R2 : x2− y2 ≤ 0} interseca tutti i quadranti 2 2 La funzione f (x, y

Pisa, 12 Gennaio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

In R³ esiste un unico vettore di norma 3 perpendicolare a (1, 2, 3) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²− y² ≤ 0} interseca tutti i quadranti 2 2 La funzione f (x, y) = x²e^y non ha punti stazionari 2 2 (0, 0) `e l’unico punto di minimo relativo per f (x, y) = x²+ y²+ 2xy 2 2

max{cos x + sin y : (x, y) ∈ R²} = 2 2 2

L’integrale improprio di 1/√

x in [0, 1] diverge 2 2

La soluz. generale dell’eq. diff. u⁰⁰⁰+ u⁰⁰ = 0 `e u(t) = a + be<sup>−t</sup>+ cte<sup>−t</sup> 2 2 L’equazione differenziale u<sup>0</sup> + t<sup>2</sup>u = 1 `e lineare 2 2 u(t) = −(t + 2)⁻¹, `e una soluzione dell’equazione differenziale u⁰ = u² 2 2

∃ (x, y) ∈ R² tale che x² + y² ≥ 100 e x²+ y ≤ −100 2 2

• Sia f (x, y) = ye^xy. Allora f_y(2, 7) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 4 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₄(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : |x| ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ x}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

2x dx dy = . . . .

Z

B

5 dx dy = . . . .

Z +∞

2

e^−xdx = . . . .

minx²+ y²+ 9 : 2x²+ 3y² ≤ 9 = . . . .

Pisa, 12 Gennaio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

∃ λ ∈ R tale che la norma in R³ del vettore (2, λ, 3) `e 3 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R<sup>2</sup> : x<sup>2</sup>+ y<sup>2</sup> ≤ 1, x + y ≥ 2} `e vuoto 2 2 La funzione f (x, y) = xe^y non ha punti stazionari 2 2 La forma quadratica q(x, y) = 3x²+ 4xy + y² `e definita positiva 2 2

inf{x²+ y³ : (x, y) ∈ R²} = −∞ 2 2

L’integrale improprio di (sin x)/x² in [0, 1] diverge 2 2 L’equazione differenziale u⁰(t) + u²(t) = t `e autonoma 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u<sup>000</sup>− u<sup>00</sup> = 0 `e u(t) = a + bt + ce^t 2 2 Se u⁰ = u²+ tu + 3 e u(0) = 4, allora u⁰(0) = 19 2 2 L’integrale di x²y³ sul cerchio con centro in (0, 2) e raggio 1 `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = arctan(2x + y⁴). Allora f_y(0, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 2 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₂(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0, x ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 7, y ≤ 0}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

9 dx dy = . . . .

Z

B

y dx dy = . . . .

maxn

2^x2+y2 : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]o

= . . . .

suparctan(4x) − 4 arctan y : (x, y) ∈ R² = . . . .

Pisa, 3 Febbraio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

In R³ non esistono vettori di norma 3 perpendicolari a (1, 2, 3) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, x + y ≥ 1} `e vuoto 2 2 La funzione f (x, y) = cos x + sin y ha infiniti punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = e^x2 + cos y 2 2

max{e^−x2−y2 : (x, y) ∈ R²} = 1 2 2

L’integrale improprio di 1/√

x in [1, +∞) diverge 2 2

L’equazione differenziale u⁰(t) + u²(t) = 1 `e autonoma 2 2 La sol. gener. dell’eq. diff. u<sup>00</sup>− 2u<sup>0</sup>+ 5u = 0 `e u(t) = e^t(a cos t + b sin t) 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u⁰ = |u| + 1, u(0) = 0 `e crescente 2 2

∃ R > 0 tale che x⁴+ y⁴ − 2 sin(xy) ≥ 8 se x²+ y² ≥ R 2 2

• Sia f (x, y) = e^2xcos y. Allora f_xx(0, π) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 1 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₁(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 5]}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 7, y ≤ 0}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

|x| dx dy = . . . .

Z

B

xy⁸dx dy = . . . .

