Se si lascia in attivit`a il componente per un tempo pari a 110 ore, con che probabilit`a ci aspettiamo di trovarlo bruciato?

(1)

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 17/09/2009

Le domande valgono 3 punti ciascuna.

1. Supponiamo che la durata (in ore) di un componente elettronico di un apparato sia descritta da una v.a. T ∼ N (µ, σ ² ). T rappresenta l’istante in cui il componente si brucia. Supponiamo µ = 123.1, σ = 7.5.

Se si lascia in attivit`a il componente per un tempo pari a 110 ore, con che probabilit`a ci aspettiamo di trovarlo bruciato?

2. Supponiamo di voler correre un rischio dello 0.001. Su quanto tempo di lavoro possiamo contare?

3. Per rendere più robusto l’apparato elettronico si mettono in parallelo 3 componenti uguali. Il sistema smette di funzionare se si bruciano tutti e tre i componenti. Dopo 110 ore, con che probabilità l’intero sistema sarà non funzionante?

4. Anche se non si arriva alla rottura completa del sistema, quando due su tre delle componenti si bruciano, il sistema non funziona più in modo ottimale. Con che probabilità questo accade (sempre nella situazione della domanda precedente, cioè dopo 110 ore)?

5. Torniamo un po’ indietro nel tempo. Il produttore di quei compo- nenti elettronici vuole stimare sperimentalmente la loro durata. Ac- cetta come vero il valore σ = 7.5. Per stimare la durata media al 95%

con un errore pari a 3 ore, quanti esemplari deve esaminare?

6. Supponiamo di aver stimato µ = 123.1. Un tecnico propone una vari- ante della struttura del componente, che a suo parere aumenta la du- rata. Il produttore non ha la minima idea se tale variante migliori o peggiori o lasci invariata la durata. Esamina 20 esemplari e trova x = 131.8. Che deve pensare?

7. Date X ₁ , ..., X ₄₀ v.a. indipendenti, con la stessa distribuzione, non gaussiana, media e varianza pari a 4, calcolare P (|X ₁ + ... + X ₄₀ − 160| > 20).

8. Calcolare E £

X ₁ X ₂ ² − (X ₃ − 4) ² ¤ .

9. Se le v.a. X _i precedenti sono delle B (4, 0.1), calcolare P (X ₁ + X ₂ = 1).

(2)

10. Se invece le v.a. X _i precedenti sono delle B (1, 0.1), calcolare E h 1+X

1

1+X

2

i

.

(3)

1 Soluzioni

1. T ∼ N (123.1, 7.5 ² ) P (T < 110) = Φ

µ 110 − 123.1 7.5

¶

= Φ (−1 .747) = 0.04.

2. Detto t il tempo cercato, deve valere

P (T < t) = 0.001

quindi

t = 123.1 − 7.5 · q _0.999 = 123.1 − 7.5 · 3.09 = 9 9.925.

3. Dette T ₁ , T ₂ , T ₃ le durate dei tre esemplari, calcoliamo

P (T ₁ < 110, T ₂ < 110, T ₃ < 110) = P (T < 110) ³ = 0.04 ³ = 6.4 × 10 ⁻⁵ . 4. Introduciamo le v.a. X ₁ , X ₂ , X ₃ , X _i = 1 se l’esemplare i-esimo si rompe, quindi con probabilità 0.04; X i = 0 altrimenti, quindi con prob- abilità 0.96. La v.a. S = X ₁ + X ₂ + X ₃ è il numero di esemplari rotti ed è una B (3, 0.04). Dobbiamo calcolare

P (S = 2) = µ 3

2 ¶

0.04 ² · 0.96 = 0.0046.

5. L’errore δ corrispondente a n prove `e pari a ^σq ^√

^0.975

_n quindi dobbiamo

risolvere σq _0.975

√ n ≤ 3 ovvero

n ≥ ³σq _0.975 3

´ ₂

=

µ 7.5 · 1.96 3

¶ ₂

= 24. 01 cio`e n = 25 (o pi`u o meno anche solo 24).

6. z = 131.8−123.1 7.5

√ 20 = 5. 187. Sia il calcolo di p (praticamente nullo al

nostro solito livello di approssimazione) sia il test fissato un ragionevole

α, indicano un miglioramento nettissimo.

(4)

7. P (|X ₁ + ... + X ₄₀ − 160| > 20) = 2P (X ₁ + ... + X ₄₀ ≥ 180)

= 2P

µ X ₁ + ... + X ₄₀ − 40 · 4

√ 402 > 180 − 40 · 4

√ 402

¶

∼ 2 (1 − Φ (1. 581)) = 0.1

8. E £

X ₁ X ₂ ² − (X ₃ − 4) ² ¤

= E [X ₁ ] E £ X ₂ ² ¤

− E £

(X ₃ − 4) ² ¤

= 4 · E £ X ₁ ² ¤

− V ar [X 1 ] = 4 · E £ X ₁ ² ¤

− 4.

