Forme dierenziali ed applicazioni

Forme dierenziali ed applicazioni

Carlo Collari

Relatore: Prof.Andrea Loi

Lo scopo di questa tesi è la presentazione della risoluzione dei 94 esercizi proposti nel libro di Manfredo P. Do Carmo intitolato Dierential forms and applications (vedi [DoCDF] in bibliograa). La tesi è suddivisa in sei capitoli, ciascuno corrispon- dente ad un capitolo del libro. Per rendere il materiale più autocontenuto possibile all'inizio di ogni capitolo vengono richiamati le denizioni e gli enunciati necessari allo svolgimento degli esercizi stessi.

Capitolo 1. Forme dierenziali in Rⁿ. 5 1.1. Denizioni e teoremi sulle forme dierenziali in Rⁿ. 5

1.1.1. Denizione di forma dierenziale. 5

1.1.2. Operazioni sulle forme dierenziali in Rⁿ. 12

1.1.3. L'isomorsmo canonico. 19

1.2. Risoluzione degli esercizi. 20

Capitolo 2. Integrali di linea. 45

2.1. Denizioni e teoremi sull'integrazione di forme lungo una curva. 45

2.1.1. Curve ed integrali su curve in Rⁿ. 45

2.1.2. Forme dierenziali chiuse ed esatte. 47

2.1.3. Integrali di forme dierenziali chiuse. 51

2.2. Risoluzione degli esercizi. 57

Capitolo 3. Varietà dierenziabili. 72

3.1. Denizioni e teoremi sulle varietà dierenziabili. 72

3.1.1. Richiami di topologia. 73

3.1.2. Varietà dierenziabili e funzioni su varietà. 76 3.1.3. Forme dierenziali e campi di vettori su varietà. 81 3.2. Risoluzione degli esercizi sulle varietà dierenziabili. 89

Capitolo 4. Integrazione su varietà; Il teorema di Stokes e il Lemma di

Poincaré. 112

4.1. Denizioni e teoremi riguardanti integrazione su varietà. 112

4.1.1. Integrazione su varietà. 113

3

4.1.2. Il Teorema di Stokes. 118

4.1.3. Il Lemma di Poincaré. 124

4.2. Risoluzione degli esercizi sull'integrazione su varietà. 128 Capitolo 5. Geometria dierenziale delle superci. 149 5.1. Denizioni e teoremi di geometria dierenziale delle superci. 149

5.1.1. Equazioni di struttura in Rⁿ. 149

5.1.2. Superci in R³. 157

5.1.3. Geometria intrinseca delle superci. 165

5.2. Esercizi di geometria dierenziale delle superci. 176 Capitolo 6. Il Teorema di Gauss-Bonnet e il Teorema di Morse. 188 6.1. Denizioni e teoremi dell'ultimo capitolo. 188

6.1.1. Il Teorema di Gauss-Bonnet. 188

6.1.2. Il Teorema di Morse. 193

6.2. Esercizi sui teoremi di Morse e di Gauss-Bonnet. 197

Indice analitico 207

Bibliograa 210

Forme dierenziali in Rⁿ.

In questo capitolo introdurremo la nozione di forma dierenziale in Rⁿ, la nozione di prodotto esterno ed altre operazioni utili. A partire da queste svilupperemo poi la teoria delle forme dierenziali sulle varietà dierenziabili. Introduciamo anzitutto le nozioni fondamentali della teoria.

1.1. Denizioni e teoremi sulle forme dierenziali in Rⁿ.

1.1.1. Denizione di forma dierenziale.

Definition 1.1. Sia V un K−spazio vettoriale, con K un campo. Si dice k-forma, o forma di grado k, su V , una qualsiasi funzione:

ϕ :

k

Y

i=1

V → K : (v¹, ..., vk) 7→ ϕ(v1, ..., vk),

dove con Qⁿ_i=1V si indica il prodotto di V per se stesso n-volte. Una k-forma è detta k-lineare se è lineare in ciascuno dei suoi argomenti, mentre è detta alternata, se e solo se dato i ∈ {1, ..., k − 1}, si ha:

ϕ(v₁, ..., v_i, v_i+1, ..., v_k) = −ϕ(v₁, ..., v_i+1, v_i, ..., v_k),

ovvero scambiando due argomenti consecutivi¹la forma cambia segno². L'insieme delle forme k-lineari ed alternate su V è denotato Λ^k(V ). Un elemento di questo insieme è detto forma esteriore di grado k.

