Urti tra due punti materiali

A. Romero Dinamica VII - Urti 1

Urti tra due punti materiali

URTO: evento isolato nel quale una forza relativamente intensa agisce per un tempo relativamente breve su due o più corpi in contatto tra loro

r

risultato di un contatto fisico

r

risultato di una interazione tra particelle

m

m

F21

r F12

r

He4

++

p +

meteor-crater 1200 m

α α

α α Ν Ν Ν Ν

Urti su scale diverse Le forze che, come nel caso di un urto

agiscono per un tempo breve rispetto al tempo di osservazione

sono chiamate forza impulsive

A. Romero Dinamica VII - Urti 2

Urti tra due punti materiali

L’oggetto L esercita su R una forza F(t) L’oggetto R esercita su L forza –F(t)

F(t) può avere un’intensità che varia nel tempo

Nelle figure sono rappresentati due possibili andamenti di F(t).

L’azione della forza si esplica nell’intervallo τ τ τ τ =t

-t

Le forze impulsive che si manifestano durante un urto sono interne al sistema dei due punti materiali interagenti In assenza di forze esterne si verifica durante l’urto la conservazione della quantità di moto totale

τ

τ

in , 2 2 in

, 1 1

in

m v m v

P v r r

+

= m

v

m

v

P

r v

r + =

=

Durante l’urto la quantità di moto del centro di massa rimane invariata:

CM 2

1

m ) v

m (

P v r

+

=

= P

v

te tan cos P

P

=

=

= v v

Urti tra due punti materiali

f

( )

i i

t p

f i

t p

J = ∫ F t dt = ∫ dp = p − p

r r

r r r r r

Il moto del centro di massa non viene alterato dall’urto. Variano invece le quantità di moto di ciascun punto materiale per l’effetto dell’impulso della forza di interazione

( )

t

t 1 ,

2 t dt p

F

2

1

v v

∆

=

=

∫

1 , 2 in , 1 1 fin

, 1

1

v m v J

m

r r

r − =

( )

t 2 ,

1 t dt p

F

2

1

v v

∆

=

=

∫

2 , 1 in , 2 2 fin

, 2

2

v m v J

m

r r

r − =

1 , 2 2

,

1

J

J

r r = −

1 , 2 2

,

1

F

F

v v = −

Dato che : Le variazioni di quantità di moto sono uguali ed

opposte

J

e J

, prima considerati, per le forze interne impulsive che

∫ ( )

=

∆

1

t

t ) E

(

t dt F

P r v

τ

= F

v

∫ ( )

=

t

dt t F

v

J

r = F

τ

r

La conservazione della quantità di moto totale è possibile in presenza di forze esterne?

Si se la durata dell’impulso ττττ è sufficientemente piccola e le forze esterne non sono impulsive.

Infatti la variazione della quantità di moto totale dovuta alle forze esterne:

A. Romero Dinamica VII - Urti 4

Urti tra due punti materiali

∫ ( )

=

1

t

t

dt t F

J v

r

τ

= F

r

Conservazione della quantità di moto

F

: valor medio della forza impulsiva nell’intervallo τ

La forza esterna, se non è impulsiva, non modifica i singoli impulsi durante l’urto e quindi rimane vera l’uguaglianza J

=-J

, e valida la conservazione della quantità di moto totale

τ

τ τ

Dato che J assume un valore finito e che τ è molto breve, F

può assumere valori estremamente grandi, rispetto a cui F

è certamente trascurabile

in

in

r P

L

r r r = ×

Nel caso dell’urto il principio di conservazione della quantità di moto ed il principio di conservazione del momento angolare sono equivalenti

Nel caso dell’urto la conservazione del momento angolare non aggiunge alcuna informazione Infatti: durante l’urto r

=r

=r e quindi se Pin =Pfin

fin

fin

r P

L

r r r = ×

=

Urti tra due punti materiali

A priori non è noto se le forze interne sono conservative. Non si può assumere la conservazione dell’energia meccanica del sistema durante l’urto nè che l’Energia cinetica si conservi

Energia

Dato che la posizione dei punti non varia nell’urto, eventuali energie potenziali non variano nell’urto e quindi: ∆ ∆ ∆ ∆ E

=∆ ∆ ∆ ∆ E

L’energia cinetica del sistema può essere espressa utilizzando il secondo teorema di Konig:

(

)

k

m m v E '

2

E = 1 + ⋅ +

Energia cinetica del centro di massa: non varia se vale la conservazione della quantità di moto

Energia cinetica dei due punti rispetto al sistema del centro di massa.

