Calcolo 2 per Fisici. Prova scritta (26 febb.2003)

Calcolo 2 per Fisici. Prova scritta (26 febb.2003)

(1) Calcolare il momento d’inerzia I di un arco γ omogeneo (di densit´a 1) di una cir- conferenza di centro O e raggio r, di angolo al centro pari a 2α, rispetto all’asse passante per O e il punto medio dell’arco stesso. (Nel piano Oxy, si rappresenti l’arco in coordinate polari, x = r cos θ, y = r sin θ, θ ∈ (−α, α)).

(2) Determinare gli estremi della funzione f : D → R dove D ´e la corona circolare chiusa con centro O e raggi 1 e 2, ed f (x, y) = _(x2^2xy+y²)².

(3) Sviluppare fino al secondo ordine la funzione di due variabili f (x, y) = arctan^y_x attorno a (1, 1) .

(4) Determinare un intervallo di variabilit´a della x per cui la serie

∞

X

k=1

k!(x k)^k converge assolutamente.

1

Soluzione

(1)

I = Z

γ

y²ds = Z α

−α

r²sin²rdθ Il risultato ´e dunque I = r³(α − sin α cos α).

(2) In coordinate polari

f (r cos θ, r sin θ) ≡ φ(r, θ) = 2r²cos θ sin θ

r⁴ = sin 2θ r²

Quindi il massimo vale 1 (per r = 1 e θ = π/4, θ = −3π/4), ed il minimo −1, (per r = 1 e θ = −π/4, θ = 3π/4).

(3) Risulta dal calcolo delle derivate successive:

arctany x = π

4 −1

2[(x − 1) − (y − 1)] + 1

4[(x − 1)²− (y − 1)²] + o((x − 1)²+ (y − 1)²)

(4) Il criterio del rapporto porta allo studio di (k + 1)!(_k+1^|x| )^k+1

k!(^|x|_k)^k = |x|(1 − 1 k + 1)^k Pertanto la serie converge assolutamente per |x| < e.