1Si noti che questo è equivalente a dire che una permutazione pari degli indici degli argomenti lascia invariato il risultato, mentre una dispari ne cambia il segno.

2Il cambio di segno è inteso come passaggio all'inverso additivo nel campo K.

5

Vediamo ora un'altra importante denizione riguardante gli spazi vettoriali.

Definition 1.2. Sia V un K-spazio vettoriale, il duale di V , è l'insieme V^∗ delle forme lineari, ovvero le 1-forme lineari, su V . Introducendo su V^∗ le seguenti operazioni:

+ : V^∗× V^∗→ V^∗: (ϕ, ψ) 7→ (ϕ + ψ),

· : K × V^∗→ V^∗: (λ, ϕ) 7→ λϕ,

con (ϕ + ψ) : V → K : v 7→ ϕ(v) + ψ(v), e λϕ : V → K : v 7→ λϕ(v). Allora la quaterna (V, K, +, ·) è un K spazio vettoriale della stessa dimensione di V .³ Inne data una base {ei}di V e una base {ϕj}di V^∗, diremo che una è la duale dell'altra se e solo se ϕj(e_i) = δ^j_i, per ogni i e per ogni j.

Consideriamo delle forme ϕ e ψ, di grado rispettivamente k e h, su Rⁿ, costruiremo ora un'operazione, detta prodotto esterno, che ci permetterà di ottenere da queste due una forma ξ di grado h + k, ma per fare questo abbiamo bisogno di qualche denizione e di un teorema molto importante. Iniziamo con il denire il concetto di prodotto esterno di 1-forme.

Definition 1.3. Sia V un K−spazio vettoriale e siano ϕi kforme di grado 1 su V . Deniamo il prodotto esterno delle ϕi, come la k forma denita da:

k

^

i=1

ϕi[v1, ..., vk] = ϕ1∧ ... ∧ ϕk[v1, ..., vk] = Det













ϕ₁[v₁] . . . ϕ₁[v_k] ... ... ...

ϕk[v1] . . . ϕk[vk]











 ,

3Ovvio è il fatto che V^∗ con le due operazioni denite rispetti gli assiomi di spazio vettoriale.

Consideriamo una base B = {e1, ..., en}in V . Deniamo ϕ1, ..., ϕncome : ϕi: V → K : v = (v1, ..., vn) 7→ vi,

dove v1, ..., vn sono le componenti di v in B. Ora abbiamo che ϕi(ej) = δ_i^j, le ϕi sono lineari e linearmente indipendenti. In quanto

a1ϕ1+ a2ϕ2+ ... + anϕn= 0,

calcolato in un elemento ei di B, ci dà: ai = 0. Dunque è un insieme libero. Consideriamo l'applicazione lineare

ψ : V → K : v 7→ ψ(v), siano aⁱ= ψ(ei)allora ψ(Piviei) =P

iviψ(ei) =P

iaivi=P

iaiϕi(v), dunque è un'insieme di generatori. Questo dimostra l'asserzione.

notiamo che se le ϕisono lineari allora il loro prodotto esterno è k-lineare⁴, inoltre è alternata. Inne deniamo il prodotto esterno di 1 forme in maniera tale che sia associativo.

Definition 1.4. Sia p ∈ Rⁿ,deniamo lo spazio tangente in p a Rⁿ come l'insieme dei vettori v ∈ Rⁿ, applicati in p, ovvero il vettore v applicato in p è vp dato da v − p. Lo spazio tangente ad Rⁿ in un punto p verrà indicato con Rⁿp. La base canonica di Rⁿp è {e1p, ..., enp},questa, qualora non vi sia troppa ambiguità, verrà denotata semplicemente con {e1, ..., en}.

Prima di procedere oltre, possiamo stabilire un legame tra i vettori e le derivate direzionali. Questo legame sarà poi utilizzato in tutto il seguito.