2 2 2 2

1 1

k

m v '

2 ' 1 v 2 m

' 1

E = + Può rimanere costante o variare a seconda che le forze

interne siano conservative o non siano conservative

A. Romero Dinamica VII - Urti 6

Sistema del laboratorio e sistema del centro di massa

Sistemi di riferimento in cui può essere studiato l’urto:

•Sistema del laboratorio (sistema inerziale)

•Sistema del centro di massa

Legame tra le velocità nei due sistemi, in qualsiasi istante:

CM 1

1

v ' v

v = + v

= v '

+ v

Come già dimostrato, nel sistema del centro di massa, la quantità di moto totale è nulla:

fin , 2 2 fin

, 1 1 in

, 2 2 in

,

1

v '

m v ' m v ' m v '

m r r r r

+

=

+ = 0

in , 2 in

,

1

p '

'

p r r

−

=

fin , 2 fin

,

1

p '

'

p r r

−

=

Dal centro di massa si vedono i punti arrivare verso il centro di massa con quantità di moto uguali in modulo ed opposte in verso. I punti si urtano nella posizione occupata dal centro di massa e ripartono dopo l’urto con quantità di moto ancora uguali in modulo ed opposte in verso.

In generale per ogni punto : p r '

p r '

≠

Urto completamente anelastico

L’urto si chiama completamente anelastico quando i due punti restano attaccati dopo l’urto, formando un unico corpo puntiforme di massa m

+m

' v ) m m

( v m v

m

r

r

r +

=

+ ( m

m

) v r

+

= ( m m )

v m v

v m

2 1

2 2 1

1

CM

+

= +

r r r

Le variazioni di quantità di moto dei singoli punti sono: p r

m

v r

m

v r

−

=

∆

2 2 CM

2

2

m v m v

p r r r

−

=

∆

Si verifica dalla relazione sopra, che queste due variazioni sono uguali ed opposte:

2 1 2

1

v m v

m r r

+ ( m

m

) v r

+

= ( m

v r

m

v r

) ( m

v r

m

v r

)

−

−

=

−

Se v

e v

sono le velocità dei due punti prima dell’urto e v’ la velocità comune immediatamente dopo l’urto si ha:

Subito dopo l’urto i due punti si muovono con la velocità che aveva il

centro di massa un istante prima dell’urto (v

resta invariata nell’urto)

Urto completamente anelastico

Energia cinetica prima dell’urto:

Applicando il teorema di Konig

Energia cinetica

2 2 2 2

1 1 in

,

k

m v

2 v 1

2 m

E = 1 + ( m

m

) v

E '

2

1 + +

=

Energia cinetica nel sistema del centro di massa

Energia cinetica dopo l’urto:

2 CM 2

1 fin

,

k

( m m ) v

2

E = 1 + < E

In un urto completamente anelastico, l’energia totale diminuisce .

L’energia che viene assorbita è E’

e corrisponde all’energia cinetica rispetto al centro di massa che i punti hanno prima dell’urto :

in , k fin

, k

k E E

E = −

∆ =−E'_{k 1 1}² m₂v²₂

2 v 1 2m

1 −

2 −

CM 2

1 m )v

m 2(

1 +

=

NOTA: Dove finisce l’energia persa? .

I due corpi durante l’urto si deformano in modo permanente e restano compenetrati. Il

lavoro compiuto, a spese dell’energia cinetica iniziale , per fare avvenire la deformazione non

viene più recuperato, ovvero le forze interne che si sviluppano non sono conservative .

Esempio

Un proiettile di massa m

=10g si muove orizzontalmente con v=400ms

e penetra in un blocco di massa m

=390g inizialmente in quiete su una superficie priva di attrito.Quali sono le velocità finali del proiettile e del blocco?

1 3

1 4 10 gms

ms g 400

10⋅ ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻

=

(

)

,

fin m m v

P = +

1 x

,

fin

10 ms

v =

Sol.:

x , in p x

,

in m v

P = =4kg⋅ms⁻¹

x o

mp ^b

m

vvin

y

mp

mb

vvfin

Dopo l’urto

Quantità di moto totale iniziale

Quantità di moto totale finale

x , fin x

,

in

P

P = 4 kg ⋅ ms

= 0 . 4 kg ⋅ v

A. Romero Dinamica VII - Urti 10

Esempio - continuazione

NOTA 1:

2

K_i = 1 _{p in}² _,x =

(

)

2

K_f =1 _p + _{b fin}² _,x =

L’ energia non si conserva: calore, deformazione.

