Calcolo 2 per Fis., FAM.; Calcolo, II parte, per ScMat Prova scritta ( S.E. AA2004-05, 5 luglio 2005)
(1) Calcolare per serie, mediante lo sviluppo di Mc Laurin dell’integrando, l’integrale definito I
I = Z π/2
0
1 (4 + x2)dx
Determinare il valore di I (vale a dire la somma della corrispondente serie numerica) mediante integrazione diretta.
(2) Determinare i massimi e i minimi vincolati della funzione f (x, y, z) := xyz, (definita in tutto lo spazio), sotto le condizioni
x − y = 0, z − y + 2 = 0
(3) Verificare se la forma differenziale ω = (2x + x2y) exp(xy)dx + (x3exp(xy) + 2y)dy
`
e esatta, ed in caso positivo, calcolarne la primitiva che si annulla nell’origine.
(4) (NON per gli studenti di ScMat)
Il moto di un punto P nello spazio `e espresso mediante le equazioni parametriche nel parametro tempo t ≥ 0:
x(t) = 2t, y(t) = 3 sin(2t), z(t) = 3 cos(2t)
Calcolare la posizione di P quando, a partire dall’origine, ha percorso un arco di lunghezza s = (π√
10)/3.
1
Soluzioni:
(1) lo sviluppo di McLaurin dell’integrando `e il seguente 1
(4 + x2) = 1
4[1 − (x
2)2+ (x 2)4+ ...
(con raggio di convergenza pari a 2); integrando termine a termine si ha
I = 1 2
x 2 −1
3(x 2)3+1
5(x 2)5+ ...
π/2 0
= 1 2
π 4 −1
3(π 4)3+1
5(π 4)5+ ...
D’altra parte l’integrale diretto `e elementare
I = 1 2
h
arctan(x 2)iπ/2
0 = 1
2arctan(π/4)
Questo `e quindi il valore della somma della serie (numericamente, 0.3328..).
(2) Pur potendo usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, i vincoli sono tali (lineari) che ci si pu`o immediatamente ridurre allo studio di una funzione della sola x:
y(x) = x; z(x) = x − 2, ⇒ φ(x) = f (x, y(x), z(x)) = x2(x − 2)
Pertanto i punti critici di φ sono 0 e 4/3, corrispondenti a P1 = (0, 0, −2) e P2 = (43,43, −32), dove la funzione vale rispettivamente 0 e −3227; dal segno di φ00(Pi), i = 1, 2, si ha che P1(2) `e un massimo (minimo) locale; risulta infine sup φ(x) = +∞, inf φ(x) = −∞.
(3) Dal solito calcolo delle derivate parziali dei coefficienti, risulta che la forma dif- ferenziale `e chiusa; essendo definita su tutto il piano `e esatta e la primitiva cercata F (x, y) si ottiene ad esempio integrando lungo la spezzata γ costituita dai segmenti
−−−−−−−−→
(0, 0), (0, x) e−−−−−−−−→
(0, x), (x, y); si ha quindi Z
γ
(2x + x2y)exydx + (x3exy+ 2y)dy = Z x
0
2x0dx0+ Z y
0
(x3exy0+ 2y0)dy0 = x2exy+ y2
(4) La curva risulta un’elica cilindrica attorno all’asse x; l’elemento di lunghezza `e facil- mente ricavabile dal calcolo della velocit`a scalare
ds2 = ( ˙x2+ ˙y2+ ˙z2)dt2 = 40dt2⇒ s(t) = 2√ 10t Invertendo si ha t = s/(2√
10) e sostituendo l’assegnato valore s, il tempo corrispon- dente risulta t = π/6, per cui la posizione richiesta `e individuata dalle coordinate
(π 3,3√
3 2 ,3
2)
