R e massa M . La corona circolare rotola senza strisciare sull’asse x. Un disco omogeneo di raggio r (<

Compitino di Meccanica Razionale 30 aprile 2019

(usare fogli diversi per esercizi diversi)

Primo Esercizio

Nel sistema in figura, soggetto a vincoli ideali e disposto in un piano verticale, un’asta omogenea AC di lunghezza 2` e massa M ha l’estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse y e l’estremo C incernierato al centro di una corona circolare omogenea di raggo esterno R, raggio interno

R e massa M . La corona circolare rotola senza strisciare sull’asse x. Un disco omogeneo di raggio r (<

R) rotola senza strisciare sul bordo interno della corona circolare. Sul sistema agisce la forza di gravit` a e un molla di costante elastica k e lunghezza a riposo trascurabile richiama l’estremo A dell’asta all’origine O.

Si considerino come coordinate lagrangiane gli angoli θ e ϕ indicati in figura.

1) Scrivere l’energia cinetica del sistema Trascurando il disco:

2) Determinare le reazioni vincolari nei punti P ed A (sapendo che la reazione vincolare in A ` e diretta ortogonalmente all’asse y)

3) Scrivere le equazioni del moto mediante le equazioni cardinali.

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Secondo Esercizio

Un corpo di massa unitaria ` e soggetto ad una forza centrale F(x) = f (ρ) x

ρ , x ∈ R

, dove ρ = |x| ed

f (ρ) = −2 − 4(α − 1)ρ

α > 0.

1) Traccaire il ritratto di fase nello spazio delle fasi ridotto con coordinate ρ, ˙ ρ al variare del parametro α e della componente c del momento angolare ortogonale al paino del moto

2) Dire per quali valori dei parametri α, c tutte le traiettorie sono limitate.

3) Dire per quali valori di α, c esistono traiettorie circolari del moto e calco- larne il periodo.

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