono fatte le armature B. dal dielettrico compreso tra le armature (*)

C. dalla differenza di potenziale applicata alle armature D. dalla carica elettrica sulle armature.

16. la forza che si esercita tra due cariche puntiformi uguali, Q₁ e – Q₂ poste nel vuoto a distanza R risulta:

A. dipendere dal reciproco del quadrato della distanza (*) B. dipendere dalla distanza elevata al cubo

C. non dipendere dalla distanza

D. dipendere dalla velocità relativa tra le cariche

17. in un materiale conduttore carico all’equilibrio elettrostatico si verifica che:

A. la carica in eccesso si distribuisce esclusivamente sulla superficie del conduttore (*) B. la carica in eccesso si distribuisce uniformemente in tutto il volume del conduttore C. la carica in eccesso rimane localizzata al centro del conduttore

D. la carica in eccesso viene bilanciata dalla carica gia’ presente nel conduttore

Soluzioni Esercizio n.1

I condensatori di capacità C e ₃ C sono in serie, quindi sono equivalenti ad un ₄

condensatore di capacità 3mF

C C

C C C

4 3

4 3

S =

= +

Il condensatori di capacità C e ₂ C sono in parallelo, quindi hanno capacità _S equivalente

mF 12 C C

C_P = ₂+ _S = .

Infine il condensatore C è in serie con il condensatore di capacità ₁ C , quindi la capacità _P totale tra i morsetti A e B risulta:

mF C 4

C C C C

1 P

1 P

T =

= + .

La energia elettrostatica complessiva del sistema dei 4 condensatori vale

(

^⋅

)(

^⋅

)

⁼

=

= T ² 4 10⁻³F 40 10⁻³V² 2

V 1 2C U 1

J 2 . 3 J 10 10 2 . 3 J 10 3200 V

F 10 10 1600 2 4

1 _{3 6 2 9 3 9}

µ

=

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅ ^{− − − −}

I condensatori di capacità C e ₁ C sono in serie e quindi hanno cariche _P Q e ₁ Q uguali tra loro ed uguali alla carica _P sul condensatore equivalente di capacità C : _T Q₁=Q_P =Q_T.

La carica Q sul condensatore equivalente, di capacità _T C_T =4mF, può essere facilmente calcolata:

C 160 C 10 160 mV 40 mF 4 V C

Q_T = _T = ⋅ = ⋅ ⁻⁶ = µ .

Esercizio n.2

L’energia potenziale della carica q₁=+2mC nel punto ^P≡

( )

^{1,1,2 m} vale

( ) ( ) ( ) ( )

^{V 5 J}

2 C 5 2 m m 2 1V m 1 m 1 V 2 C 1 2 2 , 1 , 1 V q P V q

U ²

1 2

1 = = µ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = µ ⋅ = µ

=

Il campo elettrico in un punto di coordinate

(

^x,y,z

)

^vale:

( ) ( )

^{kˆ ax iˆ bkˆ}

z jˆ V y iˆ V x z V , y , x V z

, y , x

E =− −

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

=

∇

−

=

In particolare, nel punto ^S≡

(

^2,1,0

)

, il campo elettrico vale

( ) (

^{S E2,1,0}

)

¹_m^{V 2m iˆ 1V}_m^kˆ

(

^{2iˆ 1kˆ}

)

^V_m

E = =− 2 ⋅ − = − −

Si noti che il campo elettrico è espresso nell’unità = C N m V

La forza elettrostatica sulla carica q₂=−1nC, nel punto ^S≡

(

^2,1,0

)

, vale:

( )

⁼

( )

⁼

(

^{− −}

)

^{=− ⋅}

(

^{− −}

)

⁼

= m

kˆ V 1 iˆ 2 nC 1 kˆ b iˆ ax q 0 , 1 , 2 E q S E q

F _{2 2 2}

( )

^{2iˆ+kˆ nC}_m^{V =}

( )

^{2iˆ+kˆ nCN}_C ⁼

( )

^{2iˆ+kˆ nN=}

( )

^{2iˆ+kˆ ⋅10−9N}

= Esercizio n. 3

Il campo all’interno del condensatore è uniforme ed ha valore d jˆ E=−V^C

C₁ C₃

C₂ C₄

A

B

C₁ A

C₂ C_S

B

C₁ A

C_P B

A

C_T B

( iˆ e jˆ sono i versori dell’asse x e y).

Il potenziale di un punto generico ^P≡

( )

^x,y all’interno del condensatore, assumendo nullo il potenziale V della lastra ₋ negativa del condensatore (V₋ =0), risulta:

( )

^{P V V}

( )

^{P E ds V}_d ^jˆ

(

^{dxiˆ dyjˆ}

)

^V_d ^{dy V}_d ^{dy V}_d ^y

V ^C

y

0 C P

S C P

S C P

S

=

=

= +

⋅

−

−

=

⋅

−

=

=

− ₋

dove si è indicato con S un punto qualsiasi della lastra carica negativamente.

