Lez. 3 - Gli Indici di VARIABILITA’

Lez. 3 - Gli Indici di VARIABILITA’

- Campo di variazione - Scarto dalla media - Varianza

- Scarto quadratico medio - Coefficiente di variazione

Elementi di Statistica descrittiva

Elementi di Statistica descrittiva

Indici di Variabilità

I valori medi sono indici importanti per la descrizione sintetica di un fenomeno

statistico

Hanno però il limite di non darci alcuna

informazione sulla distribuzione dei dati

Esempio

In tre differenti prove di matematica 4 studenti hanno riportato le seguenti valutazioni

1a Prova 2a Prova 3a Prova

1° studente 3 5 6

2° studente 5 7 7

3° studente 8 6 6

4° studente 9 7 6

media 6,25 6,25 6,25

In tutte e tre le prove la media è 6,25

ma i dati sono chiaramente distribuiti in modo diverso

Diagramma di distribuzione delle tre prove

Diagramma dispersione dati

01 23 45 67 89 10

0 1 2 3 4

num prova

valutazioni 1 studente

2 sttudente 3 studente 4 studente media

• nel caso della 1

prova e 2

prova sarà opportuno fare un recupero per alcuni studenti

• nel caso della 3

prova l’insegnante può ritenere che gli obiettivi siano stati raggiunti dalla classe, anche se ad un livello solo sufficiente

Diagramma dispersione dati

01 23 45 67 89 10

0 1 2 3 4

num prova

valutazioni 1 studente

2 sttudente 3 studente 4 studente media

• Campo di variazione (Range)

• Scarto medio dalla media

• Varianza e scarto quadratico medio

• Coefficiente di variazione

In statistica è possibile valutare in modo

sintetico la distribuzione dei dati mediante gli indici di variabilità (o dispersione)

Vedremo i seguenti indici

Campo variazione = x

– x

Campo di variazione

E’ il più semplice degli indici di variazione:

Si calcola facendo la differenza tra il dato più grande e il dato più piccolo

Rappresenta l’ampiezza dell’intervallo dei dati

Esempio

Consideriamo le valutazioni della prima prova

1a Prova 1° studente 3 2° studente 5 3° studente 8 4° studente 9

media 6,25

Xmax = 9;

Xmin = 3 Range = 9 – 3 = 6

Calcoliamo il Range per tutte le tre prove

1^a Prova 2^a Prova 3^a Prova

1° studente 3 2 6

2° studente 5 7 7

3° studente 8 8 6

4° studente 9 8 6

media 6,25 6,25 6,25

range 6 6 1

Range 1^a prova = 6  dati più dispersi,

risultati più eterogenei Range 3^a prova = 1  dati più concentrati,

risultati più omogenei

Range 2^a prova = Range 1^a prova = 6

Stessa Distribuzione?

Campo di variazione delle tre prove

01 2 34 56 78 109

0 1 2 3 4

num prova

valutazioni

1 studente 2 sttudente 3 studente 4 studente

range

Vediamo graficamente

Osservazioni:

1. Il campo di variazione dà informazioni sulla distribuzione dei dati:

• più R è piccolo più i dati sono concentrati;

• più R è grande più i dati sono dispersi.

2. R è espresso nella stessa unità di misura dei dati 3. Tuttavia R tiene conto solo dei dati estremi della

distribuzione e non di tutti i dati, pertanto distribuzioni diverse ma con gli stessi valori estremi hanno range uguali

Es. Range 1^aprova = Range 2^a prova.

ma distribuzione 1^a prova  Distribuzione 2^a prova

Scarto medio dalla media aritmetica

Un altro modo per calcolare la variabilità dei dati (tenendo conto di tutti i dati) consiste nel

calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distanze

Scarto medio = Distanza media dei dati dalla media

n

x x

x x

x

x     





 ...

S medio

Scarto

Esempio

Consideriamo le valutazioni della prima prova

1a Prova 1° studente 3 2° studente 5 3° studente 8 4° studente 9

media 6,25

x₁ =  3 – 6,25  = 3,25; x₂ =  5 – 6,25  = 1,25;

x₃ =  8 – 6,25  = 1,75; x₄ =  9 – 6,25  = 2,75;

Sm

Calcoliamo lo Scarto medio per tutte le tre prove

Scarto 1^a prova = 2,25  dati più dispersi,

risultati più eterogenei Scarto 3^a prova = 0,38  dati più concentrati,

risultati più omogenei

Scarto 2^a pr.  Scarto 1^a pr.