Inoltre,

E £ X ₁ ² ¤

= V ar [X ₁ ] + E [X ₁ ] ² = 4 + 16 = 20.

In conclusione, il risultato `e

4 · 20 − 4 = 76.

9. Una soluzione consiste nell’usare il fatto che X ₁ + X ₂ ∼ B (8, 0.1); per cui

P (X ₁ + X ₂ = 1) = µ 8

1 ¶

· 0.1 ¹ · 0.9 ⁷ = 0.382.

Un’altra `e

P (X ₁ + X ₂ = 1) = P (X ₁ + X ₂ = 1|X ₂ = 0) P (X ₂ = 0) + P (X ₁ + X ₂ = 1|X ₂ = 1) P (X ₂ = 1)

= P (X ₁ = 1) P (X ₂ = 0) + P (X ₁ = 0) P (X ₂ = 1)

= 2 · P (X ₁ = 1) P (X ₁ = 0)

= 2 · µ 4

1 ¶

· 0.1 ¹ · 0.9 ³ · µ 4

0 ¶

· 0.1 ⁰ · 0.9 ⁴ = 0.382.

10. E

· 1 + X ₁ 1 + X ₂

¸

= E [1 + X 1 ] E

· 1

1 + X ₂

¸

= (1 + 0.1) · E

· 1

1 + X ₁

¸

.

(5)

La v.a. _1+X ¹

₁

assume il valore 1 (X 1 = 0) con probabilit`a 0.9, mentre assume il valore ¹ ₂ (X ₁ = 1) con probabilit`a 0.1. Pertanto

E

· 1

1 + X 1

¸

= 1 · 0.9 + 1

2 · 0.1 = 0.95.

In definitiva, il risultato `e = 1.045.

Se si lascia in attivit`a il componente per un tempo pari a 110 ore, con che probabilit`a ci aspettiamo di trovarlo bruciato?

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 17/09/2009

Le domande valgono 3 punti ciascuna.

1. Supponiamo che la durata (in ore) di un componente elettronico di un apparato sia descritta da una v.a. T ∼ N (µ, σ 2 ). T rappresenta l’istante in cui il componente si brucia. Supponiamo µ = 123.1, σ = 7.5.

Se si lascia in attivit`a il componente per un tempo pari a 110 ore, con che probabilit`a ci aspettiamo di trovarlo bruciato?

2. Supponiamo di voler correre un rischio dello 0.001. Su quanto tempo di lavoro possiamo contare?

3. Per rendere più robusto l’apparato elettronico si mettono in parallelo 3 componenti uguali. Il sistema smette di funzionare se si bruciano tutti e tre i componenti. Dopo 110 ore, con che probabilità l’intero sistema sarà non funzionante?

4. Anche se non si arriva alla rottura completa del sistema, quando due su tre delle componenti si bruciano, il sistema non funziona più in modo ottimale. Con che probabilità questo accade (sempre nella situazione della domanda precedente, cioè dopo 110 ore)?

5. Torniamo un po’ indietro nel tempo. Il produttore di quei compo- nenti elettronici vuole stimare sperimentalmente la loro durata. Ac- cetta come vero il valore σ = 7.5. Per stimare la durata media al 95%

con un errore pari a 3 ore, quanti esemplari deve esaminare?

7. Date X 1 , ..., X 40 v.a. indipendenti, con la stessa distribuzione, non gaussiana, media e varianza pari a 4, calcolare P (|X 1 + ... + X 40 − 160| > 20).

8. Calcolare E £

X 1 X 2 2 − (X 3 − 4) 2 ¤ .

9. Se le v.a. X i precedenti sono delle B (4, 0.1), calcolare P (X 1 + X 2 = 1).

10. Se invece le v.a. X i precedenti sono delle B (1, 0.1), calcolare E h 1+X

1+X

i

.

1 Soluzioni

1. T ∼ N (123.1, 7.5 2 ) P (T < 110) = Φ

µ 110 − 123.1 7.5

¶

= Φ (−1 .747) = 0.04.

2. Detto t il tempo cercato, deve valere

P (T < t) = 0.001

quindi

t = 123.1 − 7.5 · q 0.999 = 123.1 − 7.5 · 3.09 = 9 9.925.

3. Dette T 1 , T 2 , T 3 le durate dei tre esemplari, calcoliamo

P (S = 2) = µ 3

2

¶

0.04 2 · 0.96 = 0.0046.

5. L’errore δ corrispondente a n prove `e pari a σq √

n quindi dobbiamo

risolvere σq 0.975

√ n ≤ 3 ovvero

n ≥ ³σq 0.975 3

´ 2

=

µ 7.5 · 1.96 3

¶ 2

= 24. 01 cio`e n = 25 (o pi`u o meno anche solo 24).

