! ! ! L’attrito Tensione e pulegge Molle e legge di Hooke

2

!  L’attrito

!  Tensione e pulegge

!  Molle e legge di Hooke

Le 3 leggi della dinamica

1.  Un oggetto non cambia il proprio stato (quiete o moto

rettilineo uniforme) finché su di esso non agiscono forze con risultante diversa da 0

2.  La risultante delle forze , agendo su un corpo di massa m, fornisce allo stesso un’accelerazione avente la sua stessa direzione ed il suo stesso verso, intensità direttamente

proporzionale alla forza ed inversamente proporzionale alla massa del corpo^.

a 

∑

3.  Durante l’interazione tra due corpi 1 e 2, se il corpo 1 esercita una forza (azione) sul corpo 2, quest’ ultimo reagisce

esercitando sul corpo 1 una forza (reazione) uguale in

F 

∑ ^{= m a }

4

Applicazioni delle leggi di Newton

! il mondo reale

Attrito

Corde e tensione

=

Una frattura in trazione

Molle

L’attrito

Una cassa su una superficie “liscia”

Le irregolarità della superficie sono la

causa dell’attrito

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L’attrito dinamico f _k

Tiro un oggetto con velocità costante e

con il dinamometro misuro la forza F che esercito

F 

∑ ^{= m a }

0 a_x =

0

a_y = L’oggetto non si stacca dal piano

Velocità costante ! moto rettilineo uniforme

Condizioni a contorno

x y

S A I S

0 f

F  + 

=

Asse x

0 N

w  +  =

Asse y

0 f

-

F

=

0 w

-

N =

f

F =

N = mg

L’attrito dinamico f _k

Tiro un oggetto con velocità costante e con il dinamometro misuro la forza che esercito

! 2 casi (w e 2w)

0 f

F  + 

= 0 f

-

F

= f

F =

2f

2F =

Se raddoppio w, ovvero m ! 2m

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L’attrito dinamico f _k

La forza di attrito dinamico:

f

= µ

^N

•  Si oppone sempre al moto

•  Ha modulo proporzionale alla forza normale alla superficie sulla quale scorre l’oggetto

•  La costante di proporzionalità adimensionale è µ_k, coefficiente di attrito dinamico

•  E’ indipendente dalla velocità di scorrimento

•  E’ indipendente dall’area di contatto

L’attrito statico f _s

Tutto fermo

F₁ è piccola, il blocco non

si muove

F₂ è piccola, il blocco non

si muove

F è abbastanza grande, il blocco si muove

con v costante ^fs

10

L’attrito statico f _s

La forza di attrito statico:

f

= µ

^N

•  Si oppone sempre al moto

•  Ha modulo proporzionale alla forza normale alla superficie sulla quale scorre l’oggetto

•  La costante di proporzionalità è µ_s, coefficiente di attrito statico

• E’ indipendente dall’area di contatto

• Può assumere valori tali per cui 0 < f_s < µ_sN

Attrito statico e attrito dinamico

Materiali µ

! µ

Gomma su

cemento asciutto 0.80 0.90

Acciaio su acciaio 0.57 0.74 Gomma su

Cemento bagnato 0.25 0.30

Sci/Snowboard sciolinati sulla neve

0.05 0.10

Teflon su Teflon 0.04 0.04

1.  Attrito statico

2.  Attenzione a quando piove

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Esercizio

Un autocarro inclina lentamente il suo pianale ribaltabile sul quale è posta una cassa di m = 95.0 kg. La cassa inizia a scivolare per un angolo di inclinazione θ = 23.2^o.

1. Calcolare µ_s e N

x y

w cosθ

w senθ w

θ!

0 f

w

N  +  + 

=

0 N

µ - senθ

w _s =

x y

θ!

Ν!

w f_s

Asse x Asse y

0.432 cosθ tgθ

mg

senθ

µ_s = mg = =

0 cosθ

w -

N =

Esercizio

Un autocarro inclina lentamente il suo pianale ribaltabile sul quale è posta una cassa di m = 95.0 kg. La cassa inizia a scivolare per un angolo di inclinazione θ = 23.2^o.

2.  Se µ_k = 0.35, con quale accelerazione scende verso terra ?

x y

w cosθ

w senθ w

θ!

a m f

w

N   



= +

+

0 cosθ

w -

N =

Asse y

x y

θ!

Ν!

w f_k

a

N 856 cos23.2

) ms (9.81 kg)

(95.0

N = ⋅ ^-2 ⋅ ^o =

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!  L’attrito

!  Tensione e pulegge

!  Molle e legge di Hooke

Tensione e pulegge

In ogni punto, la tensione vale T

"   T₁ = m_cassag

"   T₂ = m_cassa g + ½ m_fune g

"   T₃ = m_cassa g + m_fune g

" Approssimazione: m_fune = 0

Se il peso della fune non è trascurabile, T varia:

16

Mettiamo in trazione una gamba rotta

Un meccanismo di trazione, che impiega tre pulegge, è applicato a una gamba rotta. Trovare il valore della massa m se la forza

esercitata sul piede è di 165 N e θ = 40^o.

x y

T

T cosθ θ T se

nθ

T se nθ

T cosθ θ

T

T T

Mettiamo in trazione una gamba rotta

x y

T

T cosθ θ T se

nθ

T se nθ

T cosθ θ

T

Forze che agiscono sul piede Asse y

T senθ - T senθ = 0

TRAZIONE

N 165

cosθ

2mg =

Asse x

T cosθ + T cosθ = 2T cosθ

kg N 10.9

165 m

T = mg

Condizioni a contorno

Puleggia non cambia il modulo della Tensione

Un meccanismo di trazione, che impiega tre pulegge, è applicato a una gamba rotta.