“Le Distribuzioni Differiscono”

1a Prova 2a Prova 3a Prova

1° studente 3 2 6

2° studente 5 7 7

3° studente 8 8 6

4° studente 9 8 6

media 6,25 6,25 6,25

scarto medio 2,25 2,13 0,38

Diagramma degli scarti dalla media

Diagramma degli scarti dalla media

-5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

1 2 3

num. prova

Scarto dalla media

stud.1 stud.2 stud.3 stud.4

Osservazioni:

1. Lo scarto medio dalla media dà informazioni sulla distribuzione dei dati:

• più S_M è piccolo più i dati sono concentrati;

• più S_M è grande più i dati sono dispersi.

2. S_M è espresso nella stessa unità di misura dei dati

3. Non ha l'inconveniente del “Campo di variazione” in quanto S_M tiene conto di tutti i dati della distribuzione

Varianza e Scarto quadratico medio

Sono gli indici di variabilità più utilizzati, e tengono conto della distribuzione di tutti i dati.

Varianza

Rappresenta la media aritmetica dei quadrati delle distanze dei dati dalla media M

     

n

x x

x x

x

x₁ ² ₂ ² _n ²

2 ...

Varianza      







  ^{ }

n x n

x

x

n

i



 ^







2 1

2

Varianza

Esempio - Varianza

Consideriamo le valutazioni della prima prova

1a Prova 1° studente 3 2° studente 5 3° studente 8 4° studente 9

media 6,25

(x₁)² = (3 – 6,25 )² = 10,5625; (x₂)² = (5 – 6,25 )² = 1,5625;

(x₃)² = (8 – 6,25 )² = 3,0625; (x₄)² = (9 – 6,25 )² = 7,5625;



Calcoliamo la Varianza per tutte le tre prove

Varianza 1^aprova = 5,69  dati più dispersi,

risultati più eterogenei Varianza 3^a prova = 0,19  dati più concentrati,

risultati più omogenei

Varianza 2^a pr.  Varianza 1^a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

1^a Prova 2^a Prova 3^a Prova

1° studente 3 2 6

2° studente 5 7 7

3° studente 8 8 6

4° studente 9 8 6

media 6,25 6,25 6,25

varianza 5,69 6,19 0,19

Scarto quadratico medio o

Deviazione standard

È uguale alla radice quadrata della varianza

  ^{ }

n x n

x x

n

i n

i



 ^







2 1

2

medio quadr

Scarto

     

n

x x

x x

x

x₁ ² ₂ ² ... _n ²

medio

quadr.

Scarto        

Esempio - Scarto quadratico medio

Riprendiamo le valutazioni della prima prova

1^a Prova scarti da M scarti²

1° studente 3 -3,25 10,5625

2° studente 5 -1,25 1,5625

3° studente 8 1,75 3,0625

4° studente 9 2,75 7,5625

media 6,25 0,00 5,6875

 

3848 ,

2 6875

,

2

5

1

2









 



 n

x

n

i

Calcoliamo lo Scarto quadratico medio per tutte le prove

Scarto q. 1^aprova = 2,38  dati più dispersi,

risultati più eterogenei Scarto q. 3^aprova = 0,43  dati più concentrati,

risultati più omogenei

Scarto q. 2^a pr.  Scarto q. 1^a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

1^a Prova 2^a Prova 3^a Prova

1° studente 3 2 6

2° studente 5 7 7

3° studente 8 8 6

4° studente 9 8 6

media 6,25 6,25 6,25

scarto quadratico 2,38 2,49 0,43

Osservazioni:

1. La varianza ² e lo scarto quadratico medio  danno informazioni sulla distribuzione dei dati:

• più ² e  sono piccoli più i dati sono concentrati;

• più ² e  sono grandi più i dati sono dispersi.

2. Entrambi gli indici tengono conto di tutti i dati della distribuzione

3. Entrambi si basano sulla proprietà della media per cui la somma dei quadrati degli scarti dalla media è

minima

4. La varianza è espressa mediante il quadrato dell’unità di misura dei dati

5. Lo scarto quadratico nella stessa unità di misura dei dati e pertanto viene preferito alla varianza

Il coefficiente di variazione CV

Il CV è una misura relativa di dispersione (le precedenti sono misure assolute) ed è una grandezza adimensionale.

E’ particolarmente utile quando si devono confrontare le distribuzioni di due gruppi con medie molto diverse o con dati espressi in scale differenti (es. confronto tra variazione del peso e variazione dell’altezza).