Definition 1.5. Una derivazione Dp in p è un'applicazione che è denita dall'in- sieme delle funzioni dierenziabili da Rⁿ in R, che denoteremo F(Rⁿ), e per ogni funzione f associ Dp[f ] ∈ R. e che sia tale che

(1.1.1) D_p[αf + βg] = αD_p[f ] + βD_p[g],

(1.1.2) Dp[f · g] = Dp[f ] · g_|p+ f_|p· Dp[g],

con f, g : Rⁿ → R, α, β ∈ R. La proprietà (1.1.1) è detta linearità, mentre la (1.1.2) è detta regola del prodotto di Leibniz⁵. L'insieme delle derivazioni su Rⁿp

verrà indicato con Dp(Rⁿ).

4Per la proprietà del determinante:

Det











a11+ c1 . . . a1n+ cn

a2n . . . a2n

... ...

an1 . . . ann











= Det











a11 . . . a1n

a2n . . . a2n

... ... an1 . . . ann









 + Det











c1 . . . cn

a2n . . . a2n

... ... an1 . . . ann









 .

5Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Matematico e losofo tedesco. Fu uno dei fondatori dell'analisi matematica.

Lemma 1.6. Sia g : Rⁿ → R, dierenziabile e sia p = (p1, ..., pn) ∈ Rⁿ; allora esistono n funzioni gi: Rⁿ→ R, anch'esse dierenziabili, tali che:

g =

"

X

i

(xi− pi)gi

# + g(p).

Inoltre gi(p) = ∂ig(p).

Dimostrazione. Deniamo f : R → R, come:

f (s) = g(st1+ (1 − s)p1, ..., stn− (1 − s)pn),

con t = (t1, ..., tn) ∈ Rⁿ. Poiché g è dierenziabile allora f è derivabile. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo:

f (t) = ˆ t

0

f⁰(s)ds,

ma:

f⁰(s) =X

i

(ti− pi)∂ig(st1+ (1 − s)p1, ..., stn− (1 − s)pn), allora si ha:

f (τ ) = ˆ τ

0

"

X

i

(t_i− pi)∂_ig(st₁+ (1 − s)p₁, ..., st_n− (1 − s)pn)

# ds =

=X

i

(ti− pi) ˆ τ

0

∂ig(st1+ (1 − s)p1, ..., stn− (1 − s)pn)ds.

D'altro canto

f (1) = g(t) − g(p), da cui:

g(t) − g(p) =X

i

(t_i− p_i) ˆ 1

0

∂_ig(st₁+ (1 − s)p₁, ..., st_n− (1 − s)p_n)ds,

posto gi(t) =´1

0 ∂_ig(st₁+(1−s)p₁, ..., st_n−(1−s)p_n)ds, abbiamo la decomposizione cercata, prima di continuare facciamo notare che gi(p) = ´1

0 ∂_ig(p₁, ..., p_n)ds =

∂ig(p)´1

0 ds = ∂ig(p). 

Theorem 1.7. Esiste un isomorsmo di spazi vettoriali tra Dp(Rⁿ)e RⁿO. Inoltre questo è tale che

e_i↔ ∂i, ove con ∂i viene indicato l'operatore _∂x^∂_i.

Dimostrazione. Sia B = {ei}_0≤i≤n la base canonica di RⁿO. Sia inoltre f : Rⁿ→ R una funzione dierenziabile, per dimostrare che esiste un isomorsmo di spazi vettoriali è suciente dimostrare che {∂i} è una base di Dp(Rⁿ). Iniziamo con il dimostrare che questo è uno spazio vettoriale. Ovviamente se λ ∈ R, e D ∈ Dp(Rⁿ) abbiamo che λD : F(Rⁿ) → R : f 7→ λ · D[f ] appartiene a D^p(Rⁿ). Vale inoltre 1 · D = D. Deniamo + come:

D + D⁰[f ] = D[f ] + D⁰[f ],

D, D⁰ ∈ Dp(Rⁿ); Il fatto che per la somma e per il prodotto per uno scalare valgano tutte le proprietà degli spazi vettoriali discende dal fatto che, se calcolate in una singola funzione, le derivazioni diventano elementi del campo e su di loro valgono quelle proprietà, e, poiché valgono indipendentemente dalla scelta della funzione, allora valgono in generale per le derivazioni. Dimostriamo che {∂i} è un insieme libero, se esistessero ai∈ R tali cheP

iai∂i= 0, allora, dato j ∈ {1, ..., n}, vale:

0 =X

i

a_i∂_i[x_j] = a_j.

