 sono,rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del centro, mentre r è la misuradel raggio. Pertanto, sapendo che

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ESERCIZI SVOLTI SULLA CIRCONFERENZA

1) Scrivere l’equazione della circonferenza γ, avente il centro nell’origine degli assi cartesiani e raggio r di misura 4u.

Si applica la seguente formula: ^{(x)2 (y)2 r2}, dove  _e^ _sono, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del centro, mentre r è la misura del raggio. Pertanto, sapendo che ^0, ^0 ed r4 e sostituendo i valori nella formula si ha:

2 2

2 (y 0) 4

) 0 x

(     .

Quindi svolgendo i calcoli si ottiene l’equazione della circonferenza γ:

0 16 y

x² ²   .

Grafico1

2) Scrivere l’equazione della circonferenza γ, avente il centro in ^C(1,0) e passante per il punto ^P(5;3).

Il segmento ^CP è il raggio della circonferenza γ, pertanto, per determinare la misura r si applica la formula della distanza tra due punti, ossia: d(C;P) (xC xP) (yC yP)² . Sostituendo i valori delle coordinate dei punti ^C e P nella formula suddetta si ha:

. u 5 25 9 16 )

3 0 ( ) 5 1 ( ) P

; C (

d     ²    

Quindi, applicando la formula: ^{(x)2 (y)2 r2} e sapendo che ^1,

0

 e ^r⁵, si ottiene γ: ^{x2 y2 2x240}.

Grafico2

Prof. La Barbera Mauro 2

3) Scrivere l’equazione della circonferenza γ, avente il centro nel punto medio M del segmento AB, che ha per estremi i punti ^A(7,8) e ^B(1,0) .

Per determinare le coordinate del punto medio M del segmento AB si

applica la seguente formula: ^



 



  

2 y

;y 2

x

M x^{A B A B} .

Pertanto, sostituendo le coordinate dei punti A e B nella formula

suddetta si ottiene: M 3;4 2

0

;8 2

1

M 7 



 



  

. Il raggio della circonferenza è uguale alla misura del segmento AM, quindi utilizzando la seguente formula: d(A;M) (xA xM) (yA yM)² e sostituendo i valori delle coordinate dei punti A e M, si ottiene

u 2 4 4 2 4 4 ) 4 8 ( ) 3 7 ( ) M

; A (

d     ²  ²  ²   ²  . Pertanto, applicando la formula per determinare l’equazione della circonferenza conoscendo le coordinate del centro e la misura del raggio, ossia ^{(x)2 (y)2 r2}, si ottiene ^{(x3)2 (y4)2 }





32 16 y 8 y 9 x 6

x²    ²   , ossia ^{:x2 y2 6x8y70}.

Grafico3

4) Scrivere l’equazione della circonferenza γ, passante per i punti ^D(0,2),

) 0 , 2 (

E  e ^F(0,2).

L’equazione canonica di una circonferenza è data dalla seguente equazione:^{:x2y2axbyc0}. Imponendo le condizioni di appartenenza dei punti D, E ed F alla circonferenza γ, si sostituiscono le coordinate dei punti suddetti, ossia si ottiene il seguente sistema a tre equazioni in tre incognite:

 

 





















0 c b 2 4

0 c a 2 4

0 c b 2 4

, risolvendo il sistema si ottiene:

 

 









 4 c

0 b

0 a

, pertanto,

l’equazione della circonferenza è ^{:x2 y2 40}. Sapendo che le coordinate del centro della circonferenza sono date dalle relazioni:

Prof. La Barbera Mauro 4

2

a



 e ^b₂, si ottiene che il centro della circonferenza coincide con l’origine O degli assi cartesiani. Inoltre, la misura del raggio si può ricavare applicando la formula: ^{r 22c}, ossia ^r2u.

Grafico4

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