Funzioni speciali

Funzioni speciali

antonino.polimeno@unipd.it

Indice

Funzioni speciali Integrali ellittici Funzione gamma Funzione dell’errore Funzioni di Bessel Polinomi ortogonali Polinomi di Legendre Polinomi di Hermite Polinomi di Laguerre Funzione delta di Dirac

M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (Dover, New York, 1972).

Funzioni speciali Integrali ellittici

I Questa lezione è dedicata al riassunto delleproprietà di alcune classi di funzioniche ritornano spesso nelle soluzioni di problemi della chimica fisica.

I Si tratta di un compendio molto breve, e senza pretese di completezza, che ha il solo scopo di fornire un ‘formulario’ allo studente.

Consideriamo gli integrali indefiniti I =

Z dxRh

x ,p P(x )i

dove R è una funzione razionale e P(x ) è un polinomio di terzo o quarto grado. Si dimostra che I è sempre riducibile ad una funzione elementare del tipo

I1 = Z

dx 1

p(1 − x²)(1 − k²x²) I2 =

Z dx

√1 − k²x²

√1 − x² I3 =

Z

dx 1

(1 + n²x²)p(1 − x²)(1 − k²x²)

Funzioni speciali Integrali ellittici

Gli integrali I_1,2,3sono rispettivamenteintegrali ellittici di prima, seconda e terza specie nella forma di Legendre. La quantità k è detta modulo degli integrali.

Altre espressioni utili sono le seguenti F (ψ, k ) = Rψ

0 d α√ ¹

(1−k²sin²α)

E (ψ, k ) = Rψ 0 d α

q

(1 − k²sin²α) D(ψ, k ) = F (ψ,k )−E (ψ,k )

k²

Π(ψ,n, k ) = Rψ

0 d α ¹

(1+n²sin²α)

√

(1−k²sin²α)

Gli integrali per ψ = π/2 si diconointegrali ellittici completi.

Funzioni speciali Funzione gamma

Definiamo la funzionegammasotto forma di integrale di Eulero:

Γ(z) = Z ∞

0

dtt^z−1e^−t

Per z = n + 1 (n intero) la funzione gamma coincide con il fattoriale di n:

Γ(n + 1) = n!

Vale la seguente espansione:

1

Γ(z) =ze^γzΠ^∞_n=1h

1 +z n

e^−z/ni

dove γ è la costante di Eulero:

γ =lim_m→∞

 1 +1

2 +1 3+1

4+ . . . + 1 m − ln m



=0.5772156649 . . . Di interesse è l’espansione per |z| → ∞ (formula di Stirling):

Γ(z) ∼ e^−zz^z−1/2√ 2π

 1 + 1

12z + 1

288z² − 139

51840z³ − 571

2488320z⁴ + . . .



Funzioni speciali Funzione dell’errore

Lafunzione dell’erroreè definita come:

erf(z) = 2

√π Z z

0

dte^−t2

La funzione complementare erfc(z) è 1 − erf(z). Alcune relazioni utili sono le seguenti:

dⁿ⁺¹

dzⁿ⁺¹erf(z) = (−1)ⁿ 2

√zH_n(z)e^−z2

erf(z) = 2

√z X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ⁺¹ n!(2n + 1)

√πze^z2erfc(z) ≈ 1 +X

n=1

(−1)ⁿ1 · 3 · . . . (2n − 1)

(2z²)ⁿ |z| → ∞ Z

dxe^{−(ax2+2bx +c)} = 1 2

√π

a e^{b2 −aca} erf

√

ax + b

√a



+ costante

Funzioni speciali Funzioni di Bessel

Sia ν un numero reale non-negativo. Lefunzioni di Besseldel primo tipo J±ν(z) e del secondo tipo Y±ν(z) verificano la seguente equazione differenziale:

z²d²w dz² +zdw

dz + (z²− ν²)w = 0

I Sono funzioni regolari, finite a z = 0; J±ν(z) ha un estremo superiore finito per <z → ∞.

I Le funzioni di Bessel modificate I±ν(z) e Kν(z) sono soluzioni dell’equazione differenziale

z²d²w dz² +zdw

dz − (z²+ ν²)w = 0 I±ν(z) tende ad un valore finito per z → 0.