con xj : Rⁿ → R : v = (v1, ..., v_n) 7→ v_j. Consideriamo α : Rⁿ → R : v 7→ α, la funzione costante α, utilizzando le due proprietà delle derivazioni, otteniamo:

D[α] = 0,

per ogni D ∈ Dp(Rⁿ). Dunque poniamo aj = D[xj], e, grazie al lemma 1.6, otteniamo:

D[f ] = D[X

i

(x_i− p_i)f_i+ f (p)] =X

i

D[(x_i− p_i)f_i] + D[f (p)] =

dato che la derivazione calcolata su una funzione costante è nulla,

=X

i

D[(xi−pi)fi] =X

i

[D[xi]fi(p) + (pi− pi)D[fi]] =X

i

D[xi]fi(p) =X

i

ai∂i[f ].



Per cui possiamo identicare derivazioni e vettori di Rⁿ, questo, per quanto non strettamente necessario, ci dà l'idea per generalizzare il concetto di vettore tangente ad una varietà dierenziabile qualsiasi; ma questo lo vedremo più avanti. Per ciascun punto p di Rⁿ, abbiamo che Rⁿp è uno spazio vettoriale reale di dimensione n. Possiamo dunque considerarne il duale (Rⁿp)^∗, otteniamo il seguente lemma:

Lemma 1.8. Una base di Λ¹(Rⁿp)^∗, è l'insieme {(dxi)p}i∈{1,...,n}, dove

xi : Rⁿ→ R : (a1, ..., ai, ..., an) 7→ ai,

e inoltre questa è la base duale⁶ della base canonica di Rⁿp. Notiamo che le applicazioni dxi sono lineari.

Dimostrazione. Abbiamo che dxi[vp] = vi; da cui dxi[ej] = δ_i^j e la linearità.

Iniziamo con il dimostrare che sono indipendenti, se esistessero aj ∈ R tali che P

ja_jdx_j = 0, applicando questo ad ei, otteniamo:

0 =X

j

ajdxj[ei] = ai,

dunque sono linearmente indipendenti. Ora siano aj = f (ej) , con f ∈ Λ¹(Rⁿ)^∗. Deniamo

g =X

j

ajdxj,

notiamo g ∈ Λ¹(Rⁿ)^∗, inoltre per ogni eivale che g[ei] = f [e_i]da cui g = f.  Definition 1.9. Un campo di forme lineari, o di forme esterne di grado 1, è una funzione che ad ogni punto p associa un elemento ω(p) di Λ¹(Rⁿp)^∗.

6Nel senso che (dxi)p[ej] = δ^j_i.

In virtù del teorema 1.7 e della denizione precedente, un qualsiasi campo di forme esterne di grado 1 può esser espresso come:

ω(p) =

n

X

i=1

ai(p)dxi,

dove osserviamo la convenzione che, qualora sia sucientemente chiaro dal contesto, (dxi)p verrà denotato con dxi. Nel caso si presenti una situazione di ambiguità, o comunque si cambi la notazione, verrà detto esplicitamente. Come abbiamo fatto notare prima, le applicazioni dxi sono lineari, dunque il prodotto esterno delle dxi_k, sarà bilineare ed alternato, dunque abbiamo che V^hj=1dxi_j ∈ Λ^h(Rⁿp)^∗. Più precisamente vale il seguente:

Proposition 1.10. L'insieme:

{(dxi₁∧ ... ∧ dxi_k)p, i1< ... < ik, ij ∈ {1, ..., n}},

è una base di Λ^k(Rⁿp)^∗.

Dimostrazione. Abbiamo che

dx_i1∧ ... ∧ dx_ik[e_j1, ..., e_jk] =











0 se (i1, ..., ik) 6= (j1, ..., jk) 1 altrimenti

,

inoltre come già fatto osservare questa è k-lineare ed alternata. Ora dimostriamo l'indipendenza dell'insieme (dxi1 ∧ ... ∧ dxik)_p, i₁ < ... < i_k, i_j ∈ {1, ..., n}}, supponiamo che esistano ai1,...,ik ∈ R tali che:

X

i₁<...<i_k

ai₁...i_kdxi₁∧ ... ∧ dxi_k= 0,

calcolato in [ej1, ..., ej_k]ci da:

a_j1...jk= 0.

