Corsi di Probabilità, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell’Automazione, Informatica e Inf.Gest.Azienda
30/06/2011
Esercizio 1. Dieci persone si iscrivono ad un torneo di tennis. Quattro di loro hanno più di 40 anni.
i) Selezionando una coppia (non ordinata) a caso, che probabilità c’è che sia fatta di due ultra-quarantenni?
ii) Calcolare (rigorosamente) il numero medio di ultra-quarantenni in una coppia causale.
Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) che vale Ce x per x 0 e 0 per x > 0.
i) Stabilire per quali valori di e di C è una densità di probabilità.
ii) Detta X una v.a. con tale densità, trovare una trasformazione Y = g (X) per cui Y sia una v.a. esponenziale di parametro .
iii) Calcolare quindi la funzione generatrice 'X(t), usando il punto prece- dente (o altre strade se non si è risolto tale punto), sottolineando per quali valori di t essa è ben de…nita.
iv) Calcolare P (X 1)2 > 1 .
Esercizio 3. Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g associata alla seguente matrice di transizione
P = 0 BB BB BB BB
@
0 1=4 1=4 1=4 1=4 0 0
0 0 0 0 0 1=2 1=2
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0
1 CC CC CC CC A
i) Calcolare la probabilità, partendo da 1, di essere in 7 dopo n passi.
Converge per n ! 1?
ii) Classi…care gli stati e trovare le classi irriducibili.
iii) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena. Cercare di usare ragionamenti il più possibile strutturali e non solo calcoli alla cieca.
Esercizio 4. Siano X1; :::; X100 delle v.a. indipendenti, di media 0 e varianza 1. Si ponga
X = X1+ ::: + X100
100 :
i) Calcolare V ar X (non dare ovviamente il risultato per buono nel caso lo si conosca).
ii) Calcolare approssimativamente P X 1 < 0:1 .
iii) Cosa si può dire di esatto (non approssimato) su P X 1 < 0:5 ?
1 Soluzioni
Esercizio 1. i) Risolviamo ad es. col rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. I casi possibili sono tutte le coppie non ordinate, ovvero 102 . I casi favorevoli sono tutte le coppie non ordinate prese tra i 4 ultra-quarantenni, ovvero 42 . In conclusione la probabilità richiesta vale
4 2 10
2
= 4!2!8!
2!2!10! = 4 3 10 9 = 2
15 = 0:133 33:
Un altro modo consiste nell’estrarre due persone tra le 10; la probabil- ità richiesta è la probabilità che in entrambe le estrazioni esca un ultra- quarantenne. La probabilità che la prima estrazione dia un ultra-quarantenne è 104. La seconda estrazione è indipedente, e per essa la probabilità che esca un ultra-quarantenne è 39. Per l’indipendenza, la probabilità complessiva è il prodotto, 10 94 3 = 152.
ii) La v.a. X, numero di ultra-quarantenni in una coppia causale, può assumere solo i valori 0, 1, 2. Il valore 2 è assunto con probabilità 152. In modo analogo, il valore 0 è assunto con probabilità 10 96 5 = 13. Quindi il valore 1 è assunto con probabilità 1 152 13. Il valor medio allora è
2 2
15+ 1 1 2 15
1
3 = 2
15 +2 3 = 12
15 = 4 5:
Esercizio 2. i) Dev’essere > 0altrimenti la funzione e quindi l’integrale diverge (a 1). Poi
Z 0 1
Ce xdx = C
e x 0
1= C
per cui dev’essere C = .
ii) La v.a. X assume valori in ( 1; 0], quindi X assume valori in [0; 1).
Consideriamo allora la funzione g (x) = x. e la v.a. Y = g (X). Vale P (Y > t) = P ( X > t) = P (X < t)
= Z t
1
e xdx = e ( t) = e t per cui Y è davvero esponenziale di parametro .
iii) Siccome Y = X, vale X = Y, quindi 'X(t) = ' Y (t) = 'Y ( t) =
( t) =
+ t:
Siccome 'Y (s) è de…nita solo per s < , 'Y ( t)è de…nita solo per t < , quindi 'X(t) è de…nita solo per t > .
iv)
P (X + 1)2 > 1 = P (jX + 1j > 1) = P (X < 2) = P (Y > 2) = e 2 : Esercizio 3. i) Per n = 2 la probabilità è 14 12 (percorso 1 ! 2 ! 7) per n = 3 la probabilità è 14 12 (percorso 1 ! 2 ! 6 ! 7), per n = 4 la probabilità è 14 12 (percorso 1 ! 2 ! 7 ! 6 ! 7), e così via. Ovviamente converge a 14 12.
ii) 1 e 2 sono transitori, 5 è assorbente, 3 e 4 formano una classe ir- riducibile, 6 e 7 formano una classe irriducibile.
iii) 5 è assorbente, quindi (0; 0; 0; 0; 1; 0; 0) è una misura invariante. Alla classe f3; 4g è associata la misura invariante (0; 0; 1=2; 1=2; 0; 0; 0) ed alla classe f6; 7g è associata la misura invariante (0; 0; 0; 0; 0; 1=2; 1=2). Le misure invarianti sono
(0; 0; =2; =2; ; =2; =2)
con ; ; 2 [0; 1], + + = 1 (eventualmente esprimibili tramite solo due parametri, a causa della relazione + + = 1).
Esercizio 4. i)
E X = 1
100 X100
i=1
E [Xi] = 1 per linearità,
V ar X = Eh
X 1 2i
= E 2
4 1
100 X100
i=1
(Xi 1)
!23 5
= 1
1002E
" 100 X
i;j=1
(Xi 1) (Xj 1)
#
= 1
1002 X100 i;j=1
E [(Xi 1) (Xj 1)]
= 1
1002 X100 i;j=1
E (Xi 1)2 = 1 1002
X100 i;j=1
V ar [Xi] = 1 100
avendo usato l’indipendenza.
ii)
P X 1 < 0:1 = P 0:9 < X < 1:1
= P (90 < X1+ ::: + X100< 110) ed ora applichiamo il TLC:
= P 90 100
p100 < X1+ ::: + X100 100
p100 < 110 100 p100
' 110 100
p100
90 100
p100 = (1) ( 1)
= 0:8413 0:1586 = 0:682 7:
iii) Per la disuguaglianza di Chebyshev
P X 1 < 0:5 = 1 P X 1 0:5 = 1 P X 1 2 0:52
1 E
h
X 1 2 i
0:52 = 1 V ar X
0:52 = 1 1
100 0:25
= 1 1
25:
