Interazioni nucleone-nucleone

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Interazioni nucleone-nucleone

Lezione 6

Interazioni nucleone-nucleone

•  Finora abbiamo descritto delle proprietà dei nuclei, a partire da osservazioni empiriche, che ci hanno portato alla formula di Bethe-Weizsäcker:

•  Descrive parte della fenomenologia osservata

–  interazione a breve range –  densità uniforme

–  bilanciamento dei livelli tra neutroni e protoni –  energia di “pairing” dei nucleoni

•  Non descrive

–  spin ed altri numeri quantici

–  l’esistenza di strutture nelle energie di legame

•  Ora vogliamo studiare direttamente l’interazione nucleare.

•  Il sistema da cui partire è l’interazione tra due nucleoni.

B.E. A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

+ a

Z

A

+ a

( N − Z )

A ± a

A

Il deutone

•  Il più semplice stato legato: N=1, Z=1

•  Indicato sia come

H o d

•  m(

H) =2.014 101 778 120 ± 0.000 000 000 122 u

•  Energia di legame

•  Stato molto debolmente legato:

–  Non esistono stati eccitati.

B.E. (

H ) ^{= m ⎡⎣} (

^H ) ^{− m} ( )

^{H − m n ( ) ⎤⎦c}

2 u +13.1357217MeV •  Dimensione

–  charge radius –  Si noti che

•  Spin-Parità:

–  1⁺

•  Momento magnetico

−1u − 7.2889706 MeV

−1u − 8.0713171MeV

= −2.224566 MeV

B

A = 1.112283MeV

R

= 2.1424 ± 0.0021fm R

= 0.8775 ± 0.0051fm

µ

= 0.857438229 ± 0.000000007 µ

Il deutone: funzione d’onda

•  Assumiamo il classico potenziale della buca sferica:

•  e la separazione di variabili

•  Lo stato di energia minima ha l=0,

•  Per E<0 le soluzioni hanno la forma:

•  con le condizioni:

–  continuità a r=0:

–  limitatezza per r→∞:

V r( ) ^{= −V0 r < R}

0 r > R

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ψ( )r ^{= u(r)}

r Y_l,m(θ,ϕ)

− !² 2m

d²u

dr² + V (r) + h²l(l +1) 2mr² − E

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥u = 0

u r( ) ^{= Asin k1r + B cosk1r k1 = 2m(E + V0) /! r < R}

Ce^−k2r + De^k2r k₂ = −2mE /! r > R

⎧

⎨⎪

⎩⎪

u 0( )= 0 ⇒ B = 0

Y_0,0(θ,ϕ) = 1 4π

lim_r→∞u r( ) = 0 ⇒ D = 0

Massa ridotta

Il deutone: funzione d’onda

•  Le condizioni di continuità al bordo della buca:

•  Si traducono nell’equazione per gli autovalori:

•  Per R=2.1 fm, E=-2.22 MeV si può determinare la profondità V₀ della barriera di potenziale:

V₀≈35 MeV

•  La probabilità di trovare un nucleone “fuori” dalla barriera decresce esponenzialmente con una scala di lunghezze:

Asin k₁R = Ce^−k2R Ak₁cosk₁R = −Ck₂e^−k2R

k₁cot k₁R = −k₂

1

2k₂ = !

2 −2mE = 200 MeV ⋅ fm

2 938 MeV ⋅ 2.2 MeV = 2.2 fm

Il deutone: spin e parità

•  J

=1

•  Gli spin dei due nucleoni possono accoppiarsi per dare uno spin

totale S=0 o S=1.

•  Il momento angolare totale J=1 si può ottenere dalle seguenti

combinazioni:

–  stati s: S=1, L=0

–  stati p: S=0, L=1 o S=1, L=1 –  stati d: S=1, L=2

•  La parità è P(d)=η

=η

(-1)

–  Con la convenzione usuale degli autovalori di parità η_n=η_p=+1 –  Solo gli stati L=0 o 2 sono

permessi –  S=1

•  Non esiste uno stato legato 0+

–  possiamo dedurre che il potenziale deve dipendere fortemente dallo spin.

