Applicazioni della legge di Gauss

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Applicazioni della legge di Gauss

Divergenza e teorema della divergenza Forma differenziale della legge di Gauss

Lezione n. 6 – 16.10.2020

Campo di un guscio sferico cavo

• Abbiamo già calcolato mediante un calcolo diretto il campo elettrico all'interno di un guscio sferico di carica Q e raggio R

• La legge di Gauss permette di calcolare in modo molto semplice il campo elettrico sia all'interno che all'esterno del guscio

• Tuttavia è indispensabile utilizzare argomenti di simmetria per stabilire:

• La direzione del campo elettrico

• Proprietà del modulo del campo elettrico

• Nel problema in esame affermiamo che sia all'interno che all'esterno del guscio il campo elettrico deve essere diretto lungo un raggio

• Qualsiasi altra direzione violerebbe l'isotropia dello spazio

• La distribuzione di carica in esame ha una simmetria sferica

Inoltre ha lo stesso modulo su tutti i punti che giacciono su una sfera di

Campo di un guscio sferico cavo

• Consideriamo a questo punto una superficie sferica di raggio r < R (interna al guscio)

• Il flusso del campo elettrico è

• La legge di Gauss ci dice che

• Non c'è carica all'interno della superficie sferica

• Pertanto concludiamo che

• Consideriamo a questo punto una superficie sferica di raggio r > R

• Abbiamo la stessa espressione per il flusso

• All'interno della superficie c'è la carica totale del guscio Q

• Otteniamo

• Notiamo che è uguale al campo di una carica puntiforme Q nell'origine

Ancora sul guscio sferico cavo

• Possiamo utilizzare l'esempio del guscio sferico cavo per approfondire ulteriormente

• Le implicazioni della dipendenza del campo da 1/r²

• Il concetto di angolo solido

• Per definizione un angolo solido sottende, a distanza r, una superficie dS = r² dΩ

• La superficie sulla sfera di raggio r

• Consideriamo adesso un guscio sferico di carica Q cavo e un punto arbitrario

P

• La superficie del guscio può essere suddivisa in tante coppie costruite mediante coni con la stessa apertura

• Sottolineiamo che il punto P non è il centro della sfera

• Le due superfici individuate sulla sfera siano dS₁ e dS₂

• Le distanze da

P

• Dimostriamo adesso che i campi elettrici in P generati dai due elementi di carica si elidono

Ancora sul guscio sferico cavo

• Dobbiamo pertanto dimostrare che hanno lo stesso modulo

• I due campi sono generati da cariche differenti poste a distanze differenti da P

• Le cariche dei due elementi sono

• Vogliamo dimostrare che

• Consideriamo la proiezione della sfera

• Le due superfici dS₁ e dS₂ sono entrambe

normali ai raggi che originano dal centro del guscio C

• Tracciamo due elementi di superficie sferiche centrate sul punto P: dS'₁ e dS'₂

• Sono perpendicolari alla corda AB, asse dei due coni

• Per la definizione di angolo solido

• Inoltre il triangolo ABC è isoscele

• Gli angoli alla base sono uguali

Ancora sul guscio sferico cavo

• Dato che gli angoli alla base sono uguali abbiamo

• Riepiloghiamo le altre relazioni trovate

• Abbiamo pertanto

• Calcoliamo il rapporto dei moduli dei campi elettrici

• Pertanto i due campi hanno lo stesso modulo e direzione opposta

• La somma è nulla

Campo di una sfera di carica

• Consideriamo adesso il campo elettrico generato da una sfera di carica

• La carica totale è Q, il raggio è R

• La sfera ha una densità di carica uniforme

• Osserviamo che anche questo problema ha una simmetria sferica

• Il campo è sempre radiale rispetto al centro della sfera

• Il modulo del campo ad una distanza r è costante

• Consideriamo una superficie sferica di raggio r > R, esterna alla sfera carica

• È la stessa condizione dell'esempio precedente

• La carica dentro la sfera è Q

• Abbiamo pertanto

• Anche in questo caso è lo stesso campo di una carica puntiforme Q posta nell'origine

