Iperbole Def

(1)

Iperbole

Def. Dicesi iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza della distanza da due punti fissi detti fuochi.

PF₁−PF₂ =2a

Indichiamo con F ed ₁ F i due fuochi e consideriamo come asse x la retta passante per essi e come ₂ asse y la retta ad essa perpendicolare e passante per il punto medio di F F . ₁ ₂

Detta 2c la loro distanza, i fuochi avranno coordinate F₁(−c; 0) ed F c₂( ; 0) Avremo quindi

(x c− )²+y² − (x c+ )²+y² =2a

Elevando al quadrato ambo i membri otteniamo

(x c− )²+y²+ +(x c)²+y²−2 (x c− )²+y²  (x c+ )²+y² =2a

x²+ −c² 2cx+2y²+ +x² 2cx c+ −² 2 (x c− )²+y²  (x c+ )²+y² =4a² 2x²+2y²+2c²−2 (x c− )²+y²  (x+c)²+y² =4a²

x²+y²+ −c² (x c− )²+y²  (x+c)²+y² =2a² x²+y²+ −c² 2a² = (x c− )²+y²  (x c+ )²+y² x²+y²+ −c² 2a² = (x c− )²+y²  (x c+ )²+y² Elevando al quadrato avremo

x⁴+x y² ²+c x² ²−2a x² ²+x y² ²+y⁴+c y² ²−2a y² ²+c x² ²+c y² ² + −c⁴ 2a c^{2 2}−2a x² ²− ⁻²^{a y}² ²⁻²^{a c}² ²⁺⁴^a⁴ ⁼

(

^x²⁻²^cx^{+ +}^c² ^y²

)(

^x²⁺²^cx^{+ +}^c² ^y²

)

x⁴+x y² ²+c x² ²−2a x² ²+x y² ²+y⁴+c y² ²−2a y² ²+c x² ²+c y² ² + −c⁴ 2a c^{2 2}−2a x² ²− −2a y² ²−2a c² ²+4a⁴ =x⁴+2cx³+c x² ²+x y² ²−2cx³−4c x² ²−2c x³ −2cxy²+

+c x² ²+2c x c³ + +⁴ c y² ²+x y² ²+2cxy²+c y² ²+y⁴

(2)

−4a x² ²−4a y² ²+4c x² ² =4a c² ²−4a⁴

Essendo 2c>2a (in un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due), poniamo c²−a² =b²

Avremo quindi

(

^c²⁻^a²

)

^x²⁻^{a y}² ² ⁼^a²

(

^c²⁻^a²

)

b x² ²−a y² ² =a b² ²

dividendo per a b² ² otteniamo

2 2

2 2 1

x y

a −b = (1) che è l’equazione canonica dell’iperbole.

fig.1 Per x=0

2

2 1

y

b = − non ammette soluzioni, perciò la curva non interseca l’asse y Per y=0

2

2 1

x

a = x² =a² x= ±a

la curva interseca l’asse x nei punti A₁(−a; 0) A a₂( ; 0) che vengono chiamati vertici dell’iperbole.

L’asse x prende il nome di asse trasverso, mentre l’asse y prende il nome di asse non trasverso Osservazione: Risolvendo l’equazione rispetto ad y otteniamo

y ^b x² a²

= ±a − dovrà quindi essere

x²−a² ≥0 e quindi x≤ −a ∨ x≥a

per cui la curva sta al di fuori della striscia delimitata dalle rette x= −a ed x=a

(3)

Essendo b= ± c²−a² , tracciando le rette parallele all’asse x di equazione y= ±b e le rette di equazione x= ±a otteniamo un rettangolo di vertici

1( ; )

C a b C₂(−a b; ) C₃(− −a; b) C a₄( ;−b)

Per la simmetria tra i punti C a b e ₁( ; ) C₃(− −a; b) ed i punti C₂(−a b; ) e C a₄( ;−b) rispetto all’origine, le rette C C e ₁ ₃ C C hanno equazioni ₂ ₄

y ^bx

=a e y ^bx

= −a

Queste rette vengono chiamate asintoti dell’iperbole perché risultano tangenti alla curva nei suoi punti impropri.

