γ R e l'ar o x 12+ x 22= R 2, x 1 > 0 della ir onferenza di raggio R.

(1)

AnalisiMatemati a 2- Corso diLaurea in INGEGNERIA

DELL'ENERGIA e INGEGNERIA CHIMICA

(A.A. 2019/2020)

Assignement II, S ritto 7.1.2021

Problema. Sia

I (R) = Z

γ

R

(1 + x ² ₁ + x ₂ ² ) ^−1/2 cos(x ₂ )d s,

dove

γ R

^e ^l'ar
o

x ₁ ² + x ₂ ² = R ² , x ₁ > 0

^della ir onferenza di raggio

R.

Vedere seesiste il limite

lim _R→∞ I (R)

^e ^se^esiste al olarlo.

Brevesoluzione . Usiamo la parametrizazzione

x ₁ = R cos ϕ, x 2 = R sin ϕ, ϕ ∈ (−π/2, π/2)

dell'ar o

γ R .

^Abbiamo

d s = Rd ϕ

^e ^quindi

I (R) = R (1 + R ² ) ^1/2

Z _π/2

−π/2

cos(R cos ϕ)d ϕ = 2R

(1 + R ² ) ^1/2 J (R)

dove

J (R) = Z π/2

0

cos(R cos ϕ)d ϕ = Z δ

0

cos(R cos ϕ)d ϕ

| {z }

=J

1

(R)

+ Z π/2

δ

cos(R cos ϕ)d ϕ

| {z }

=J

2

(R)

,

on

δ > 0

^pi

olo ^da^s
egliere ^tra^po
o. ^Per

J ₁ (R)

^abbiamo

|J ₁ (R)| ≤ δ,

Mentre per

J ₂ (R)

^abbiamo

J ₂ (R) = − Z π/2

δ

¡ sin(R cos ϕ) ¢ ′

R sin ϕ d ϕ = sin(R cos δ) R sin δ −

Z π/2

δ

¡ sin(R cos ϕ) ¢

cos ϕ

R sin ² ϕ d ϕ.

(2)

Abbiamole stime

¯ ¯

sin(R cos δ) R sin δ

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 1 R δ

e

¯ ¯

¯ ¯ Z π/2

δ

¡ sin(R cos ϕ) ¢ cosϕ R sin ² ϕ d ϕ

¯ ¯

¯ ¯ ≤ π/2 R δ ²

Cosi troviamo

|J ₂ (R)| ≤ π/2 R δ ²

equindi

|J (R)| ≤ δ + π/2 R δ ² .

S egliendo peresempio

δ = R ^−1/3 ,

^troviamo

|J (R)| ≤ π R ^1/3 → 0.

In onl usione

I (R) → 0.

Remark 1. Regole durante los ritto:

1.La video amera deve essere semprea esa

2.Tenerelosmartphonesemprevisibilesultavolo,il ellularesiusa

per vedere il testo del ompitinoi primi 5-10 minutie poideve essere

SPENTO eCAPOVOLTO

3.Durantelosvolgimentodellaprovaevietatol'utilizzodiappunti,

libri,dellatastieradelPC/Ma /tabletodelmouseameno henon sia

ri hiesto daldo ente;

4. Il do ente sorveglia gli studenti durante la prova e risponde in

hat ad eventuali domande.

5. Dopo svolgimento del eser izio(quando s ade il tempo di 1 ora

perlosvolgimentodieser izio)lostudenteutilizzaSOLOCELLULARE

perfarelafotoepreparareUNICOpdf,jpgle.Lostudentedopoaver

preparato le deve restare seduto on web a esa e senza s rivere sul

foglio. Lo studente NON DEVE INSERIRE FILE IN TEAM prima

he il do enteglielo omuni hi.

6.La prova dura1 ora. SOLO dopo1 ora lostudente puo s attare

(3)

7.PrimadiinviarelasoluzioneTRAMITECELLULARElostudente

ontatta il do ente, il do ente ontrolla il foglio della soluzione, se

ne essariofaraunafoto.Solodopolostudentepuoinviarelasoluzione.

γ R e l'ar o x 12+ x 22= R 2, x 1 > 0 della ir onferenza di raggio R.

I (R) = Z

γ

(1 + x 2 1 + x 2 2 ) −1/2 cos(x 2 )d s,

γ R

x 1 2 + x 2 2 = R 2 , x 1 > 0

R.

lim R→∞ I (R)

x 1 = R cos ϕ, x 2 = R sin ϕ, ϕ ∈ (−π/2, π/2)

γ R .

d s = Rd ϕ

I (R) = R (1 + R 2 ) 1/2

Z π/2

−π/2

cos(R cos ϕ)d ϕ = 2R

(1 + R 2 ) 1/2 J (R)

J (R) = Z π/2

0

cos(R cos ϕ)d ϕ = Z δ

0

cos(R cos ϕ)d ϕ

| {z }

=J

(R)

+ Z π/2

δ

cos(R cos ϕ)d ϕ

| {z }

=J

(R)

,

δ > 0

J 1 (R)

|J 1 (R)| ≤ δ,

J 2 (R)

J 2 (R) = − Z π/2

δ

¡ sin(R cos ϕ) ¢ ′

R sin ϕ d ϕ = sin(R cos δ) R sin δ −

Z π/2

δ

¡ sin(R cos ϕ) ¢

cos ϕ

R sin 2 ϕ d ϕ.

¯ ¯

¯ ¯

sin(R cos δ) R sin δ

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 1 R δ

¯ ¯

¯ ¯ Z π/2

δ

¡ sin(R cos ϕ) ¢ cosϕ R sin 2 ϕ d ϕ

¯ ¯

¯ ¯ ≤ π/2 R δ 2

|J 2 (R)| ≤ π/2 R δ 2

|J (R)| ≤ δ + π/2 R δ 2 .

δ = R −1/3 ,

|J (R)| ≤ π R 1/3 → 0.

I (R) → 0.

(1 + x ² ₁ + x ₂ ² ) ^−1/2 cos(x ₂ )d s,

x ₁ ² + x ₂ ² = R ² , x ₁ > 0

lim _R→∞ I (R)

x ₁ = R cos ϕ, x 2 = R sin ϕ, ϕ ∈ (−π/2, π/2)

I (R) = R (1 + R ² ) ^1/2

Z _π/2

(1 + R ² ) ^1/2 J (R)

J ₁ (R)

|J ₁ (R)| ≤ δ,

J ₂ (R)

J ₂ (R) = − Z π/2

R sin ² ϕ d ϕ.

¡ sin(R cos ϕ) ¢ cosϕ R sin ² ϕ d ϕ

¯ ¯ ≤ π/2 R δ ²

|J ₂ (R)| ≤ π/2 R δ ²

|J (R)| ≤ δ + π/2 R δ ² .

δ = R ^−1/3 ,

|J (R)| ≤ π R ^1/3 → 0.