–  molto diverso dal caso del positronio, dove gli stati L=0,S=0 e L=0,S=1

differivano di 8×10^-4 eV.

•  Possiamo introdurre termini proporzionali S

o s

⋅ s

–  rispettano T e P S² = (s1+ s2)² = s12

+ s22

+ 2s1⋅ s2

s₁⋅ s₂ = 1

2

(

)

= 1

2

(

)

Il deutone: potenziali di tripletto e singoletto

•  Dalla relazione:

–  Per S=1 –  Per S=0

•  Possiamo definire il potenziale separatamente per gli stati di tripletto e singoletto:

•  Si noti che nello stato con L=0 le coppie nn e pp non possono essere nello stato S=1:

–  per fermioni identici la funzione d’onda totale deve essere anti-simmetrica –  simmetria spaziale: (-1)^l simmetria della componente di spin: (-1)^S+1

Non esiste uno stato legato nn o pp

s₁⋅ s₂ = 1

2

(

)

s₁⋅ s2 = 1

2

(

)

s₁⋅ s2 = 1

2

(

)

V (r) = s₁⋅ s₂

!² − 1 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟V₁(r) + s₁⋅ s₂

!² + 3 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟V₃(r) = 3

4V₃(r) − 1

4V₁(r)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + s₁⋅ s₂

!² (V₁(r) + V₃(r))

Il deutone: momento magnetico

•  Il momento magnetico del sistema di spin S=1 è dato dalla relazione:

•  Per calcolare il coefficiente giromagnetico, possiamo proiettare s_p ed s_n sul vettore dello spin totale:

•  Sostituendo i valori:

•  Il momento magnetico risultante:

•  è vicino, ma non uguale a:

•  Per giustificare il valore osservato bisogna assumere ci sia una componente di momento magnetico dovuto al momento angolare orbitale:

–  Il deutone deve essere in uno stato misto L=0 + L=2

–  Il potenziale di interazione non può essere un potenziale puramente centrale

µ_s = g_sµ_N ^S

! = g_pµ_N ^sp

! + g_nµ_N ^sn

!

g_s S²

!² = gp

s_p ⋅ S

!² + gn s_n ⋅ S

!² = g_p s²_p + s_p ⋅ s_n

!² + g_n s_n² + s_p ⋅ s_n

!² g_s ⋅ 2 = g_p 3

4 + 1 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + gn

3 4 + 1

4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ g_s = g_p + g_n 2

g_p = +5.5857 g_n = −3.8261 g_s = +0.8798

µ_s = gsµ_N = 0.8798µ_N µ_d = g_dµ_N = 0.8574µ_N

Il deutone: momento magnetico

•  Una distribuzione di cariche in moto, produce un momento magnetico:

–  Nel caso del deutone, q=e, m=2m_N e

•  Ripetendo lo stesso ragionamento, ma stavolta per la combinazione di L ed S:

•  La proiezione lungo J dà quindi la relazione:

•  Per uno stato con J=1, S=1, L=2 si ottiene:

µl = q 2mL µl = e!

4m_N L

! = 1

2µ_N ^L

!

µ_d = g_dµ_N ^J

! = 1

2µ_N ^L

! + g_sµ_N ^S

!

J = L + S L ⋅ S = 1

2

(

)

g_d J²

!² = 1 2

L ⋅ (L + S)

!² + g_s S ⋅ (L + S)

!² g_d = 1

2

L ⋅ S + L²

J² + g_s L ⋅ S + S² J²

g_d = 3

4 − g_s 1

2 = 0.3101

Il deutone: momento magnetico

•  Se il mio stato è una sovrapposizione degli stati con

s

con L=0 e

3

d

con L=2:

•  Il valore di aspettazione del momento magnetico diventa:

•  La presenza di una componente d permette anche di giustificare il valore piccolo, ma non nullo del momento di quadrupolo

elettrico:

ψ_d = as3s₁+ ad 3d₁ a_s ² + ad 2

= 1

g_dµ_N = a_s ²g_sµ_N + a_d ² 3 4 − g_s

2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟µ_{N 0.8574 = as} ²_{0.8798 + ad} ²_0.3101

a

= 0.96, a

= 0.04

Q = 0.00288 b

Potenziale tensoriale

•  La presenza di una mistura di stati s e d indica che il potenziale non può essere puramente centrale.