Infatti consideriamo un generico punto P dell’iperbole nel primo quadrante ed il suo corrispondente P’ sulla retta y ^bx

= a . Essendo ;b ² ²

P x x a

a

 − 

 

  e ' ;b

P x x a

 

 

 

La loro distanza sarà

^{d P P}^{( ,} ^')⁼ _a^b ^x⁻_a^b ^x²⁻^a² ⁼ ^b_a

(

^x⁻ ^x²⁻^a²

)

quando x→+∞ si ha ^x^lim^→+∞⁼ ^b_a

(

^x⁻ ^x²⁻^a²

)

Razionalizzando il numeratore otteniamo

^x^lim→+∞ ^b_a

(

^x ^x² ^a²

)

^x^lim→+∞ _a^b _x^x² ^x_x²² ^a_a²² ^x^lim→+∞ _a^b _x ^a_x²² _a² ⁰

 − +   

= − − =   =   =

+ − + −

   

Definiamo eccentricità dell’iperbole il rapporto e ^c

=a Essendo c>a si ha che e>1

Iperbole equilatera

Se a=b l’equazione (1) diviene

x²−y² =a² (2)

che è l’equazione dell’iperbole equilatera, i cui asintoti hanno equazioni y=x y= −x

e sono rispettivamente le bisettrici del primo e terzo quadrante e del secondo e quarto quadrante Iperbole equilatera riferita agli asintoti

Se operiamo una rotazione degli assi x e y intorno all’origine O, di ampiezza α =45^D, in senso orario, gli assi andranno a coincidere con gli asintoti.

Ogni punto dell’iperbole verrà quindi sottoposto alla trasformazione

( )

2 : 2

2 2

x X Y

T

y Y X

 = +



 = −



sostituendo nella x²−y² =a² otteniamo

(4)

¹( )² ¹( )² ² 2 X +Y −2 Y−X =a

(

² ² ² ²

)

²

1 2 2

2 X +Y + XY−Y −X + XY =a 2XY =a² e quindi

2

XY =a ponendo a² =k otteniamo XY =k

e tornando alle coordinate correnti possiamo scrivere

xy=k (*)

che rappresenta l’equazione della proporzionalità inversa.

Se k >0 l’iperbole appartiene al 1° e 3° quadrante (i punti hanno coordinate concordi) Se k<0 l’iperbole appartiene al 2° e 4° quadrante (i punti hanno coordinate discordi)

Iperbole equilatera traslata

Dimostriamo che l’equazione y ^{ax b}

cx d

= + +

rappresenta un’iperbole equilatera traslata

Eseguendo una traslazione degli assi di vettore v XG( −p Y; −q)

l’equazione (*) diventa (X −p Y)( − =q) k

XY−qX −pY+pq=k

Y X( −p)= +k qX −pq e quindi

( )

k qX pq

Y X p

+ −

= −

ponendo p ^d

= −c q ^a

= c k pq ^b

− = c avremo

a b

c X c

Y d

X c

= + + Y ^aX ^b

cX d

= + +

che in generale si può scrivere y ^{ax b}

cx d

= +

+ (3)

Il centro di simmetria è O p q'( ; ) e quindi ' d a;

O c c

− 

 

 .

Gli asintoti sono le rette

y q y ^a

= ⇔ = c

x p x ^d

= ⇔ = −c

Osservazioni

(5)

La (3) non rappresenta un’iperbole nei seguenti casi 1. se c=0 e d ≠0 si ha

y ^a x ^b

d d

= + che rappresenta una retta 2. Se c≠0 e

a b 0

c d = cioè ad =bc

possiamo scrivere ^a ^b h

c = =d ovvero a=hc b=hd otteniamo

y ^hcx ^hd ^{h cx}⁽ ^d⁾

cx d cx d

+ +

= =

+ + e quindi

y=h

che rappresenta una retta parallela all’asse x.