Esercizi sulla continuit`a
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Esercizi sulla continuit` a
1. Considerare le funzioni degli esercizi proposti nella sezione 1.4 degli esercizi sulle nozioni di base e determinare in quali insiemi sono continue. Determinare inoltre gli eventuali asintoti.
2. Delle seguenti funzioni si disegni il grafico e si determinino gli eventuali punti di discontinuit`a e gli eventuali asintoti.
x 7→ arcsin(x + 5) − π/4, | arcsin(x + 5) − π/4|, ln(x − 1) + 1, | ln(x − 1) + 1|
x 7→ cos(π(x + 1)), | cos(π(x + 1))|, arctan(x − 1) − π/2, | arctan(x − 1) − π/2|
3. Disegnare il grafico della seguente funzione e determinarne l’esistenza di discontinuit`a e di asintoti.
f (x) =
exp(−x) x < −1 arcos(x) x ∈ [−1, 1]
arctan(x − 1) x > 1
4. Determinare graficamente al variare del parametro k ∈ R il numero e il segno delle soluzioni delle seguenti equazioni
arcos(x − 5) − π/4 = k, (x − 1)2− 1 = k
5. Determinare graficamente al variare del parametro k ∈ R il numero e il segno delle soluzioni dell’equazione f (x) = k, per tutte le funzioni f definite nei precedenti esercizi
6. Determinare per quali valori del parametro a ∈ R le seguenti funzioni risultano continue su tutto R; determinare inoltre se hanno asintoti.
x 7→
(3x + 5 x ≤ 3 x + a x > 3,
(x/a + 5 x ≤ 3 x + a x > 3,
(cos(ax) x ≤ 0 sin(x + a) x > 0, 7. Determinare il dominio, gli zeri e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni. De-
terminarne anche il segno usando il teorema degli zeri
x 7→ (x3− 9x)(x2+ 2x + 1), x cos(x), x3− 2x2+ x
x2− 3x − 4 , x3− 2x2+ x x4− 16 8. Determinare gli eventuali asintoti della funzione definita da
f (x) = x3− 2x − 3 x + 5
Inoltre, usando il teorema degli zeri determinarne il segno
9. Determinare dominio, eventuali asintoti, zeri e segno delle funzioni definite da f (x) = ln(x3− 4x2+ 2x + 1) e f (x) = x4−3xx32+6x+1.2−4x
10. Calcolare eventuali asintoti, zeri, min e max (se esistono) della funzione f (x) = |x3− 3x2− 2x + 6|.
Versione del 15 ottobre 2012 1