–  deve comunque essere invariante per rotazioni, dato che il momento angolare totale viene conservato

–  spezza il disaccoppiamento tra funzione d’onda di spin e ed il momento angolare orbitale che si ha con un potenziale centrale.

V (r) = s₁⋅ s₂

!² − 1 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟V1(r) + s₁⋅ s₂

!² + 3 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟V3(r)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ V_T(r)S_1,2

S_1,2 = 3(s₁⋅ r)(^s2 ⋅ r)

r² − s( 1⋅ s2)

Interazioni nucleone-nucleone: bassa energia

•  Ulteriori informazioni sulle interazioni forti vengono dalla misura dello scattering nucleone-nucleone.

•  A basse energie contribuiscono solo collisioni con momento angolare orbitale L=0.

–  la sezione d’urto è appros- simativamente indipendente dall’angolo solido.

–  la lunghezza di scattering a dipende dallo stato di tripletto o singoletto dello spin.

–  Una volta corretta per le interazioni coulombiane:

•  a_pp = -17.1±0.2 fm

•  a_nn = -16.6±0.5 fm

Le interazioni forti sono indipendenti dalla carica

dσ

dΩ = a² 1 + (k /α)² k = 2µ_NE /!

Interazione Spin-Orbita

•  Supponiamo che:

–  V_SO(r) sia attrattivo

–  nucleoni 1 e 2 abbiano spin uscente dalla pagina:

•  per nucleone 1, s⋅L<0: la forza diventa repulsiva

•  per nucleone 2, s⋅L>0: la forza rimane attrattiva

•  Entrambi i nucleoni saranno deviati verso l’alto

•  Al contrario nucleoni con spin entrante nella pagina verranno deviati verso il basso

•  Come risultato dello scattering si osserva una polarizzazione dei nucleoni uscenti:

•  Si può descrivere tramite un potenziale del tipo:

P(θ) = dσ

dΩ = N_↑(θ) − N_↓(θ) N_↑(θ) + N_↓(θ)

V_SO(r)s ⋅ (r × p)

!² = VSO(r)s ⋅ L

!² Interazione spin-orbita

Scattering nucleone-nucleone: forza di scambio

•  All’aumentare dell’energia ci si aspetterebbe che l’effetto del potenziale nucleone-nucleone diminuisca sempre di più.

–  L’ordine di grandezza della deflessione

–  a 500 MeV ci aspettiammo θ~0.035 rad=2°

–  Invece nello scattering p-n si nota un grosso picco di diffusione all’indietro

•  Interazione di scambio:

–  interazione mediata da una particella carica

–  scambia la natura delle particelle uscenti, ma sempre a basso momento trasferito

p

-p p+Δp Δp

-p-Δp -Δp

θ = Δp

p = FΔt

p = (V₀ / R)(R /υ) p = V₀

pυ ⁼

V₀ 2

(

)

Forza F=-dV/dr

~V₀/R

Per un tempo Δt~R/v

R

p

-p p+Δp Δp

-p-Δp -Δp

Scattering nucleone-nucleone: forza di scambio

•  La particella in questione non può venire prodotta realmente:

–  violerebbe conservazione di energia e momento

•  Tuttavia è permessa dal principio di indeterminazione:

–  ΔEΔt>ħ ci dice che per processi di durata Δt non possiamo verificare la conservazione dell’energia a meno di ΔE>ħ/Δt

–  Per scambiare interazioni nucleari il mediatore ha bisogno di coprire almeno una distanza r₀ corrispondente a Δt~r₀/c

–  Quindi è possibile avere masse:

m_Xc²<ħ/Δt=ħc/r₀~200 MeV

•  Una forma usata del potenziale di interazione:

V (r) = g_π²

(

)

3 m

(

)

3R

r + 3R² r²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥e^−r/R r / R

S_1,2 = 3(s₁⋅ r)(^s2⋅ r)

r² − s( 1⋅ s2) R = ! m_Xc

Costante di accoppiamento

Breve range delle forze