L’energia potenziale elettrostatica dell’elettrone quando l’elettrone entra nel condensatore vale quindi:

2 qV 2 d d qV 2 V d q

U_ent =− ⋅ =− ^C =− ^C

analogamente, l’energia potenziale elettrostatica dell’elettrone quando l’elettrone esce dal condensatore vale:

4 V q3 4

d V 3 4 q

d d V q

U_usc =− ⋅ − =− ⋅ =− ^C

Poiché il campo elettrico è conservativo possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia (cinetica +potenziale) al moto dell’elettrone, tra la posizione in cui esso entra nel condensatore e quella in cui esce dal condensatore:

q C 2 i f C

2 f 2 q C 1 2 i 2 q 1 usc

usc ent

ent 2m

v qV 4 v

V q3 v 2 m

qV v m U

K U

K + = + − = − = +

Esercizio n.4

La carica elettrica contenuta all’interna del volume cilindrico è data da

5 AHR ) 2

rHdr 2 ( Ar dv dq

Q

5

Vcilindro R

0

3 π = π

= ρ

=

=

Nell’ipotesi che H sia tale che H>>R possiamo considerare il cilindro infinitamente lungo ed applicare la legge di Gauss ε ρ

=

⋅

VA

A 0

1 dv dA n E

dove, data la simmetria cilindrica esibita dalla distribuzione di carica, A è una superficie gaussiana cilindrica coassiale col cilindro e avente raggio di base pari a r.

Esternamente al cilindro di carica, cioè per r>R abbiamo che 5

AHR 2 rH 1 2 E

5

0

π

= ε π da cui si ricava facilmente che

rr 1 5 ) AR r ( E

0 5⋅

= ε Esercizio n.5

La carica elettrica totale posseduta dal filo non conduttore è data dalla seguente espressione:

R 2 ) Rd ) cos (sin ( dl dq

Q ₀

Filo 0

0 θ+ θ θ = λ

λ

= λ

=

=

π

Il valore del potenziale elettrostatico V(O) nel punto O, rispetto al suo valore nullo all’infinito, potrebbe in linea di principio essere calcolato applicando la definizione di potenziale elettrostatico, ovvero:

∞

⋅

=

∞

−

O

s d E ) ( V ) O ( V

in quanto la conservatività del campo elettrostatico ci consente di scegliere il cammino più semplice tra i punti A e B, ma rimane la difficoltà di non conoscere l’espressione esplicita del campo elettrostatico lungo tutti i punti del cammino anche quello più semplice. Pertanto questa strada non è percorribile per la risoluzione del quesito.

Ma, ricordando che il potenziale elettrostatico, rispetto all’infinito, di una carica puntiforme dq, vale:

r 4 dV dq

πε0

=

possiamo ricorrere al Principio di Sovrapposizione degli effetti per scrivere che:

= πε

= r

dq 4

dV 1 ) O ( V

0

che nel nostro caso diventa banalmente:

0 0

Filo 0

0 Filo 0

0 Q 2

R 4 dl 1 R 4 dq 1 R 4

1 r dq 4

dV 1 ) O (

V πε

= λ

= πε πε λ

πε = πε =

=

=

Esercizio n.6

L’energia potenziale elettrostatica posseduta dalla struttura di cariche descritta è semplicemente il lavoro che è necessario compiere dall’esterno in maniera da portare ciascuna carica elettrica dall’infinito alla posizione richiesta.

Calcolando esplicitamente questo lavoro per ciascuna delle cariche, tenendo conto che F_esterna=−F_{Elettrostatica} sommando tutti i contributi ottenuti si perviene facilmente alla seguente espressione:

≠ πε

=

j

i 0ij

j i tica

elettrosta

r 4

q q 2 U 1

che nel nostro particolare caso diventa:

) 16 2 5 L( 8

q 2 L 4

q q 2 L 4

q q L 4

q 4 q U

0 2

0 4 2

0 3 1

0 2 1 tica

elettrosta −

= πε + πε

+ πε

= πε

con ovvio significato delle quantità utilizzate.

Il lavoro, fatto dall’esterno, necessario per portare la carica q₃ dalla posizione occupata in figura all’infinito vale:

) 2 8 L( 8 U q U

U W

W

0 2

finale iniziale finale

tico Elettrosta

esterno −

= πε

=

−

=

−

= dove

) 4 2 2 L( 4 U q

0 2

finale −

= πε

è l’energia potenziale della configurazione delle tre cariche rimanenti dopo l’allontanamento di q₃ all’infinito e )

16 2 5 L( 8 U q

0 2

iniziale −

= πε