Dimostriamo che sono un insieme di generatori. Sia f ∈ Λ^k(Rⁿp)^∗, poniamo ai₁...i_k= f [ei1, ..., ei_k]. Ora posta

g = X

i1<...<ik

ai₁...i_kdxi₁∧ ... ∧ dxi_k,

abbiamo che g ∈ Λ^k(Rⁿp)^∗, inoltre che per ogni [ej1, ..., e_jk], abbiamo g[ej1, ..., e_jk] = f [ej₁, ..., ej_k],da cui

f = g.



Possiamo ora denire una forma dierenziale di grado k su Rⁿ.

Definition 1.11. Una forma esterna di grado k su Rⁿ, è un'applicazione che ad ogni punto p associa un elemento ω(p) di Λ^k(Rⁿp)^∗; per quanto visto nella proposizione 1.10, possiamo scrivere dunque ω(p) come:

ω(p) = X

i1<...<ik

ai₁...i_k(p)dxi₁∧ ... ∧ dxi_k,

La forma esterna è detta dierenziale di grado k, se e solo se le ai₁...i_k sono funzioni dierenziabili di p.

1.1.2. Operazioni sulle forme dierenziali in Rⁿ. Deniamo ora le op- erazioni sulle forme dierenziali in Rⁿ. Queste sono diverse, le principali sono l'operazione di somma, il prodotto esterno, la stella di Hodge⁷e il cambio di vari- abili. A partire da questo deniremo delle altre operazioni come il rotore, il gradi- ente, il laplaciano e la divergenza, questo verrà fatto perlopiù nella parte relativa agli esercizi, per quanto alcune di queste denizioni verranno riportate in questa sottosezione. Ma vediamo anzitutto quelle principali.

7William Vallance Douglas Hodge FRS (17 Giugno 1903  7 Luglio 1975), matematico scozzese, occupatosi in particolare di geometria.

Definition 1.12. Siano ω e ϕ due forme esterne di grado k, deniamo la somma di ωe ϕ come la forma esterna di grado k, data da:

ω + ϕ =X

I

(aI+ bI)dxI,

dove si denota con I la k−upla (i1, ..., i_k), con i1 < ... < i_k, denotando dxI = dx_i1∧ ... ∧ dx_ik ed indicando

ϕ =X

I

bIdxI, ω =X

J

aJdxJ;

da notare che se le due sono forme dierenziali allora anche la loro somma lo è; in quanto la somma di due funzioni dierenziabili è una funzione dierenziabile.

Definition 1.13. Date

ϕ =X

J

a_Jdx_J, ω =X

I

b_Idx_I

una k ed una h, rispettivamente, forme esterne, deniamo il loro prodotto esterno come l'operazione, denita da:

ϕ ∧ ω =X

I,J

aJbIdxJ∧ dxI,

dunque il risultato del prodotto esterno di ϕ e ω è una k + h forma esterna. Se le due sono forme dierenziali allora anche il risultato lo è, e questo perchè il prodot- to di due funzioni dierenziabili è ancora dierenziabile e la somma di funzioni dierenziabili è ancora una dierenziabile.

Diamo ora qualche proprietà:

Proposition 1.14. Siano ϕ, ω e θ, rispettivamente, una h, una k ed una r forme dierenziali. Allora si ha:

(1) (ω ∧ ϕ)∧θ=ω∧(ϕ ∧ θ).

(2) (ω ∧ ϕ)=(−1)^kh(ϕ ∧ ω).

(3) Se r=h, allora ω∧(ϕ + θ)=ω ∧ ϕ + ω ∧ θ.

Dimostrazione. Siano ω = P_IaIdxI, ϕ = P_JaJdxJ e θ = P_KaKdxK.

(1) Nel caso ω = dxI ,ϕ = dxJ e θ = dxK, allora questo è associativo poiché vale l'associatività per le 1 forme. Nel caso generale:

(ω ∧ ϕ) ∧ θ = X

J,I,K

(aIbJ)cK(dxI∧ dxJ) ∧ dxK =

= X

J,I,K

aI(bJcK)dxI∧ (dxJ∧ dxK) = ω ∧ (ϕ ∧ θ).