Qual è la variazione di quantità di moto del proiettile e del blocco?

1 x

,

fin 10ms

v = ⁻

in , p fin , p

p p p

P = −

∆

Blocco: ∆^Pb =

(

) (

)

^{( )}

Opposti!

x o

mp ^b

m

vvin

y

mp

mb

vfin

v

Dopo l’urto

NOTA 2:

(

)(

) (

)(

)

= =−3.9Ns

Proiettile:

Ns 9 . +3

=

Esempio: pendolo balistico

Dispositivo per determinare la velocità dei proiettili

conservazione della quantità di moto

Una pallottola di massa m

, che viaggia orizzontalmente con velocità v

urta il pendolo di massa m

rimanendovi conficcata. Nessuna forza esterna agisce sul sistema.

m1

m2

h

=0 vrf

per m_2:

• v_2,in=0

• v del sistema subito dopo l’urto: v_2,fin = v_fin

per m_1:

• v_1,in=v₁

• v del sistema subito dopo l’urto: v_1,fin = v_fin

x , fin x

,

in

P

P =

fin 2 1

in , 1

1v (m m )v

m = + ^1,in

2 1

1

fin v

m m

v m

= +

in ,

vr1

A. Romero Dinamica VII - Urti 12

Esempio: pendolo balistico - continuazione

m1 vr_1,in ^m2

h

=0 vrf

v del sistema subito dopo l’urto: v

2 1

1

fin v

m m v m

= +

Conservazione dell’ energia meccanica

Terminata la collisione, il pendolo con la pallottola inizia ad oscillare raggiungendo un’altezza h, misurata rispetto alla posizione di equilibrio, tale che l’energia potenziale eguagli l’energia cinetica del sistema subito dopo l’urto

(

) ( ^m

^m

) ^v

2 gh 1 m

m + = +

(

)

2

1

v

m m

2

m

= +

gh m 2

m v m

1 2 1

in , 1

= +

Esercizio: urto completamente anelastico

Sol.:

Un blocco di m

=2 kg parte da fermo, senza attrito, lungo un piano inclinato di 22° rispetto al piano orizzontale dall’altezza di 0,65 m. All’arrivo, sul piano a quota zero, urta, attaccandovisi, un blocco di massa m

=3,5 kg. I due blocchi congiunti slittano per una distanza di 0,57m sul piano orizzontale fino ad arrestarsi. Qual è il coefficiente di attrito della superficie orizzontale?

2 1 1

1 m v

2 gh 1

m =

fin 2 1

1

1v (m m )v

m = + ^{vfin =} _m ^m₊¹_m ^v1

22°

h=0,65 m

0,57 m 2kg

3,5 kg

Moto del blocco di 2 kg Per trovare la velocità finale di m

, prima dell’urto con m

applichiamo la conservazione dell’energia

gh 2

v₁ = = 2⋅9,8⋅0,65

s 57m ,

=3

Subito dopo l’urto i due punti blocchi si muovono insieme con la velocità (v

):

57 , 2 3

= m

3 ,

=1

m

3

,

1

v

=

A. Romero Dinamica VII - Urti 14

Esercizio: continuazione

22°

h=0,65 m

l

2kg

3,5 kg

Moto dei due blocchi

Utilizzando il legame tra variazione dell’energia cinetica e lavoro

Dall’istante dopo l’urto i due blocchi si muovono sul piano orizzontale con velocità iniziale v

e decelerazione costante data dall’attrito dinamico:

s 3 m , 1 v

=

l g ) m m

( v

) m m

2 ( 1

2 1

k 2

f 2

1

+ = µ + ⋅

at

k

W

∆ E =

g 2 v

k

= l

µ = ^{0 , 15}

Esercizio: continuazione Utilizzo le equazioni del moto

m a=f^k

22°

h=0,65 m

l

2kg

3,5 kg

Moto dei due blocchi

Utilizzando le equazioni del moto uniformemente decelerato:

Dall’istante dopo l’urto i due blocchi si muovono sul piano orizzontale con velocità iniziale v

e decelerazione costante data dall’attrito dinamico:

s 3 m , 1 v

=

m

kmg

=µ a=µ_kg

2

f at

2 t 1 v ) t (

x = −

at v

) t (

v =

−

Per x(t)= l _{, v(t)=0}

(

)

f g t

2 t 1

v − µ

= l

( g ) t v

0 =

− µ

g t v

k f

= µ

( )

k f k

k f

f g

g v 2

1 g

v v 



 



 µ µ

−



 





= µ l

g 2

v

k 2 f

= µ l

g 2 v

k

= l

µ = 0 , 15

16

Urto elastico

Si definisce urto elastico, un urto durante il quale si conserva anche l’energia cinetica del sistema

Le forze interne sono conservative .