Campo di una sfera di carica

• Consideriamo adesso una sfera di raggio r < R, interna alla sfera carica

• La carica all'interno della sfera non è nulla

• Inoltre è solo una parte della carica totale Q

• La carica all'interno della sfera è

• Applichiamo la legge di Gauss

• Ricaviamo E(r)

Equilibrio in campo elettrostatico

• La legge di Gauss permette anche di trarre un'importante conclusione riguardo la possibilità di costruire un campo elettrostatico che abbia una posizione di equilibrio stabile in un punto dove non ci sono cariche elettriche

• È essenziale la precisazione "dove non ci sono cariche elettriche"

• Una posizione di equilibrio stabile implica che la forza su una carica sia nulla

• Questo è possibile

• Deve anche esserci una "forza di richiamo" per spostamenti arbitrari

• In tutte le direzioni possibili

• Per una carica positiva significa che nell'intorno di una posizione di equilibrio stabile il campo elettrico punta sempre verso il punto di equilibrio

• In tutte le direzioni nello spazio tridimensionale

• Per una carica negativa si inverte il verso del campo

• Possiamo allora calcolare il flusso attraverso una superficie

• Il flusso sarebbe diverso da zero

• Nella posizione di equilibrio ci sarebbe una carica

Pertanto la legge di Gauss implica che non ci possano essere posizioni di equilibrio stabile dove non ci sono cariche elettriche

fisse

Discontinuità del campo elettrico

• Il campo elettrico è discontinuo quando si attraversa una superficie con densità di carica σ

• Abbiamo visto due esempi

• Un piano infinito (esercitazione)

• Un guscio sferico cavo

• All'interno

E

• Sulla superficie …

• In entrambi i casi la variazione della componente normale è

• La componente tangenziale è la stessa da

entrambe le parti della superficie carica

E

= 0

Discontinuità del campo elettrico

• Esaminiamo in maggiore dettaglio questo ultimo punto

• Consideriamo un piano di carica molto sottile

• Non necessariamente uniforme

• Esaminiamolo in maggiore dettaglio localmente

• Consideriamo la circuitazione di

E

• Non è detto che il campo sia perpendicolare al piano

• Le lunghezze delle linee rosse verticali sono trascurabili rispetto a quelle orizzontali

• Le linee orizzontali sono vicinissime al piano e a esso parallele

• Otteniamo pertanto

• La componente di

E

Discontinuità del campo elettrico

• Studiamo adesso la componente normale

• In questo caso utilizziamo la legge di Gauss

• Usiamo un cilindretto con le facce parallele al piano

• La superficie laterale è trascurabile

• Il contributo importante al flusso è solo quello delle due facce parallele al piano

• Non è detto che il campo sia perpendicolare al piano La carica all'interno del cilindro è

• Otteniamo pertanto

Forza su uno strato di carica

• Consideriamo il guscio di carica sferico che abbiamo già analizzato

• Il raggio è R, la carica totale Q

• La densità superficiale di carica

• Il campo elettrico all'interno è nullo

• All'esterno il campo elettrico è dato da

• Pertanto il campo sulla superficie è

• Notiamo che si applicano le condizioni di discontinuità del campo che avevamo trovato precedentemente

• Ci chiediamo adesso quale forza si esercita su un elemento di carica della superficie

• Un elemento di superficie infinitesimo

Forza su uno strato di carica

• La forza sull'elemento di carica dA deriva dall'interazione fra la carica dq e il campo generato da tutte le altre

cariche

• Le cariche dell'elemento dA esercitano forze sulle cariche dell'elemento stesso ma la loro risultante è nulla

• Conseguenza della terza legge di Newton

• Suddividiamo il campo elettrico nel punto occupato dall'elemento dA in due contributi

• Il campo elettrico

E

• Il campo elettrico

E

• Sappiamo inoltre che un elemento circolare di carica genera sull'asse un campo perpendicolare all'elemento di carica

• Pertanto tutte le altre cariche della sfera devono

generare un campo tale che la somma sia quella indicata

Forza su uno strato di carica

• Pertanto la forza che viene esercitata sull'elemento dA è

• La forza per unità di superficie

• Sostituendo il valore trovato per

E

• La forza per unità di superfice è chiamata anche pressione elettrostatica

• Ricordiamo che il campo all'esterno è

• Sull'elemento dA c'è una forza perché all'interno la pressione è nulla mentre all'esterno è diversa da zero