(2) Vediamo nel caso ω = dxi₁∧ ... ∧ dxi_k e ϕ = dxj₁∧ ... ∧ dxj_k, in questo caso:

ω ∧ ϕ = dxi₁∧ ... ∧ dxi_k−1∧ dxi_k∧ dxj₁∧ dxj₂∧ ... ∧ dxj_h =

= (−1)dx_i1∧ ... ∧ dx_ik−1∧ dx_j1∧ dx_ik∧ dx_j2∧ ... ∧ dx_jh=

= (−1)^hdxi₁∧ ... ∧ dxi_k−1∧ dxj₁∧ dxj₂∧ ... ∧ dxj_h∧ dxi_k=

= (−1)^h(k−1)dx_i1∧ dxj1∧ dxj2∧ ... ∧ dxj_h∧ dxi2∧ ... ∧ dxi_k =

= (−1)^khϕ ∧ ω.

Nel caso generale:

ω ∧ ϕ =X

I,J

aIbJdxI∧ dxJ=X

I,J

bJaIdxI∧ dxJ=

= (−1)^khX

I,J

bJaIdxJ∧ dxI = (−1)^khϕ ∧ ω.

(3) ω∧(ϕ+θ) = PI,KaI(bK+cK)dxI∧dxK =P

I,K(aIbK+aIcK)dxI∧dxK= ω ∧ ϕ + ω ∧ θ.



Un'altra operazione molto importante è il cambiamento di coordinate, questo può esser espresso tramite un'operatore^∗, vediamone la denizione.

Definition 1.15. Sia f : Rⁿ→ R^mun'applicazione dierenziabile. Allora f induce una mappa che prende delle forme esterne di grado k di R^m, e fornisce delle forme esterne di grado k in Rⁿ, nella maniera seguente. Data una k forma esterna ω, in R^m,deniamo f^∗ω la k forma di Rⁿ denita da:

(f^∗ω)p[v1, ..., vk] = ωf (p)[dfp[v1], ..., dfp[vk]],

dove dfp[v] = Df(p) · v, è detto dierenziale di f in p e dove Df(p) è il vettore delle derivate parziali di f calcolato in p. Quest'operazione è detta cambiamento di coordinate.

Vediamone qualche proprietà relativa anche alle operazioni denite precedente- mente.

Proposition 1.16. Sia f : Rⁿ→ R^m una funzione dierenziabile. Allora si ha:

(1) f^∗(ω ∧ ϕ) = f^∗ω ∧ f^∗ϕ, dove ω, ϕ sono due forme esterne qualsiasi in R^m. (2) Data una funzione dierenziabile g : R^p → R^m ed una forma esterna di

R^m, vale:(f ◦ g)^∗ω = g^∗(f^∗ω).

Dimostrazione. Siano ω = PIa_Idx_I e ϕ = PJa_Jdx_J .

(1) calcoliamo f^∗ω ed f^∗ϕ, questa divengono:

(f^∗ω)p[v1, ..., vk] =X

I

aI(f (p))dxI[dfp[v1], ..., dfp[vk]],

equivalentemente:

(f^∗ϕ)p[v1, ..., vh] =X

J

bJ(f (p))dxJ[dfp[v1], ..., dfp[vh]],

da cui:

(f^∗ω ∧ f^∗ϕ)p[v1, ..., vh+k] =X

I,J

(aIbJ)(f (p))[dfp[v1], ..., dfp[vh+k]] = f^∗(ω ∧ ϕ).

(2) Calcoliamo (f ◦ g)^∗ω, questo è dato da:

{(f ◦ g)^∗ω}p[v1, ..., vk] =X

I

aI(f (g(p)))dxI[d(f ◦ g)p[v1], ..., d(f ◦ g)[vk]] =

ora d(f ◦ g)p[v] =P

j∂_j(f ◦ g)_|pv_j =P

i,j∂_jf_|g(p)∂_jg_i|pv_i = df_g(p)[dg_p[v]], il che implica:

=X

I

f^∗(aIdxI)g(p)[dgp[v1], ..., dgp[vk]] = g^∗(f^∗ω)p[v1, ..., vk].



Nel seguito indicheremo come 0-forme dierenziali di Rⁿ, le funzioni g : Rⁿ → R, dierenziabili. Proseguiamo con la trattazione denendo l'operatore di dierenzi- azione esterna.