% 100 



 

  

 x

CV 

Se i valori di CV sono esterni a quelli indicati o si è in

presenza di errori di rilevazione, oppure il fenomeno presenta aspetti particolari.

• se CV è molto basso (2 – 3 %) bisogna sospettare l’esistenza di fattori limitanti la variabilità,

• se CV è molto alto (intorno al 40% o più) è molto

probabile l’esistenza di fattori che aumentano la variabilità In natura il coeff. di variazione tende a rimanere costante per ogni fenomeno:

i valori normalmente variano dal 5% al 15%

Calcoliamo il Coeff. di variazione delle tre prove

CV 1^a prova = 38,16%  dati più dispersi,

risultati più eterogenei CV 3^a prova = 6,93%  dati più concentrati,

risultati più omogenei

1^a Prova 2^a Prova 3^a Prova

1° studente 3 2 6

2° studente 5 7 7

3° studente 8 8 6

4° studente 9 8 6

media 6,25 6,25 6,25

scarto quadratico 2,38 2,49 0,43 coeff. variazione 38,16% 39,80% 6,93%

Le misure di Forma

Sono indici sintetici utilizzati per evidenziare particolarità nella forma della distribuzione.

Noi esamineremo:

Noi esamineremo:

• l’asimmetria l’asimmetria

• la curtosi la curtosi

Asimmetria

Una distribuzione è simmetrica quando la sua curva di frequenza presenta un asse di simmetria

In una distribuzione simmetrica media, mediana e moda sono coincidenti.

Confronto di distrib. normali

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

frequenza

1° distrib. normale

media = mediana

= moda

In una distribuzione

asimmetrica media, mediana e moda non sono più

coincidenti

e proprio la differenza

(distanza) tra la media e la moda può essere considerata

 















 







i i

i i

i

f f x x

a

3

3

1

 Un altro coeff di asimmetria è il

Coeff. di asimmetria (di Fisher)

 = scarto quadratico medio

Se a = 0 distribuzione simmetrica Se a > 0 asimmetria destra

Se a < 0 asimmetria sinistra

Sono state proposte diverse misure dell’ asimmetria, per esempio le più semplici sono:



moda x

medio quadratico

scarto

moda etica

mediaaritm

asimmetria 

 





mediana) x

medio quadratico

scarto

ediana m

tmetica 3(mediaari

asimmetria 

 

 ) 3(

Dette rispettivamente: primo e secondo coeff. di asimmetria di Pearson

moda < mediana < media moda < mediana < media

Asimmetria positiva (as. Destra)

La distribuzione è asimmetrica quando non presenta nessun asse di simmetria.

Si ha un’asimmetria positiva o destra quando il ramo destro della curva è più lungo di quello sinistro

In questo caso si ha:

Asimmetria positiva o destra

0 2 4 6 8 10 12

0 20 40 60 80 100 120 140 160

frequenza

media < mediana < moda media < mediana < moda

Asimmetria negativa (as. Sinistra)

Si ha un’asimmetria negativa o sinistra quando il ramo sinistro della curva è più lungo di quello destro

In questo caso si ha:

Asimmetria negativa o as. sinistra

0 2 4 6 8 10 12 14

0 20 40 60 80 100 120 140

valori

frequenza

media = 85,24

moda = 100 mediana = 90

Curtosi

Se una distribuzione è simmetrica o quasi simmetrica allora può esser più o meno appuntita o più o meno appiattita rispetto alla distribuzione normale (o di Gauss)

Se la curva è

• più appuntita si dice curva Leptocurtica curva Leptocurtica

• più appiattita si dice curva Platicurtica curva Platicurtica

 







 







i

i

f

f x x

K

4

4

1



Coeff. di curtosi di Pearson

  = scarto quadratico medio 0  K < + inf

Se K = 3 distribuzione normale

Curtosi

Confronto delle Curtosi

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

0 2 4 6 8 10 12 14 16

valori della variabile

frequenza

leptocurtosi K = 8,57

platicurtosi K = 2,8 curva normale

K = 3

Curtosi

Spesso il coeff. di curtosi viene indicato con b

che, come visto, nel caso della distribuzione normale è = 3

pertanto, talvolta, la curtosi viene indicata con (b

– 3)

Allora:

se la distribuzione è normale (b

– 3 ) = 0

se la distribuzione è leptocurtica (b

– 3 ) > 0

se la distribuzione è platicurtica (b

– 3 ) < 0

Fine Lezione