Trovare il valore della massa m se la forza esercitata sul piede è di 165 N e θ = 40^o.

18

!  L’attrito

!  Tensione e pulegge

!  Molle e legge di Hooke

F forza esercitata dalla molla

Le molle e la legge di Hooke

20

Le molle e la legge di Hooke

!  Una molla allungata o compressa di una quantità x rispetto alla sua lunghezza di equilibrio esercita una forza data da

F = - k x Legge di Hooke

"   Una molla ideale è priva di massa e

ubbidisce esattamente alla legge di Hooke

Esercizio

Una molla lunga 8 cm (x₀) ha una costante elastica k pari a 160 N/m.

Determinare:

!  la lunghezza della molla quando è tirata da una forza di 4 N;

!  quale sarebbe l’allungamento x della molla se si agganciasse un oggetto di massa m = 200 g

22

Esercizio

Soluzione

Si ricorda la legge di Hooke

F = - k x

da cui x = F / k (allungamento ! x > 0)

Tenendo presente che la lunghezza finale è data dalla somma della lunghezza iniziale della molla e dell’allungamento dovuto alla forza applicata:

x = x₀ + ( F / k ) = 0.08 m + (4 N / 160 Nm^-1) = 0.105 m = 10.5 cm

Esercizio

Soluzione

Aggiungendo ad un’estremità della molla un oggetto di massa pari a 200 g si applica una forza

F = m g

quindi l’allungamento della molla risulta

x = F / k = mg / k

x = (0.2 kg 9.8 N kg^-1) / 160 N m^-1 = 0.012 m = 1.2 cm

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Problema

n. 27 , pag. M185 Walker

Due blocchi sono collegati da una fune, come mostrato in figura. La superficie liscia e inclinata forma un angolo di 35^o con il piano orizzontale. Il blocco sul piano inclinato (1) ha una massa di 5.7 kg. Trova il modulo e verso

dell’accelerazione del blocco (2) se la sua massa è 4.2 kg.

θ!

1

2

Problema da svolgere a casa

n. 27 , pag. M185 Walker

Due blocchi sono collegati da una fune, come mostrato in figura. La superficie liscia e inclinata forma un angolo di 35^o con il piano orizzontale. Il blocco sul piano inclinato (1) ha una massa di 5.7 kg. Trova il modulo e verso

dell’accelerazione del blocco (2) se la sua massa è 4.2 kg.

θ!

1

2

x y

a

a

T T

m₁g

m₂g N

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Soluzione n. 27 , pag. M185 Walker

Due blocchi sono collegati da una fune, come mostrato in figura. La superficie liscia e inclinata forma un angolo di 35^o con il piano orizzontale. Il blocco sul piano inclinato (1) ha una massa di 5.7 kg. Trova il modulo e verso dell’accelerazione del blocco (2) se la sua massa è 4.2 kg.

(1)x

- N sen θ + T cos θ = m

a cos θ

(2)y

T - m

g = - m

a

(1)y

N cos θ - m

g + T sen θ = m

a sen θ

2 - 2

1

1

2

0.92 ms

m m

) θ sen m

- (m

g

a =

= +

Esempio

F = 0

∑ ^

0 T

- T -

T

= 2mg 2T

T = =

0 w

-

T

= mg T

=

Uso di una carrucola per sollevare un secchio d’acqua da un pozzo

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Esercizio

Problema: Un blocco di massa m₁=20.0 kg scivola su un piano privo di attrito ed è collegato a un filo che passa su una puleggia e tiene sospesa una massa m₂=40.0 kg. Calcolare:

1.  L’accelerazione delle due masse

x y

a T Blocco m₁

x y

a T

Blocco m₂

m₂g

Condizioni a contorno T e a sono uguali per

entrambi i blocchi

2 - -2

2 1

2 6.54 ms

kg) 40.0

kg (20.0

) ms (9.81

kg) (40.0

m m

g

a m =

+

= ⋅

= +

a m T =

Blocco m₁

a m - g

m -

T

=

Blocco m₂

Soluzione esercizio

Problema: Un blocco di massa m₁=20.0 kg scivola su un piano privo di attrito ed è collegato a un filo che passa su una puleggia e tiene sospesa una massa m₂=40.0 kg. Calcolare:

2.  La tensione del filo

2 - -2

2 1

2 6.54 ms

kg) 40.0

kg (20.0

) ms (9.81

kg) (40.0

m m

g

a m =

+

= ⋅

= +

a m T =

Blocco m₁

a m - g m -

T

=

Blocco m₂

N 131 m g

m

m a m

m T

2 1

2 1

1 =

= +

=