Definition 1.17. Sia g : Rⁿ→ R, una 0-forma dierenziale, deniamo il dieren- ziale esterno di g, indicato con dg, come la 1-forma:

dg =X

i

∂_igdx_i,

facciamo anzitutto notare che questa coincide con il dierenziale utilizzato nella denizione di ^∗. Estendiamo questa denizione alle k forme dierenziali; data una forma dierenziale ω = PIa_Idx_I, deniamo il suo dierenziale esterno come:

dω =X

I

daI∧ dxI.

Vediamo inne le proprietà della dierenziazione esterna.

Proposition 1.18. Siano ω1 e ω2 una s-forma ed una k-forme, rispettivamente;

f : Rⁿ→ R^m un'applicazione dierenziabile.Allora valgono le seguenti:

(1) d(ω1+ ω2) = dω1+ dω2.

(2) d(ω1∧ ω2) = dω1∧ ω2+ (−1)^sω1∧ dω2. (3) d(dω1) = d²ω₁= 0.

(4) d(f^∗ω₁) = f^∗dω₁.

Dimostrazione. Siano ωi = P

Iiaⁱ_I

idxI_i, inoltre facciamo notare che la prima proprietà vale solo nel caso s = k, procediamo con la dimostrazione:

(1) Consideriamo il caso in cui ω1 e ω2 siano due 0 forme, allora:

d(ω₁+ ω₂) =X

i

∂_i(ω₁+ ω₂)dx_i=X

i

∂_iω₁dx_i+X

i

∂_iω₂dx_i =

= dω1+ dω2. Passiamo al caso generale:

d(ω₁+ ω₂) = d X

I

(a¹_I+ a²_I)dx_I

!

=X

I

d(a¹_I+ a²_I) ∧ dx_I =

=X

I

da¹_I∧ dxI+X

I

da²_I∧ dxI = dω₁+ dω₂. (2) Poniamo I = I1 e J = I2.

d(ω₁∧ ω2) =X

I,J

d(a¹_Ia²_J) ∧ dx_I ∧ dxJ =X

I,J



 X

j

∂_j(a¹_Ia²_J)dx_j



∧ dxI∧ dxJ=

=X

I,J

X

j

∂_ja¹_Ia²_J+ ∂_ja²_Ja¹_I
dxj∧ dx_I∧ dx_J=X

I,J

X

j

∂_ja¹_Ia²_J
dxj∧ dx_I∧ dx_J+

+(−1)^sX

I,J

X

j

∂ja²_Ja¹_I
dxI∧ dxj∧ dxJ= dω1∧ ω2+ (−1)^sω1∧ dω2. (3) Sia ω = PIa_Idx_I, una k forma.

d(dω) = d X

I

daI∧ dxI

!

= d X

I

X

i

∂iaIdxi∧ dxI

!

=

=X

I

X

i,j

∂ijaIdxi∧ dxj∧ dxI =X

I

X

i6=j

∂ijaIdxi∧ dxj∧ dxI+

+X

I

X

i

∂²_ia_Idx_i∧ dxi∧ dxI =

utilizzando l'esercizio 1.4, otteniamo che dxi∧ dxi= 0, dunque:

=X

I

X

i6=j

∂ijaIdxi∧ dxj∧ dxI =X

I

X

i<j

(∂ijaI− ∂jiaI)dxi∧ dxj∧ dxI,

per il teorema di Schwartz abbiamo ∂ij = ∂_ji, da cui l'asserto.

(4) Sia ω come nel punto precedente e sia f : Rⁿ → R^m un'applicazione dierenziabile. Iniziamo nel caso k=0.

(f^∗dω)p[v1] =X

i

(∂iω)(f (p))dxi[dfp[v1]] =X

i,j

(∂iω)(f (p))∂jf (p)vj =

=X

i

∂_i(ω ◦ f )(p)dx_i[v₁] = d(f^∗ω)_p[v₁].

Nel caso generale:

f^∗(dω) = f^∗X

I

da_I ∧ dxI =X

I

f^∗da_I ∧ f^∗dx_I =

=X

I

d(f^∗a_I) ∧ f^∗dx_I = d(f^∗ω).



Definition 1.19. Data ω una k forma di Rⁿ, deniamo: ∗ω ponendo ∗ (dxi1 ∧ ... ∧ dx_ik) = ε^{(i1,...,ik,j1,...,jn−k)}dx_j1 ∧ ... ∧ dx_jn−kdove abbiamo che i1 < ... < i_k, e j1 < ... < jn−k tali che (i1, ..., ik, j1, ..., jn−k) ∈ Sn, e la estendiamo per linearità.

