2006/07 Prova Intermedia Dicembre 06-Compito  1) Disegnare il grafico della funzione , determinandone log 0 B œ &#34

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COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2006/07 Prova Intermedia Dicembre 06-Compito 

1) Disegnare il grafico della funzione , determinandone

log 0 B œ

"

B À B  !

B À ! Ÿ B Ÿ "

B  " À "  B ÚÝ

ÛÝ Ük k gli eventuali punti di discontinuità e la loro specie. #

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

cos log B

log .

B  "  B #  B

BÈ à $  B

Œ

log

3) Data 0 B œ / , si determini la funzione composta J B œ 0 #B  0 B e di questa si 0 $B

B

determinino poi le possibili espressioni dell'inversa.

4) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ c   o Ê ‚ ƒ e dÍ sapendo che la proposizione è sempre falsa mentre la proposi- zione è sempre vera.ƒ

5) Determinare il campo di esistenza della funzione 0 B œlogB  B e stabilire B  $B  #^#

se è un insieme aperto, chiuso o altro, e trovare poi tutti i suoi punti di frontiera.

6) Date le funzioni 0 B œ B  5sen^#B e 1 B œ 5 B sen^#B, si determini, per B Ä !, per quali valori del parametro esse risultano asintoticamente equivalenti, o quando una ri-5 sulta trascurabile rispetto all'altra.

7) Disegnare un possibile grafico per una funzione 0 B sapendo che:

a) ha per asintoto orizzontale sulla sinistra la retta C œ  " e per asintoto obliquo sulla destra la retta C œ #B  ";

b) ha un punto di discontinuità di I specie in B œ !;

c) ha un punto di discontinuità di II specie infinita in B œ $.

Prova Intermedia Dicembre 06-Compito 

1) Disegnare il grafico della funzione 0 B œ log , determinandone gli

#  " À B Ÿ ! B À !  B  "

B  " À " Ÿ B Ú

ÛÜ k k

B

"

#

eventuali punti di discontinuità e la loro specie.

lim lim

BÄ!

# #

BÄ∞ #

sen arctg B

logB  B "  B  B .

"  B à Œ"  B  #B

3) Data 0 B œlog , si determini la funzione composta B J B œ 0 #B  0 B e di questa 0 $B

si determini poi l'espressione dell'inversa.

4) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ c Í o ‚Íƒ dÊ   e sapendo che le proposizioni e sono sempre vere.  5) Determinare il campo di esistenza della funzione 0 B œ B  "  B  " e stabilire

B  #B

È #

se è un insieme aperto, chiuso o altro, e trovare poi tutti i suoi punti di frontiera.

(2)

6) Date le funzioni 0 B œ B  5 B^# e 1 B œ 5 B  B^#, si determini, per B Ä  ∞, per quali valori del parametro esse risultano asintoticamente equivalenti, o quando una risulta5 trascurabile rispetto all'altra.

a) ;lim

BÄ∞0 B œ  ∞

b) ha un asintoto obliquo sulla destra di equazione C œ $  #B; c) ha un punto di discontinuità di I specie in B œ !.

Prova Intermedia Dicembre 06-Compito ‚

1) Disegnare il grafico della funzione , determinan-

log 0 B œ

B  " À B   "

B À  " Ÿ B Ÿ "

B  " À "  B Ú

ÛÜk k

#

done gli eventuali punti di discontinuità e la loro specie.

lim lim

BÄ!

#

B B BÄ∞ #

È BB

"  B  B  " Œ "  B

$  # à "  B  B .

sen

3) Data 0 B œ / , si determini la funzione composta J B œ 0 B  " e di que- 0 #B  0 B  "

B

sta si determini poi l'espressione dell'inversa.

4) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ c nonÊ o ‚Ênon ƒ dÊ sapendo che la proposizione è sempre vera mentre la proposizione è sempre falsa.‚

5) Determinare il campo di esistenza della funzione 0 B œlog " log B  "

B  $B  #

# $ #

e stabilire se è un insieme aperto, chiuso o altro, e trovare poi tutti i suoi punti di frontiera.

6) Date le funzioni 0 B œ B  5^# log "  B e 1 B œ 5 B ^# log "  B , si determini, per B Ä !, per quali valori del parametro esse risultano asintoticamente equivalenti, o quando5 una risulta trascurabile rispetto all'altra.

a) ha per asintoto obliquo sulla sinistra la retta C œ B  &; b) ha un punto di discontinuità di II specie infinita in B œ !;

c) .lim

BÄ∞0 B œ "

Prova Intermedia Dicembre 06-Compito ƒ

1) Disegnare il grafico della funzione 0 B œ tg , determinandone gli

$ À B Ÿ !