Z +∞

−∞

dx

1 + x² = . . . .

sup

 1

1 + x²+ y² + 4 : (x, y) ∈ R²



= . . . .

Pisa, 17 Febbraio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

∃ λ ∈ R tale che la norma in R³ di (λ, 2, 3) `e 4 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R<sup>2</sup> : |x| ≤ 2, y<sup>2</sup> ≤ 2} `e un rettangolo 2 2 La funzione f (x, y) = x⁴+ y⁴+ x² non ha punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = x²+ y²+ 3xy 2 2

Esiste min{e^−x2−y2 : x⁴+ y⁴ ≤ 22} 2 2

L’integrale improprio di (1 + x²)⁻¹ su tutto R converge 2 2 La soluz. gen. dell’eq. diff. u⁰⁰⁰− u = 0 `e u(t) = ae<sup>t</sup>+ bte<sup>t</sup>+ ct<sup>2</sup>e<sup>t</sup> 2 2 L’equazione differenziale u<sup>0</sup> = u<sup>3</sup>+ 1 `e a variabili separabili 2 2 u(t) = (t + 2)⁻¹ `e una soluzione dell’equazione differenziale u⁰ = u² 2 2 L’integrale di x² e di y² su {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1} coincidono 2 2

• Sia f (x, y) = tan(x + 2y). Allora f_y(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 2 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₂(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, π], 0 ≤ y ≤ | cos x|}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 7}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

|x| dx dy = . . . .

sup



α ∈ R :

Z +∞

0

x^αe^−xdx converge



= . . . .

inf n

e^−x2−y2 : (x, y) ∈ R² o

= . . . .

Pisa, 9 Giugno 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Esiste λ ∈ R tale che la norma in R³ del vettore λ(1, 2, 3) `e 4 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R<sup>2</sup> : x ≥ 0, xy ≥ 1, x + y ≤ 8} `e limitato 2 2 La funzione f (x, y) = x⁴+ y⁴− x² ha esattamente tre punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = x²+ y²+ 3x 2 2

max{x + y : x²+ y² ≤ 2} = 2 2 2

L’integrale improprio di (sin x)/x² in [3, +∞[ converge 2 2 u⁰⁰+ tu² = 1, u(0) = 1, u⁰(1) = 1 `e un problema di Cauchy 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u<sup>000</sup>− u<sup>0</sup> = 0 `e u(t) = a + be^t+ ce^−t 2 2 Il problema di Cauchy u⁰+ tu = t², u(0) = 5 ha soluzione globale 2 2 Esiste almeno un punto (x, y) ∈ R² tale che log(7 + xy) = −3 2 2

• Sia f (x, y) = y²

x + 1. Allora f_xy(1, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 1 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₁(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 7}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

|y| dx dy = . . . .

Z +∞

0

1

x + 5dx = . . . .

inf

 1

x²+ y²+ 41 : (x, y) ∈ R²



= . . . .

Pisa, 22 Giungo 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

In R² esistono esattamente due vettori di norma 2 perpendicolari a (1, 2) 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²− y² ≤ 0} `e limitato 2 2

La funzione f (x, y) = x³e^y ha infiniti punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = x²+ y²− xy 2 2

Esiste min{e^−x2−y2 : (x, y) ∈ R²} 2 2

L’integrale improprio di x³e^−x in [−3, +∞] converge 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u⁰⁰⁰+ u⁰ = 0 `e u(t) = a + be^t+ ce^−t 2 2

L’equazione differenziale u⁰+ tu² = 1 `e lineare 2 2

Il problema di Cauchy u⁰ = sin(tu), u(0) = 0 non ha soluzione 2 2 L’integrale di x³y² sul cerchio con centro in (0, 2) e raggio 1 `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = x²e^2y. Allora f_xy(1, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 3 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₃(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : |x| ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R² : x² + y² ≤ 7, y ≥ x}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

9x dx dy = . . . .

Z

B

(x²+ y²) dx dy = . . . .

sup



α ∈ R : Z 1

0

arctan(x²)

x^α dx converge



= . . . .

sup {log(1 + xy) : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 4]} = . . . .