Dove con Snviene indicato il gruppo simmetrico di ordine n, ovvero il gruppo delle permutazioni su n elementi⁸. Questa operazione è detta stella di Hodge. Inoltre abbiamo la seguente utile proprietà:

Lemma 1.20. Data una k forma dierenziale ω in R^m e f : Rⁿ → R^m un'appli- cazione dierenziabile, vale:

f^∗(∗ω) = ∗(f^∗ω).

8Questo è l'insieme delle bijezioni da {1, ..., n} in se stesso, che dotato dell'operazione di composizione costituisce un gruppo non abeliano di cardinale n!.

Dimostrazione. Sia ω = PIaIdxI, allora ∗(ω) = PIaIε^JIdxJ_I, dove denotiamo con JI = (j1, ..., jm−k) tale che j1 < ... < jm−k tali che (i1, ..., ik, j1, ..., jm−k) ∈ S_m,con I = (i1, ..., i_m). Dunque:

f^∗∗(ω) = f^∗ X

I

a_Iε^JIdx_JI

!

=X

I

ε^JIf^∗a_Iε^JIf^∗dx_JI =X

I

ε^JI(f^∗a_I)dy_JI = ∗(f^∗ω).



Concluse le operazioni, dobbiamo denire un'utile isomorsmo che esiste tra Rⁿp e il suo duale (Rⁿp)^∗, questo è detto isomorsmo canonico.

1.1.3. L'isomorsmo canonico.

Definition 1.21. Deniamo L'Isomorsmo canonico, come l'applicazione indotta dal prodotto scalare canonico⁹, ≺ ·, · , denita da:

ψ : Rⁿp → (Rⁿp)^∗: vp7→≺ v, ·  .

L'Isomorsmo canonico prende un vettore v di Rⁿp e gli associa una 1 forma esterna ω data da ω(u) =≺ v, u . Se al posto di un vettore utilizzassimo un campo di vettori allora otterremmo una corrispondenza biunivoca tra campi di vettori in Rⁿ e 1 forme dierenziali in Rⁿ. Ovviamente è R lineare, infatti ≺ av + bw, · = a ≺ v, ·  +b ≺ w, · . Come detto nel seguente:

Lemma 1.22. L'isomorsmo canonico ψ è un isomorsmo, inoltre trasforma campi di vettori in 1-forme dierenziali.

Dimostrazione. Essendo lineare resta solo da mostrare che è biunivoca, fatto questo abbiamo che è un isomorsmo. Il fatto che porti campi di vettori in 1-

9Denito da ≺ ~v, ~w =Pn i=1viwi.

forme è ovvio, dato un campo di vettori X = (x1, ..., xn),

ψ(X)P[v] =X

i

xi(P )vi=X

i

xi(P )dxi[v].

Per quel che riguarda la biunivocità abbiamo che se esistessero due campi di vettori, X = (x₁, ..., x_n)e Y = (y1, ..., y_n), tali che ψ(X) = ψ(Y ), allora, per ogni vettore v vale:

ψ(X)[v] = ψ(Y )[v], posto v = ei, otteniamo:

xi= yi.

Resta da vericane la suriettività, data una 1 forma ω = P_iaidxi, posto X = (a1, ..., an)abbiamo che:

ψ(X)_p[v] =X

i

a_i(p)v_i =X

i

a_i(p)dx_i[v] = ω_p[v].

Questo prova il lemma. 

Dato un campo di vettori v indicheremo la sua immagine, tramite l'isomorsmo canonico, con ≺ v .

1.2. Risoluzione degli esercizi.

Passiamo ora alla risoluzione degli esercizi del primo capitolo. Durante lo svolgi- mento di questi si è tentato di utilizzare unicamente le nozioni richiamate prece- dentemente. Qualora venassero utilizzati teoremi dierenti o proprietà particolari esse saranno teoremi o proprietà di base delle funzioni o delle derivate. Si è tentato di rispettare fedelmente il testo degli esercizi come scritto nel Do Carmo, quindi potrebbero esser presenti denizioni di concetti date precedentemente.

Exercise. 1.1

Si provi che una forma bilineare ϕ : R³×R³→ R è alternata se e solo se ϕ(v, v) = 0.