B À !  B 

B  " À Ÿ B Ú

ÛÜ k k

B

1 1

eventuali punti di discontinuità e la loro specie.

lim lim

BÄ!

#

# BÄ∞

"B

log sen

sen Œ cos .

"  B  B "  B  B

B  B à #  B

3) Data 0 B œ B , si determini la funzione composta J B œ 0 B  "  0 B  " e di 0 #B

#

questa si determinino poi le possibili espressioni dell'inversa.

4) Date le quattro proposizioni , , e si costruisca la tavola di verità della proposizione:  ‚ ƒ

(3)

c  e non  Ê non o ‚ ƒ dÍ  ƒ o sapendo che le proposizioni e sono sempre ‚ false.

5) Determinare il campo di esistenza della funzione 0 B œlog B  " È(B  B  "# e

# #

stabilire se è un insieme aperto, chiuso o altro, e trovare poi tutti i suoi punti di frontiera.

6) Date le funzioni 0 B œ #  5 $^B ^B e 1 B œ 5 #  $^B ^B, si determini, per B Ä  ∞, per quali valori del parametro esse risultano asintoticamente equivalenti, o quando una risulta5 trascurabile rispetto all'altra.

a) ha per asintoto obliquo sulla destra e sulla sinistra la retta C œ B;

b) ;lim

BÄ!0 B œ  ∞

c) ha un punto di discontinuità di I specie in B œ #. Gennaio 07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione log . 0 B œ "  logB

"  # B

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: ; cos sen .

lim lim cos

BÄ∞

B

BÄ! #

Œ$  B "  B

#  B "  B

3) Date le matrici œ B " e œ C " determinare sotto quali condizioni ri-

" B " C

ºº ^" _#ºº ºº ^" _#ºº sulta vero che  † œ † .

4) Data la funzione 0 Bß C œ B  BC  C  #B  C^# ^# , dopo aver determinato la natura del suo punto stazionario si scriva, in quello stesso punto, l'espressione del polinomio di Taylor di II grado in forma vettoriale-matriciale.

5) Determinare se esiste ( d .

!

∞

#

B  "

B  #B  & B

6) Determinare il valore del parametro per il quale la retta tangente nel punto di flesso della5 funzione 0 B œ 5log B ha equazione C œ #B  ".

/

#

7) Determinare la relazione insiemistica che sussiste tra l'insieme Ï  ‚Ï e l'insieme

 Ï Ï‚. Sotto quali condizioni i due insiemi coincidono ? 8) Disegnare un possibile grafico per una funzione 0 B sapendo che:

a) essa è continua e derivabile a B −‘ eccetto che nel punto B œ ! dove presenta una discontinuità di I specie;

b) lim e ;lim

BÄ∞0 B œ  ∞ BÄ∞0 B œ  "

c) essa non è monotòna per B  ! mentre è monotòna e convessa per B  !.

9) Data 0 B œ 7 B  5 B  ", determinare, per B Ä  ∞, al variare dei parametri e7 5 B  #B  "

$ #

#

5, quando risulta 0 B œ 9 B e quando risulta 0 B µ B.

10) Date 0 B œ /^B e 1 B œ #B, determinare dove risulta invertibile nonchè le possibili e- spressioni dell'inversa per la funzione composta J B œ 0 1 B  1 0 B .

Febbraio 1-07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^$B $ /^#B.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: ; log .

lim lim

BÄ∞

B"

BÄ!

#

Œ "  B "  B  B#

"  #B B  B

(4)

3) Determinare tutti gli asintoti della funzione 0 B œ #/  ". /  "

B B

4) Calcolare ( d e stabilire se il valore trovato rappresenta un'area.

!

$ $B #B

log

/  $ / B

5) Disegnare un possibile grafico per una funzione 0 B che soddisfa alle seguenti definizioni di limite:

a) ;a  ! b& $ & À B  $ & Ê "  0 B  " &

b) ;a  ! b& $ & À B k k $ & Ê 0 B k k &

c) .a b& $ & À B  $ & Ê 0 B &

6) Data la funzione 0 B œcos senB , se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

7) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione 0 B œ B^$log^%B, stabilendo anche se si tratta di estremi assoluti o relativi.