I due corpi che urtano subiscono, durante l’urto, delle deformazioni elastiche, riprendendo la configurazione iniziale subito dopo l’urto.

Nell’urto elastico sono dunque valide le equazioni:

Sistema di riferimento del laboratorio

Sistema di riferimento del centro di massa

in , k fin

,

k

E

E =

in

fin

P

P

r

r =

Urto elastico

Caso unidimesionale

I due corpi si muovono prima e dopo l’urto elastico lungo la stessa direzione.

possiamo ricavare il valore delle due velocità finali incognite:

Sistema del laboratorio Sistema del centro di massa

in , k fin ,

k E

E =

Supponendo di conoscere le masse e le velocità iniziali dei due

corpi che urtano, attraverso le due equazioni di conservazione:

fin in P P

r

r = ⇒ m1vr1in m2vr2in m1vr1fin m2vr2fin

+

=

+ (m₁ m₂)vr_CM

+

=

in , k fin

,

k

E

E =

2 fin , 1 1 2

in , i 2 2 2

in 1

1 m v

2 v 1

2m v 1

2m v 1

2m

1 + = +

⇒

2 1

in , 2 2 in

, 1 2 1

fin ,

1

m m

v m 2 v

) m m

v (

+ +

= −

2 1

in , 2 1 2

in , 1 1 fin

,

2

m m

v ) m m

( v

m v 2

+

−

= +

18

Urto elastico Caso unidimesionale

Sistema del centro di massa

2 1

in , 2 2 in

, 1 2 1

fin ,

1

m m

v m 2 v

) m m

v (

+ +

= −

2 1

in , 2 1 2

in , 1 1 fin

,

2

m m

v ) m m

( v

m v 2

+

−

= +

Attenzione ai segni delle velocità! Prendendo come riferimento il verso di v

, allora v

va considerata con segno positivo se è concorde a v

, o negativo se è discorde.

Segno delle velocità finali: - positivo ⇒ velocità concorde a v

- negativo ⇒ velocità discorde a v

Nel sistema del centro di massa per l’urto elastico si ricava:

Sistema del laboratorio

in , 1 fin

,

1

v

'

v r r

−

=

in , 2 fin

,

2

v

'

v r r

−

=

Velocità e quantità di moto di ciascun punto rimangono

invariate in modulo, cambiano solo il verso

Esempio – urto elastico

Un neutrone di massa m

urta frontalmente, in modo elastico un bersaglio costituito da un nucleo atomico di massa m

inizialmente fermo. Qual è la diminuzione percentuale dell’energia del neutrone? Fare il calcolo nei casi in cui il nucleo bersaglio sia:

1) Piombo; (massa atomica: A=206) 2) Carbonio; (massa atomica: A=12) 3) Idrogeno. (massa atomica: A=1)

2 in , 1 1 in

, 1 , k in ,

k m v

2 E 1

E = = E_k,2,fin =E_k,1,in −E_k,1,fin

A= 206: m

=206m

in ,

vr1

Sol.:

dove in questo caso v

=0

( _{1 2})²

2 i , 1 2 1 2

fin , 2 ,

k m m

v m m 4

2 E 1

= +

(

)

in , 1 , k

fin , 2 , k

m m

m m 4 E

E

= +

2 1

in , 2 2 2

in , 1 1 fin

,

2 m m

v ) m m

( v

m v 2

+

−

= + ^1,in

2 1

1 fin

,

2 v

m m

m

v 2 



 





= +

2 fin , 2 2 fin

, 2 ,

k m v

2

E =1 (m₁ ¹m₂²)^{2 Ek,1,in}

m m 4

= +

Caso: 1)

(

)

fin , 2 , k

m m

m m 4 E

E

= +

(

)

206

= 4⋅ =0,02

2 fin , 2 2v 2m

=1

% 2 A= 12: m

=12m

Caso: 2)

(

)

fin , 2 , k

m m

m m 4 E

E

= +

( )

= 4⋅ =0,28

28 %

A= 1: m =1m

Caso: 3)

