Calcolo 3 - 21 luglio 2007

Calcolo 3 - 21 luglio 2007

Esercizio 1

Si consideri la successione di funzioni:

f_n(x) = n(x − 1)e^−n(x−1)2 + x

a) Determinare l’insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f (x).

b) Studiare la convergenza uniforme su R.

c) Studiare la convergenza uniforme sulle semirette [a, +∞).

Soluzione:

a) E = IR, f (x) = x.

b) f_n non converge uniformemente a f in E.

c) f_n converge uniformemente a f in [a, +∞), con a > 1.

Esercizio 2

1. Calcolare la somma della serie

∞

X

0

(−2x)ⁿ2x + 2n + 1 (2n + 1)!

2. Calcolare la sua derivata dodicesima in x = 0.

Soluzione:

1) P∞

0 (−2x)^{n 2x+2n+1}_(2n+1)! =√

2x sin√

2x + cos√ 2x;

2) f⁽¹²⁾(0) = ⁽⁻²⁾_24!^1112!46

Esercizio 3

1. Scrivere un sistema differenziale equivalente all’equazione

x⁰⁰+ (3x²− x − 1)x⁰+ x − x³ = 0.

2. Trovare tutti i punti di equilibrio del sistema e studiarne la stabilit`a.

3. Cancellare alcuni termini del sistema in modo da avere un nuovo sistema, hamiltoniano.

Soluzione:

1) x⁰ = y, y⁰ = −x + x³− y(3x²− x − 1);

b) (0,0) fuoco instabile; (-1,0) e (1,0) instabili (selle);

3) esistono almeno due soluzioni:

x⁰ = y, y⁰ = −x + x³, x⁰ = y, y⁰ = −x.

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Esercizio 4

Si consideri la seguente equazione differenziale:

y^IV + y⁰⁰⁰− 2y⁰⁰= 6 cos x + 10x sin x.

a) Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata.

b) Determinare, qualora esistano, tutte le soluzioni dell’omogenea associata limitate in (−∞, 0).

c) Determinare l’integrale generale dell’equazione assegnata.

d) Determinare, qualora esistano, tutte le soluzioni limitate in R.

Soluzione:

a) y(x) = c₀+ c₁x + c₂e^−2x+ c₃e^x, c_i ∈ IR b) c₁ = 0, c₂ = 0, y(x) = c₀ + c₃e^x

c) y(x) = c₀+ c₁x + c₂e^−2x+ c₃e^x+ 10 cos x + x cos x − 3 sin x + 3x sin x, c_i ∈ IR d) Non ci sono soluzioni limitate in IR

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