1 Equazioni differenziali lineari di ordine
n
Metodo delle variazione delle costanti arbitrarie (o di Lagrange)
(valido per un’equazione differenziale lineare a coefficienti variabili)
Equazioni differenziali lineari di ordine
n
Teorema Siano integrali linearmente indipendenti dell’equazione omogenea .
Siano funzioni le cui derivate soddisfano in I il sistema di equazioni lineari in
,
), ( ),...,
1
( x y x x I R
y
n n
), ( ),...,
1
( x c x
c
nn
: ) ( ' ),..., (
1
' x c x
c
n
... ' ( ) b ( ) )
( '
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 ' ) ( ' ...
...
' ) ( '
0 )
( ' ....
...
) ( '
) 1 ( )
1 ( 1 1
1 1
1 1
x y
x c y
x c
y x c y
x c
y x c y
x c
n n n
n
n n
n n
Allora un integrale particolare dell’equazione differenziale lineare di ordine n è
) ( ) ( ...
) ( ) ( )
( x c
1x y
1x c x y x
y
n n2 Equazioni differenziali lineari, Metodo di Lagrange
Esempio
y y x
cos
1
, 0
2
1
i
y
0( x ) c
1cos x c
2sin x
x x
c x x
c x
y ( )
1( ) cos
2( ) sin ) ( ) ( )
( x y
0x y x
y
costanti. 2
1
,c c
) ( ),
(
21
x c x
c
funzioni da determinareEquazioni differenziali lineari, Metodo di Lagrange
x
x c x x
c x
y ( )
1( ) cos
2( ) sin
x x x
c x x
c
x x
c x x
c
cos cos 1
) ( ' sin
) ( '
0 sin
) ( ' cos
) ( '
2 1
2 1
cos 1 sin
sin cos
) ( )
(
) ( )
) ( (
2 1
2
1
x x
x x
x y x y
x y x x y
W
3 Equazioni differenziali lineari, Metodo di Lagrange
x x x
x
x W
x y x b
x y x
c
xcos sin 1
cos sin 0
) (
) ( )
(
) ( 0
) (
'
cos1 2
2
1
1 1 sin
0 cos
) (
) ( ) (
0 ) ( )
(
'
cos1 1
1
2
x
xx
x W
x b x y
x y x c
Equazioni differenziali lineari, Metodo di Lagrange
|, cos
| cos ln
) sin
1
( dx x
x x x
c c
2( x ) 1 dx x x x x x
x x
c x x
c x
y ( )
1( ) cos
2( ) sin cos ln | cos | sin
x x x x
x c
x c
x
y ( )
1cos
2sin cos ln | cos | sin
l’integrale generale è4 Esempio
Equazioni differenziali lineari, Metodo di Lagrange
e
xy y
y 2
Esempio
Equazioni differenziali lineari, Metodo di Lagrange