E = = 4⋅1 =1

100 %

A. Romero Dinamica VII - Urti 20

Urti tra punti materiali e corpi rigidi e urti tra corpi rigidi

Riassunto per la risoluzione degli esercizi:

Se urto è elastico Conservazione dell’energia cinetica

Se agiscono solo forze interne o

quelle esterne non sono impulsive Conservazione della quantità di moto totale Se esiste un vincolo che tiene

fermo un punto del corpo rigido

Esiste una forza esterna di tipo impulsivo

La quantità di moto non si conserva

Se agiscono solo forze interne o quelle esterne non sono impulsive

Conservazione del momento angolare L, indipendentemente dalla scelta del polo O Se agiscono forze esterne, il cui momento

M è nullo rispetto ad un dato polo

Conservazione del momento angolare L calcolato rispetto allo stesso polo O

L’effetto complessivo nel brevissimo tempo di durata dell’urto è dato dall’impulso della forza e dall’impulso angolare:

Quando il corpo urtato è vincolato , il sistema di vincoli può esplicitare, durante l’urto, un sistema di forze di risultante R e un momento risultante M.

= ∫ R dt J

r r

= ∫

× J M dt r

r

r r

Esercizio – urti tra punti materiali e corpo rigido

Una sbarra omogenea di lunghezza L e massa M, è sospesa nel punto O ed è libera di ruotare nel piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per tale punto. Inizialmente la sbarra è inclinata di un angolo θ₀, rispetto alla direzione verticale (vedi figura) e da questa posizione ad un dato istante viene lasciata cadere.

Raggiunta la posizione verticale essa colpisce, una massa puntiforme m appoggiata sul piano.

Nell’ipotesi in cui l’asta ruoti attorni ad O senza attrito e che l’urto con la massa m sia completamente anelastico, calcolare:

•A.Il modulo della velocità angolare ωωωω₀con cui la sbarra urta la massa m appoggiata sul piano.

•B. L’angolo θθθθ_fin, rispetto alla direzione verticale, del quale si sposta la sbarra, in seguito all’urto con la massa puntiforme.

θ

A. Romero Dinamica VII - Urti 22

Esercizio – urti tra punti materiali e corpo rigido

Sol.:

θθθθ₀₀₀₀

Il moto della sbarra può essere schematizzato in 3 fasi:

1. fase di discesa della sbarra

2. urto completamente anelastico con m 3. risalita del sistema sbarra + massa

Fase 1: E’ possibile applicare la conservazione dell’energia meccanica per la sbarra tra l’istante iniziale in cui la sbarra è ferma a θ

rispetto alla direzione verticale e l’istante finale immediatamente precedente all’urto con la massa m:

fin , p fin

, k in

, p in

,

k

E E E

E + = +

L h



 



 − θ

= cos ₀

2 L L h

2 Mg L 2I

1 ω₂ +

= 



 



 − cosθ₀ 2

L L

Mg 2

Mg L 2 I

1 2

0

0ω +

=

2

0 ML

3 I =1



 



 − cosθ₀ 2

L L

Mg 2

Mg L 3ML

1 2

1 2

0

2 ω +



 



=  ₀

( 1 cos

)

L g

3 − θ

=

ω

Esercizio – urti tra punti materiali e corpo rigido

Sol. - continuazione:

Fase 2: Durante l’urto si ha la CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE TOTALE del sistema barra+massa rispetto al polo O:

) m sbarra (

L ) m ( L ) sbarra (

L

+

=

+

0 I

ω

+

θθθθ₀₀₀₀

L h

' ) mL I

(

+

ω

=

2 0 2

2

mL 3 ML

1

3 ML 1

' ω

= + ω

2

0 ML

3 I =1

A. Romero Dinamica VII - Urti 24 θθθθ₀₀₀₀

L h

Esercizio – urti tra punti materiali e corpo rigido

Sol. - continuazione:

Fase 3: Durante la risalita del sistema sbarra + m si ha la CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

) m sbarra (

E ) m sbarra (

E ) m sbarra (

E ) m sbarra (

E

+ +

+ =

+ +

+

( )

2 Mg L '

mL 2 I

1 _{2 2}

0 + ω +

cos )

2 L L ( Mg )

cos L L ( mg

0 + − θ

+ − θ

=

( )

gL 2 m

M

' mL 2 I

1 ) cos

1 (

2 2 0

fin

 

 



 +

ω

= + θ

−

θθθθ_fin