6. z = 131.8−123.1 7.5

√ 20 = 5. 187. Sia il calcolo di p (praticamente nullo al

nostro solito livello di approssimazione) sia il test fissato un ragionevole

α, indicano un miglioramento nettissimo.

7.

P (|X 1 + ... + X 40 − 160| > 20) = 2P (X 1 + ... + X 40 ≥ 180)

= 2P

µ X 1 + ... + X 40 − 40 · 4

√ 402 > 180 − 40 · 4

√ 402

¶

∼ 2 (1 − Φ (1. 581)) = 0.1

8.

E £

X 1 X 2 2 − (X 3 − 4) 2 ¤

= E [X 1 ] E £ X 2 2 ¤

− E £

(X 3 − 4) 2 ¤

= 4 · E £ X 1 2 ¤

− V ar [X 1 ] = 4 · E £ X 1 2 ¤

− 4.

Inoltre,

E £ X 1 2 ¤

= V ar [X 1 ] + E [X 1 ] 2 = 4 + 16 = 20.

In conclusione, il risultato `e

4 · 20 − 4 = 76.

9. Una soluzione consiste nell’usare il fatto che X 1 + X 2 ∼ B (8, 0.1); per cui

P (X 1 + X 2 = 1) = µ 8

1

¶

· 0.1 1 · 0.9 7 = 0.382.

Un’altra `e

P (X 1 + X 2 = 1) = P (X 1 + X 2 = 1|X 2 = 0) P (X 2 = 0) + P (X 1 + X 2 = 1|X 2 = 1) P (X 2 = 1)

= P (X 1 = 1) P (X 2 = 0) + P (X 1 = 0) P (X 2 = 1)

= 2 · P (X 1 = 1) P (X 1 = 0)

= 2 · µ 4

1

¶

1. Supponiamo che la durata (in ore) di un componente elettronico di un apparato sia descritta da una v.a. T ∼ N (µ, σ ² ). T rappresenta l’istante in cui il componente si brucia. Supponiamo µ = 123.1, σ = 7.5.

7. Date X ₁ , ..., X ₄₀ v.a. indipendenti, con la stessa distribuzione, non gaussiana, media e varianza pari a 4, calcolare P (|X ₁ + ... + X ₄₀ − 160| > 20).

X ₁ X ₂ ² − (X ₃ − 4) ² ¤ .

9. Se le v.a. X _i precedenti sono delle B (4, 0.1), calcolare P (X ₁ + X ₂ = 1).

10. Se invece le v.a. X _i precedenti sono delle B (1, 0.1), calcolare E h 1+X

1. T ∼ N (123.1, 7.5 ² ) P (T < 110) = Φ

t = 123.1 − 7.5 · q _0.999 = 123.1 − 7.5 · 3.09 = 9 9.925.

3. Dette T ₁ , T ₂ , T ₃ le durate dei tre esemplari, calcoliamo

0.04 ² · 0.96 = 0.0046.

5. L’errore δ corrispondente a n prove `e pari a ^σq ^√

_n quindi dobbiamo

risolvere σq _0.975

n ≥ ³σq _0.975 3

´ ₂

¶ ₂

P (|X ₁ + ... + X ₄₀ − 160| > 20) = 2P (X ₁ + ... + X ₄₀ ≥ 180)

µ X ₁ + ... + X ₄₀ − 40 · 4

X ₁ X ₂ ² − (X ₃ − 4) ² ¤

= E [X ₁ ] E £ X ₂ ² ¤

(X ₃ − 4) ² ¤

= 4 · E £ X ₁ ² ¤

− V ar [X 1 ] = 4 · E £ X ₁ ² ¤

E £ X ₁ ² ¤

= V ar [X ₁ ] + E [X ₁ ] ² = 4 + 16 = 20.

9. Una soluzione consiste nell’usare il fatto che X ₁ + X ₂ ∼ B (8, 0.1); per cui

P (X ₁ + X ₂ = 1) = µ 8

· 0.1 ¹ · 0.9 ⁷ = 0.382.

P (X ₁ + X ₂ = 1) = P (X ₁ + X ₂ = 1|X ₂ = 0) P (X ₂ = 0) + P (X ₁ + X ₂ = 1|X ₂ = 1) P (X ₂ = 1)

= P (X ₁ = 1) P (X ₂ = 0) + P (X ₁ = 0) P (X ₂ = 1)

= 2 · P (X ₁ = 1) P (X ₁ = 0)

· 0.1 ¹ · 0.9 ³ · µ 4

· 0.1 ⁰ · 0.9 ⁴ = 0.382.

· 1 + X ₁ 1 + X ₂

1 + X ₂

1 + X ₁

La v.a. _1+X ¹

assume il valore 1 (X 1 = 0) con probabilit`a 0.9, mentre assume il valore ¹ ₂ (X ₁ = 1) con probabilit`a 0.1. Pertanto