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Academic year: 2021

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(1)

(1) Sia φ = 1+

√ 5

2 la sezione aurea.

(a) Provare che φ ` e un numero irrazionale.

(b) Provare che φ = 1+φ 1 .

(c) Iterando la precedente equazione provare che φ = 1

1+

1+...1

. (d) Ridedurre da questa osservazione che φ ` e irrazionale.

(e) Fornire la definizione di numero irrazionale.

(f) Spiegare come il Teorema fondamentale dell’Aritmetica possa essere utilizzato per dimostrare l’esistenza di infiniti numeri ir- razionali.

(g) Prendendo spunto dalla dimostrazione che √

2 ` e irrazionale, si introduca dal punto di vista didattico il concetto di dimostrazione per assurdo

(2) Sia α una radice di x 3 − 15x − 4.

(a) Fornire la definizione di numero algebrico.

(b) ` E ben definito il grado di α visto come numero algebrico?

(c) Fornire esempi di numeri reali che non sono algebrici.

(3) Sia Z, l’anello degli interi relativi (a) Descrivere l’insieme Z[x].

(b) Definire la relazione di divisibilit` a in Z[x] e mettere in evidenza le sue propriet` a.

(c) Determinare le unit` a (o elementi invertibili) in Z[x].

(d) Si pu` o applicare l’algoritmo di divisione lunga alla coppia di polinomi x 2 − 3x + 2, 2x − 1?

(4) Sia Q, l’anello razionali

(a) Descrivere l’algoritmo di divisione lunga in A = Q[x].

(b) Definire quoziente e resto di una divisione di polinomi in A.

(c) Mostrare come dall’algoritmo di divisione lunga si possa dedurre l’esistenza di un quoziente e di un resto.

(d) Sono unici?

(5) Sia Q, l’anello razionali

(a) Definire il concetto di Massimo Comun Divisore (MCD) tra polinomi scelti in A = Q[x].

(b) Descrivere metodi alternativi per ottenere M CD(a, b) dati a, b ∈ A.

(c) Calcolare M CD(x 3 −15x−4, x 2 −5x+4) utilizzando l’algoritmo euclideo.

(d) Indicare come si possa usare il calcolo precedente per ottenere fattori di polinomi.

(6) Sia A l’anello degli interi oppure l’anello dei polinomi a coefficienti razionali.

(a) Si dia la definizione di elemento atomico e di elemento primo in questi due insiemi.

(b) Che relazione sussiste tra questi due concetti in A?

1

(2)

2

(c) Enunciare il Teorema sull’esistenza e unicit` a di fattorizzazione in A.

(d) Spiegare l’importanza didattica del concetto di primo ai fini della dimostrazione del precedente teorema.

(e) Fattorizzare x 3 − 15x − 4.

(7) Sia A l’anello dei polinomi a coefficienti razionali.

(a) Fornire la definizione di grado di un polinomio non nullo.

(b) Qual ` e l’utilit` a di tale funzione.

(c) Fornire propriet` a della funzione grado.

(d) Spiegare come si estende e perch´ e la funzione grado anche al polinomio nullo.

(e) Enunciare il principio di Hankel.

(8) Sia a(x) un polinomio in una variabile.

(a) Si introduca il concetto di radice di un polinomio.

(b) Mostrare che x 2 − 2 non ammette radici in Q.

(c) Tale affermazione rimane valida anche su R?

(d) Definire la molteplicit` a algebrica di una radice di un polinomio.

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