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R2 : x2− y2 ≤ 0} interseca tutti i quadranti 2 2 La funzione f (x, y

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Academic year: 2021

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(1)

Pisa, 12 Gennaio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

In R3 esiste un unico vettore di norma 3 perpendicolare a (1, 2, 3) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x2− y2 ≤ 0} interseca tutti i quadranti 2 2 La funzione f (x, y) = x2ey non ha punti stazionari 2 2 (0, 0) `e l’unico punto di minimo relativo per f (x, y) = x2+ y2+ 2xy 2 2

max{cos x + sin y : (x, y) ∈ R2} = 2 2 2

L’integrale improprio di 1/√

x in [0, 1] diverge 2 2

La soluz. generale dell’eq. diff. u000+ u00 = 0 `e u(t) = a + be−t+ cte−t 2 2 L’equazione differenziale u0 + t2u = 1 `e lineare 2 2 u(t) = −(t + 2)−1, `e una soluzione dell’equazione differenziale u0 = u2 2 2

∃ (x, y) ∈ R2 tale che x2 + y2 ≥ 100 e x2+ y ≤ −100 2 2

• Sia f (x, y) = yexy. Allora fy(2, 7) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 4 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P4(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1, y ≥ x}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

2x dx dy = . . . .

Z

B

5 dx dy = . . . .

Z +∞

2

e−xdx = . . . .

minx2+ y2+ 9 : 2x2+ 3y2 ≤ 9 = . . . .

(2)

Pisa, 12 Gennaio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

∃ λ ∈ R tale che la norma in R3 del vettore (2, λ, 3) `e 3 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1, x + y ≥ 2} `e vuoto 2 2 La funzione f (x, y) = xey non ha punti stazionari 2 2 La forma quadratica q(x, y) = 3x2+ 4xy + y2 `e definita positiva 2 2

inf{x2+ y3 : (x, y) ∈ R2} = −∞ 2 2

L’integrale improprio di (sin x)/x2 in [0, 1] diverge 2 2 L’equazione differenziale u0(t) + u2(t) = t `e autonoma 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u000− u00 = 0 `e u(t) = a + bt + cet 2 2 Se u0 = u2+ tu + 3 e u(0) = 4, allora u0(0) = 19 2 2 L’integrale di x2y3 sul cerchio con centro in (0, 2) e raggio 1 `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = arctan(2x + y4). Allora fy(0, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 2 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P2(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, x ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 7, y ≤ 0}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

9 dx dy = . . . .

Z

B

y dx dy = . . . .

maxn

2x2+y2 : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]o

= . . . .

suparctan(4x) − 4 arctan y : (x, y) ∈ R2 = . . . .

(3)

Pisa, 3 Febbraio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

In R3 non esistono vettori di norma 3 perpendicolari a (1, 2, 3) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1, x + y ≥ 1} `e vuoto 2 2 La funzione f (x, y) = cos x + sin y ha infiniti punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = ex2 + cos y 2 2

max{e−x2−y2 : (x, y) ∈ R2} = 1 2 2

L’integrale improprio di 1/√

x in [1, +∞) diverge 2 2

L’equazione differenziale u0(t) + u2(t) = 1 `e autonoma 2 2 La sol. gener. dell’eq. diff. u00− 2u0+ 5u = 0 `e u(t) = et(a cos t + b sin t) 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u0 = |u| + 1, u(0) = 0 `e crescente 2 2

∃ R > 0 tale che x4+ y4 − 2 sin(xy) ≥ 8 se x2+ y2 ≥ R 2 2

• Sia f (x, y) = e2xcos y. Allora fxx(0, π) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 1 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P1(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 5]}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 7, y ≤ 0}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

|x| dx dy = . . . .

Z

B

xy8dx dy = . . . .

Z +∞

−∞

dx

1 + x2 = . . . .

sup

 1

1 + x2+ y2 + 4 : (x, y) ∈ R2



= . . . .

(4)

Pisa, 17 Febbraio 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

∃ λ ∈ R tale che la norma in R3 di (λ, 2, 3) `e 4 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 2, y2 ≤ 2} `e un rettangolo 2 2 La funzione f (x, y) = x4+ y4+ x2 non ha punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = x2+ y2+ 3xy 2 2

Esiste min{e−x2−y2 : x4+ y4 ≤ 22} 2 2

L’integrale improprio di (1 + x2)−1 su tutto R converge 2 2 La soluz. gen. dell’eq. diff. u000− u = 0 `e u(t) = aet+ btet+ ct2et 2 2 L’equazione differenziale u0 = u3+ 1 `e a variabili separabili 2 2 u(t) = (t + 2)−1 `e una soluzione dell’equazione differenziale u0 = u2 2 2 L’integrale di x2 e di y2 su {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1} coincidono 2 2

• Sia f (x, y) = tan(x + 2y). Allora fy(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 2 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P2(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, π], 0 ≤ y ≤ | cos x|}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 7}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

|x| dx dy = . . . .

sup



α ∈ R :

Z +∞

0

xαe−xdx converge



= . . . .

inf n

e−x2−y2 : (x, y) ∈ R2 o

= . . . .

(5)

Pisa, 9 Giugno 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Esiste λ ∈ R tale che la norma in R3 del vettore λ(1, 2, 3) `e 4 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, xy ≥ 1, x + y ≤ 8} `e limitato 2 2 La funzione f (x, y) = x4+ y4− x2 ha esattamente tre punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = x2+ y2+ 3x 2 2

max{x + y : x2+ y2 ≤ 2} = 2 2 2

L’integrale improprio di (sin x)/x2 in [3, +∞[ converge 2 2 u00+ tu2 = 1, u(0) = 1, u0(1) = 1 `e un problema di Cauchy 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u000− u0 = 0 `e u(t) = a + bet+ ce−t 2 2 Il problema di Cauchy u0+ tu = t2, u(0) = 5 ha soluzione globale 2 2 Esiste almeno un punto (x, y) ∈ R2 tale che log(7 + xy) = −3 2 2

• Sia f (x, y) = y2

x + 1. Allora fxy(1, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 1 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P1(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 7}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

2 dx dy = . . . .

Z

B

|y| dx dy = . . . .

Z +∞

0

1

x + 5dx = . . . .

inf

 1

x2+ y2+ 41 : (x, y) ∈ R2



= . . . .

(6)

Pisa, 22 Giungo 2007

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

In R2 esistono esattamente due vettori di norma 2 perpendicolari a (1, 2) 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x2− y2 ≤ 0} `e limitato 2 2

La funzione f (x, y) = x3ey ha infiniti punti stazionari 2 2 (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f (x, y) = x2+ y2− xy 2 2

Esiste min{e−x2−y2 : (x, y) ∈ R2} 2 2

L’integrale improprio di x3e−x in [−3, +∞] converge 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u000+ u0 = 0 `e u(t) = a + bet+ ce−t 2 2

L’equazione differenziale u0+ tu2 = 1 `e lineare 2 2

Il problema di Cauchy u0 = sin(tu), u(0) = 0 non ha soluzione 2 2 L’integrale di x3y2 sul cerchio con centro in (0, 2) e raggio 1 `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = x2e2y. Allora fxy(1, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 3 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P3(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 7, y ≥ x}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

9x dx dy = . . . .

Z

B

(x2+ y2) dx dy = . . . .

sup



α ∈ R : Z 1

0

arctan(x2)

xα dx converge



= . . . .

sup {log(1 + xy) : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 4]} = . . . .

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