8) Determinare e rappresentare graficamente il campo d'esistenza della funzione di due varia- bili 0 Bß C œlogc B  C  " C  /^B d e calcolare poi f0 !ß ! Þ

9) Date quattro generiche proposizioni , , e , costruire le tavole di verità della proposi-  ‚ ƒ zione c Ê / ‚Êƒ dÊ  ‚9 , sapendo che la proposizione è sempre falsa men- tre la proposizione è sempre vera.ƒ

10) Data la matrice œ e i vettori —œ e ˜œ

" ! " 5 #

" " ! " 

! " " 5

â â â â â â

â â â â â "â

 "

, determinare il valore del parametro in modo tale che il vettore 5  —† e il vettore risultino perpendicolari.˜

Febbraio 2-07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B ⁽ log .B

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: log log ; tg .

lim lim cos

BÄ∞

# $ B #

# B B BÄ!

B  B  B  $ B

B  #  % "  B

3) Determinare il valore del parametro in modo che risulti 5 $  " œ &. lim #B

BÄ!

5B

4) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B sapendo che 0 B œ #/^w ^#B /^B e che .0 ! œ !

5) Data la funzione 0 B œlogˆ"  B^#‰, se ne determini il campo di esistenza, opportuni intervalli in cui risulti invertibile, nonchè le espressioni delle possibili inverse.

6) Esistono due rette, ambedue passanti per il punto #ß $ , che risultano tangenti al grafico della funzione 0 B œ B^#. Trovare i due punti di tangenza B ß C_! _! e le equazioni di tali rette tangenti.

7) Dopo aver verificato l'applicabilità del Teorema di Lagrange (o del Valor Medio) alla funzione 0 B œÈB nell'intervallo c d!ß ", si determini l'ascissa del punto che soddisfa alB_! Teorema.

8) Date le matrici œ e œ , ed il vettore —œ

" ! #  " # !

" ! " ! ! "

! " ! "  " !

â â â â â â

â â â â â

â â â â

â â â â â ââ â

ââââ

%

!

$ , si calcoli il modulo del vettore ˜œ  —† † .

9) Dati i vettori —œ Cß Bß  # e ˜œ B  Cß "  Bß C , si determini per quale coppia Bß C il prodotto scalare dei due vettori 0 Bß C œ— ˜† risulta massimo.

10) Date le tre proposizioni:

(5)

 À $'

#

È è un numero intero;

 1

À # è un numero razionale;

‚Àil punto (zero) è l'unico punto di accumulazione per l'insieme dei numeri naturali;!  dopo avere stabilito verità o falsità di ciascuna delle proposizioni date, si stabilisca se è vera o falsa la proposizione  9 Ê‚ Í ‚Ê  / .

Marzo 07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B log "  B .

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: log log sen ; sen .

log cos tg

lim lim

BÄ∞

#

BÄ"

B  # B  B B  "

B  $ B  B B  "

3) Studiare, nell'intervallo , i punti di discontinuità della funzione .

c # ß # d 0 B œ senB

1 1 B

#

4) Calcolare ( log d .

"

/

B  B B

5) Costruire il polinomio di Mac Laurin di III grado della funzione 0 B œ / ^B log "  B . 6) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo, relativi e assoluti, per la funzione

0 B œ /  / /  "

#B B

B .

7) Determinare i casi di verità e falsità della proposizione cÊ  ‚/ d c/ nonÊ  ‚9 d sapendo che la proposizione è sempre vera.‚

8) Date 0 B œlog e B 1 B œ /^B, si calcoli l'espressione della funzione derivata della funzione .J B œ 0 B  "  1 "  B

0 1 B  "

9) Calcolare, nel punto !ß !ß " , il gradiente della funzione 0 Bß Cß D œ D /^CB CD.

10) Date le matrici œ " " e œ $ ! si determini la matrice per la quale—

" # %  "

ºº ºº ºº ºº

risulta che  —† œ.

Giugno 1-07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " / . B

B

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: log ; .

lim lim

BÄ" BÄ∞

B B  $ #B

B  " ŒB  #

3) Data la funzione log , si determini il suo campo d'esistenza e la specie 0 B œ B sen"  B

B

#

$

dei suoi punti di discontinuità.

4) Determinare la funzione derivata della funzione J B œ 0 1 B  1 0 B , sapendo che 0 B 1 B

0 B œ /^B e 1 B œ B^#.

5) Data 0 B œ B^#, determinare in quale punto la retta tangente al grafico della funzioneB_! risulta parallela alla retta passante per i punti  "ß " e #ß % .

6) Determinare, al variare del parametro , la natura dei punti stazionari della funzione5 0 Bß C œ B  #5BC  C^# ^#.

