Calcolo 2 per Fis., FAM.; Calcolo, II parte, per ScMat Prova scritta ( S.E. Anticip. AA2004-05, 3 marzo 2005)
(1) La funzione S(x) `e definita dalla formula S(x) =
∞
X
k=1
2−kkxk
Calcolare il raggio di convergenza della serie e la somma S(x).
(2) Calcolare l’integrale curvilineo Z
γ(A,B)
xy−2dy
Dove l’arco γ(A, B) ha equazione x − log y = 0 ed A = (0, 1), B = (1, e). Se A0 = (1, 1), confrontare il risultato con quanto si ottiene integrando lungo il percorso formato dai segmenti AA0 e A0B.
(3) Studiare la funzione
f (x, y) = x3+ y3− 3xy
nel quadrato Q = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}, determinandone max e min assoluti.
(4) (NON per gli studenti di ScMat)
Calcolare la lunghezza della curva γα, grafico della funzione y = cosh x, x ∈ [0, α], α > 0
dimostrando che `e pari all’area sotto il grafico (nel quadrante positivo), per x ∈ [0, α].
1
Soluzioni:
(1)
2−k−1(k + 1)|x|k+1 2−k(k)|x|k → |x
2|
quindi il raggio di convergenza `e pari a 2. La somma si ottiene osservando che per x ∈ (−2, 2),
S(x) =
∞
X
k=1
2−kk(x
2)k= x d dx
∞
X
k=0
(x 2)k Pertanto
S(x) = x d dx
1
(1 −x2) = 2x (2 − x)2 (2) Lungo l’arco y = exp x, quindi
Z
γ(A,B)
xy−2dy = Z 1
0
xe−2xexdx = Z 1
0
xe−xdx = −[e−x(x + 1)]10= 1 −2 e
L’integrale lungo AA0 `e nullo, e quello lungo A0B si riduce a (integrando per parti) Z e
1
y−2dy = −[1
y]e1 = 1 −1 e
(3) L’unico punto critico interno `e (1, 1), dove la funzione presenta un minimo proprio, e vale f (1, 1) = −1. Studiando poi la funzione lungo i lati di Q, si vede che sui lati appartenenti agli assi la funzione si riduce a f (0, y) = y3 e a f (x, 0) = x3 rispettivamente (con massimo pari ad 8 e minimo pari a 0), mentre sugli altri due lati diventa f (2, y) = 8+y3−6y e f (x, 2) = 8+x3−6x rispettivamente (con massimo pari a 8 e minimo pari a 8 − 4√
2. Quindi il massimo assoluto, pari a 8, `e assunto sui vertici (0, 2) e (2, 0), mentre il minimo assoluto `e quello interno, pari a −1.
(4) La lunghezza dell’arco grafico di y = cosh x, per x ∈ [0, α], `e data dall’integrale Z α
0
p1 + sinh2xdx = Z α
0
cosh xdx = sinh α