Divergenza di un campo vettoriale

• Introduciamo adesso un importante operatore differenziale

• Finora abbiamo trovato delle relazioni di tipo integrale per descrivere o enunciare proprietà del campo elettrico

• Circuitazione del campo elettrico (il campo elettrico è conservativo)

• Legge di Gauss (il campo elettrico varia come 1/r²)

• Tuttavia in fisica si usa di solito una formulazione che esprima proprietà locali dei campi

• In un punto e nei punti infinitamente vicini

• Proprietà delle derivate del campo

• Equazioni differenziali per trovare i campi

• La prima legge che vogliamo esprimere in forma differenziale è la legge di Gauss

• Ci porterà all'introduzione dell'operatore divergenza

• Insieme alla proprietà del campo di essere esprimibile come gradiente del potenziale (campo conservativo) ci permetterà di scrivere una

importantissima equazione per il potenziale

L'equazione di Laplace

Divergenza di un campo vettoriale

• Dato che vogliamo esprimere in modo differente la legge di Gauss iniziamo esaminando il flusso del campo elettrico (o di un campo vettoriale in genere)

• Possiamo suddividere questo integrale in due

• Nel primo integrale la normale alla superficie S è verso "il basso"

• Nel secondo integrale la normale alla superficie S è verso "l'alto"

• L'integrale sulla superficie S ha segno opposto nei due integrali

• I due contributi si elidono

• Rimangono i due integrali sulle superfici A₁ e A₂ la cui somma dà l'integrale di partenza

• Entrambi gli integrali calcolano il flusso attraverso una superficie chiusa

Divergenza di un campo vettoriale

• Il procedimento appena descritto può essere ripetuto ….

• E ripetuto

• Nel corso della suddivisione si definiscono anche delle superfici che non hanno una parte in comune con la superficie esterna di partenza A

• Queste superfici si elidono con quelle degli elementi confinanti

• Anche in questo caso rimane solo il contributo della superfice "esterna" A

• Pertanto possiamo scrivere

• Man mano che N diventa sempre più grande le superfici A_k diventano sempre più piccole (e anche il volume

che esse racchiudono)

• L'integrale sulla superficie A è una proprietà globale

• Gli integrali su A , superfici sempre più piccole,

Divergenza di un campo vettoriale

• Tuttavia c'è un problema. Al crescere di N l'integrale del flusso esteso ad una superficie sempre più piccola tende a zero

• Il campo E_k è un qualche valor medio del campo sulla superficie A_k

• La superficie A_k tende a zero

• Se vogliamo definire una proprietà locale occorre trovare un modo per rendere finita (e non infinitesima) questa informazione

• Un modo è definire un rapporto fra Φ_k e una quantità che tende anch'essa a zero nel limiti di grandi N

• Risulta molto utile dividere per V_k, il volume delimitato da A_k

• Sottolineiamo che la somma di tutti i volumi V_k dà il volume V delimitato dalla superficie iniziale A

• Se il limite di Φ_k/V_k esiste esso può dare informazioni locali sul campo

• Il limite esiste e prende il nome di divergenza di un campo vettoriale

Divergenza di un campo vettoriale

• La divergenza di un vettore è una funzione scalare

• Dipende dalla posizione: una funzione di x, y, z

• Il suo significato è una sorta di densità di flusso definita in un punto

• La definizione che abbiamo dato è del tutto generale

• Non dipende da proprietà specifiche del campo elettrico

• Può essere definita per un generico campo vettoriale

• Così come l'abbiamo definita richiede una procedura complicata per essere calcolata

• Fra poco definiremo un modo più semplice per definirla attraverso un operatore differenziale

Teorema della divergenza

• Utilizzando la derivazione che abbiamo fatto per introdurre la divergenza di un campo vettoriale possiamo dimostrare anche l'importante teorema della divergenza

• La parte centrale della derivazione è stata l'osservazione che il flusso può essere scritto come somma di tanti contributi elementari

• Moltiplichiamo e dividiamo ogni termine della somma per V_k/V_k

• Nel limite di grandi N abbiamo definito

• La somma tende ad un integrale di volume

V è il volume delimitato dalla superficie A Vale per un campo

vettoriale generico