I Le funzioni di Bessel sono utili p.es. per la soluzione di equazioni differenziali in problemi con unasimmetria cilindrica.

I Valgono le seguenti relazioni:

Jn(z) = 1 iⁿπ

Zπ

0

d θe^{iz cos θ}cos(nθ)

In(z) = 1 π

Zπ

0

d θe^{z cos θ}cos(nθ)

Funzioni speciali Polinomi ortogonali

I È data una funzione reale non negativa w (x ) ed un intervallo [a, b].

I Supponiamo che Z b

a

dxxⁿw (x ) esista per n naturale (0,1,2, . . .), e che sia positivo per n = 0.

I Allora esiste unasuccessione di polinomip₀(x ), p₁(x ), p₂(x ) etc.

determinata univocamente dalle condizioni:

1. pn(x ) è un polinomio di grado n; il coefficiente qndi xⁿin pn(x ) è positivo

2. ipolinomi pn(x ) sono ortogonalirispetto al prodotto scalare hf |gi =

Z b a

dxw (x )f (x )g(x ):

hpm|pni = δmnkm

dove k_mè la norma k_m= hp_m|p_mi.

Funzioni speciali Polinomi ortogonali

La successione costituisce un set di polinomi ortogonali su [a, b]

rispetto alla funzione peso w (x ). Valgono le seguenti relazioni generali

1. Relazione di Christoffel-Darboux X

k =0

np_k(x )p_k(y ) = qn

q_n+1

pn+1(x )pn(y ) − px(x )pn+1(y ) x − y

2. Relazione ricorsiva

pn+1(x ) = (anx + bn)pn(x ) − cnpn−1(x ) n ≥ 1

Funzioni speciali Polinomi di Legendre

Ipolinomi di Legendre P_n(x )sono definiti in [−1, 1].

I Verificano l’equazione differenziale:

(1 − x²)d²P_n(x )

dx² − 2xd Pn(x )

dx +n(n + 1)P_n(x ) = 0

I La funzione peso è w = 1, la norma è k_n=2/2n + 1.

I La relazione ricorsiva è:

(n + 1)P_n+1(x ) = (2n + 1)x P_n(x ) − nP_n−1(x ) dove P₀(x ) = 1, P₁(x ) = x .

Funzioni speciali Polinomi di Hermite

Ipolinomi di Hermite H_n(x )sono definiti in [−∞, ∞].

I Verificano l’equazione differenziale:

d²H_n(x )

dx² − 2xd H_n(x )

dx +2nH_n(x ) = 0

I La funzione peso è w = e^−x2, la norma è kn=√ π2ⁿn!.

I La relazione ricorsiva è:

H_n+1(x ) = 2nx Hn(x ) − 2nHn−1(x ) dove H0(x ) = 1, H1(x ) = 2x .

Funzioni speciali Polinomi di Laguerre

Ipolinomi di Laguerre Ln(x )sono definiti in [0, ∞].

I Verificano l’equazione differenziale:

xd²L_n(x )

dx² + (1 − x )d Ln(x )

dx +nLn(x ) = 0

I La funzione peso è w = e^−x, la norma è 1.

I La relazione ricorsiva è:

(n + 1)Ln+1(x ) = (2n + 1 − x )Ln(x ) − nLn−1(x ) dove L0(x ) = 1, L1(x ) = 1 − x .

Funzioni speciali Funzione delta di Dirac

I Per ogni funzione continua F (x ) vale che Z b

a

dxF (x )δ(x ) = F (0) se e solo se 0 è compreso nell intervallo [a, b].

I Valgono le seguentirappresentazioni analitiche della funzione δ(x ):

δ(x ) = lim

L→∞

sin xL πx δ(x ) = 1

2π Z ∞

−∞

dk exp(ikx ) δ(x ) = lim

a→0

1 π

a a²+x²

Funzioni speciali Funzione delta di Dirac

I Laderivata della funzione δ(x )è definibile ’indirettamente’.

I Il calcolo degli integrali contenenti δ⁰(x ) si effettua per parti, e ponendo δ(x ) = 0 per x 6= 0:

Z b a

δ⁰(x )F (x ) = −F⁰(0)

I Altre uguaglianze valide sono δ⁰(x ) = 1

π lim

L→∞

 L cos Lx

x −sin Lx x²



x δ⁰(x ) = −δ(x)