Calcolo 2 per Fis., FAM.; Calcolo, II parte, per ScMat Prova scritta ( S.E. Anticip. AA2004-05, 1 febbraio 2005)
(1) Valutare i valori dei parametri reali a, b, γ(γ ≥ 0), tali che la forma differenziale ωa,b,γ= (ax2+ 2xy + y2)dx + (x2+ 2xy + by2)dy
(x2+ y2)γ
sia esatta e, per quei valori, calcolare le primitive di ωa,b,γ.
(2) Nel piano R2 una curva Ca`e definita implicitamente attorno al punto (0, 1), nel modo seguente
g(x, y) ≡ x2+ y2− 1 = 0
Considerando Ca come grafico di una funzione di x, per 0 ≤ |x| ≤ a < 1, dimostrare ed interpretare analiticamente e/o geometricamente che, ∀a ∈ (0, 1),
Z
Ca
gx(x, y)dx + gy(x, y)dy = 0
Mostrare infine che il risultato non dipende dalla particolare forma di g ∈ C1. (3) Calcolare la somma della serie
∞
X
k=1
(1001/2k− 1001/(2k+2))
(4) (NON per gli studenti di ScMat) L’equazione
x(t) = r cos ωt; y(t) = r sin ωt; z(t) = ut; t ∈ [0, 2π/ω]
definisce una spira S di un’elica cilindrica di asse z, con raggio r fissato ed ω, u come parametri reali (ω > 0). Supponendo la densit`a pari ad uno, calcolare il momento d’inerzia I(ω, u) di S rispetto al suo asse. Studiare I(ω, u) come funzione di ω, u, interpretando fisicamente i risultati.
1
Soluzioni:
(1) La condizione di chiusura di ωa,b,γ = Xdx + Y dy
∂yX = ∂y
(ax2+ 2xy + y2)
(x2+ y2)γ = ∂xY = (x2+ 2xy + by2) (x2+ y2)γ
d`a che γ = 0, mentre a e b restano arbitrari. Il dominio della forma ωa,b,0 `e allora l’intero piano, quindi `e esatta e le sue primitive si calcolano elementarmente:
U (x, y) = 1
3(ax3+ by3) + xy(x + y) + k (2) La curva si esplicita rispetto ad y
y(x) =p
1 − x2; y0(x) = − x
√
1 − x2, |x| ≤ a Poich`e ∇g = (2x, 2y), l’integrale diventa
Z a
−a
(2x + 2y(x)y0(x))dx = Z a
−a
(2x − 2p
1 − x2 x
√
1 − x2)dx = 0
Questo risultato `e indipendente da g perch`e la forma integranda `e pari a dg e sulla curva C (che potrebbe anche essere grafico di una x = x(y)), g `e costante; geometri- camente, essendo (dx, dy) tangente a C, ∇g ⊥ (dx, dy).
(3) Risulta che la serie, che si pu`o anche scrivere nel modo seguente
∞
X
k=1
(101/k− 101/(k+1))
`
e di tipo telescopico, e la sua somma parziale n-esima `e Sn=
n
X
k=1
(101/k− 101/(k+1)) = 10 − 101/2+ 101/2− 101/3... + 101/n− 101/n+1= 10 − 101/n+1 La somma risulta quindi pari a limn→∞Sn= 9
(4) Poich`e per l’elica cilindrica ds =√
r2ω2+ u2dt, risulta I(ω, u) =
Z 2π/ω
0
r2p
r2ω2+ u2dt = 2πr2 r
r2+ (u ω)2
Si vede subito che min I(ω, u) = I(ω, 0) = 2πr3 = limω→∞I(ω, u); se poi u/ω = k, risulta I(ω, u) = I(1, k) = 2πr2√
r2+ k2 (I(ω, u) `e una funzione omogenea di grado zero). Inoltre sup I(ω, u) = ∞. In effetti: per u = 0 la spira degenera in una circonferenza di raggio r nel piano z = 0; tale valore `e anche il limite per ω → ∞, per u fissato, perch`e in tale limite la spira tende alla stessa circonferenza del caso precedente; se infine k → ∞, la spira tende ad una semiretta verticale parallela all’asse z (di massa infinita).
