UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA INGEGNERIA AEROSPAZIALE
CORSO DI FISICA E ELETTRONICA Appello n. 5 - 12/1/2010
Soluzioni
PROBLEMA I 1)
L'energia potenziale della particella vale:
UHxL = q VHxL =q V0Ix3- a x2M (1) b3
Il grafico della (1) mostra con chiarezza i punti di equilibrio stabile (minimo relativo) e instabile (massimo relativo):
-2 -1 1 2 3 4 x@mD
UHxL
La determinazione esatta delle ascisse dei punti di equilibrio si ottiene dai valori che annullano la derivata prima della UHxL:
U 'HxL =q V0I3 x2- 2 a xM (2)
b3 =q V0xH3 x - 2 aL
b3 = 0
risolvendo la (2) si ottengono le soluzioni:
(3) x= 0 equilibrio instabile
2 a
3 = 2 m equilibrio stabile
2)
Il sistema è conservativo e l'energia meccanica totale si conserva. Detta v la componente x della velocità, l'energia totale della particella è:
(4) E=1
2m v2+ UHxL
e, detta v0 la velocità iniziale, dalle condizioni iniziali si ha:
E=1 (5)
2m v2+ UHxL =m v02
2 +q V0Ix03- a x02M b3
Per raggiungere la posizione di ascissa x= 2 m la particella deve superare la barriera di potenziale frapposta e in particolare il punto di massimo relativo dell'energia potenziale a x= 0, che vale UH0L = 0. Deve quindi essere E > 0.
Dalla (5) si ricava:
v0> 2 2 q V0 (6) m = vmin
3)
Il punto di ascissa massima è quello di "inversione" alla destra del massimo relativo, per il quale l'energia potenziale uguaglia l'energia E= 0.
Risolvendo l'equazione:
UHxL =q V0Ix3- a x2M b3 = 0 si ottiene per il punto di ascissa massima:
xmax= a = 3 m (7)
4)
Il punto di massima accelerazione è quello di massima forza e quindi di massimo campo elettrico:
ExHxL = -∑VHxL
∑ x =H2 a - 3 xL x V0
b3
-2 -1 1 2 3 4 x@mD
ExHxL
il massimo della funzione parabolica ExHxL si ha per:
x=a (8) 3= 1 m
5)
Non essendo presente attrito l'energia meccanica si conserva e quando la particella ripassa per il punto di partenza x0 essa ha la stessa energia potenziale e quindi cinetica dell'istante iniziale. Naturalmente il verso della velocità sarà opposto a quello iniziale:
v= -vmin (9)
6)
Il lavoro fatto dalla forza d'attrito nel percorso da x0 fino a x= 0 vale:
La= -FaH0 - x0L = Fax0
Stavolta all'energia iniziale della (5) va sommato il lavoro (negativo perché x0< 0 ) fatto dall'attrito per ottenere l'energia meccanica della particella al suo arrivo nel punto x= 0. La disequazione della risposta (2) diventa quindi
m v02 (10)
2 +q V0Ix03
- a x02M
b3 + Fax0> 0
che risolta fornisce:
v0> 2 4 q V0- Fax0 (11) m = vmin 2 a08-09_5s.nb
