Calcolo 2 per Fis., FAM.; Calcolo, II parte, per ScMat Prova scritta ( S.A. AA2004-05, 28/09/2005)
(1) Valutare il valore del parametro reale a, tale che la forma differenziale ωa= (a + y2)dx − 2xydy
(1 + x2+ 2y2+ y4)
sia esatta e, per quel valore, calcolare le primitive di ωa. (2) Determinare max e min (condizionati) della funzione
f (x, y, z) = 3x + y − z nell’insieme A definito dalle equazioni
x2+ y2− z = 0; 2y + 4x − z = 0 (3) Calcolare i termini della serie di McLaurin della funzione
F (x) = 1 1 + 4x2
Valutare l’intervallo di convergenza; integrarla termine a termine ed esprimere la somma della serie cos`ı ottenuta in termini di funzioni elementari.
(4) (NON per gli studenti di ScMat)
Studiare la curva d’equazione parametrica x(t) = t3; y(t) = t2; t ∈ [−1, 1]
analizzando il comportamento del vettore tangente; esprimerla anche in forma carte- siana.
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Soluzioni:
(1) Sia D = D(x, y) = (1 + y2)2+ x2; la condizione di chiusura di ωa = Xdx + Y dy diventa
Xy = 2y
D −(a + y2)Dy
D2 = Yx= −2y
D +(2xy)Dx
D2
Dato che Dx = 2x; Dy = 4y(1 + y2), dal principio d’identit`a dei polinomi risulta a = 1. Il dominio della forma ω1`e l’intero piano, quindi ω1 `e esatta, ed una sua primitiva si calcola elementarmente, ad esempio integrando lungo il segmento orizzontale da (0, y) a (x, y) (da (0, 0) a (0, y) l’integrale `e nullo):
U (x, y) = Z x
0
1 + y2
(1 + y2)2+ u2du = arctan x 1 + y2
(2) Si pu`o procedere col metodo dei moltiplicatori di Lagrange o parametrizzando A.
Nel secondo caso, eliminando z, si ha una semplice relazione tra x e y (x − 2)2+ (y − 1)2 = 5 ⇒ x(t) = 2 +√
5 cos t ; y(t) = 1 +√
5 sin t, t ∈ [0, 2π) a cui si pu`o aggiungere z(t) = 2y(t) + 4x(t). Pertanto
f (x(t), y(t), z(t)) = −3 −√
5(cos t + sin t), t ∈ [0, 2π)
I punti critici di questa funzione composta sono π/4 e 5π/4, a cui corrispondono i punti P1 e P2 di A P1 = (2 +√
10/2, 1 +√
10/2, 10 + 3√
10) e P2= (2 −√
10/2, 1 −
√10/2, 10 − 3√
10), che risultano rispettivamente il min e il max di f su A, dato che f (P1) = −3 −√
10 e f (P2) = −3 +√ 10.
(3) La serie risulta
∞
X
0
(−)n22nx2n
vale a dire la serie geometrica di ragione (−4x2), e converge assolutamente per |x| <
1/2. La sua integrazione termine a termine d`a luogo alla serie
∞
X
0
(−)n22nx2n+1 2n + 1
La sua somma, nell’intervallo di convergenza assoluta, vale 12arctan 2x.
(4) La curva presenta una singolarit`a per t = 0, poich`e ˙x(0) = ˙y(0) = 0; in effetti il vettore tangente si scrive ( ˙x(t) = 3t2, ˙y(t) = 2t) e il suo versore, definito per t 6= 0, tende a (0, −1) per t → 0−, e a (0, 1) per t → 0+; la curva presenta una cuspide in (0, 0). La sua forma cartesiana `e data da y = x2/3; x ∈ [−1, 1].