(6)

7) Calcolare ( d .

!

" B #B B

"  /  /

/ B

8) Data la matrice œ ed il vettore —œ , si verifichi che risulta

" # # #

" #  "  "

 " " % "

â â â â

sia  —† œ— che   —† † œ—.

9) Determinare verità e falsità della proposizione Ênon 9 Ê sapendo che la proposizione  9 è vera.

10) Dopo aver verificato che la funzione 0 B œ B B  "^$ ^# B  " soddisfa, nell'intervallo c "ß " al Teorema di Rolle, si determinino tutti i punti stazionari conseguenti.d

Giugno 2-07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B $/  #^B .

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: cos ; .

lim tg lim

BÄ!

B $

# BÄ∞ #

"  /  " "  B  B B

B Œ"  B  B

3) Data la funzione 0 B œlog_$ "  #^B , si determini il suo campo d'esistenza, dove risulta invertibile e l'espressione della sua inversa.

4) Determinare se e dove risulta / œ 9 B  /^B ^B e se e dove risulta B  /^B œ 9 /^B . 5) Data 0 B œ /^{sen B}, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di III grado.

6) Data 0 Bß Cß D œ B /^CD  Dlog B  C ed il vettore •œ "ß "ß " calcolare f0 "ß !ß "

e calcolare poi f0 "ß !ß " † •.

7) Determinare se esiste log d . ("

∞ B

B B

8) Dati i vettori — Bß C œ Bß $Cˆ ^#‰ e ˜ Bß C œ #B  $ß #  B , si determini se esistono valori Bß C che rendono massimo o minimo — ˜† .

9) Determinare se la proposizione Ê 9 Ê‚ 9 ‚Ê risulta una tautologia.

10) Determinare tutti i vettori che risultano perpendicolari a "ß  "ß " e a "ß "ß  " e che hanno modulo pari a È#.

Luglio 07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /^{# "B}.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen ; log .

lim sen lim

BÄ! BÄ#

È"  B  " B  %#

B ^ B  #

3) Date 0 B œ / e 1 B œ B  #, determinare l'espressione delle funzioni composte B  "

B

0 1 B e 1 0 B , dove risultano invertibili e l'espressione delle loro inverse.

4) Data la funzione 0 B œ #B  *B  ")B^$ ^# , determinare i punti nei quali la retta tangente al grafico della funzione ha coefficiente angolare 7 œ ', e trovare poi le equazioni di tali rette tangenti.

5) Data 0 Bß C œ B  " /^BC^#, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

6) Date le matrici œ e Šœ , determinare se esistono valori del

" # " 5 ! !

# " # ! 5 !

" ! # ! ! 5

â â â â

parametro per i quali risulta 5 ˆ^T‰†ŠœŠ†ˆ^T‰Þ

(7)

7) Calcolare ( d .

!

"

B /#$B B

8) Calcolare il differenziale della funzione 0 B œ /  " nel punto B œ ! per un incre- /  #

#B B

mento pari a !ß ".

9) Determinare se esiste una qualche relazione insiemistica tra l'insieme  Ï ∩  ‚Ï e l'insieme .∩ Ï ∩‚

10) Determinare, al variare del parametro , gli eventuali punti di massimo e/o minimo5 relativo per la funzione 0 B œ /^{"5 B}^#.

Settembre 1-07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogB log^#B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen ; .

lim tg lim

BÄ! BÄ∞

B  B B  ( B

B  B ŒB  '

3) Date 0 B œ B  " e 1 B œ B , determinare se e dove risulta 0 B œ 9 1 B e B  "^# B  "^#

dove invece 1 B œ 9 0 B .

4) Date 0 B œ B  #B  $^# e 1 B œsen , determinare dove risulta crescente la funzioneB C œ 0 1 B .

5) Data 0 B œ " sen^#B cos , se ne determini l'espressione del polinomio di MacB Laurin di quarto grado.

6) Calcolare log d . ("

/ #B

B B

7) Dopo averne determinato il campo di esistenza, si calcoli l'espressione del vettore gradiente per la funzione 0 Bß C œlog C  B ÈB  C^# ^%.

8) Data la matrice œ 5 # ed i vettori —œ #ß " e ˜œ "ß  " , determinare il

$ 5

ºº ºº

valore del parametro per il quale risulta 5 —  ˜† † ^Tœ !.

9) Determinare se la proposizione c Í Ê‚d c9 ‚Í Ê d risulta una tautologia.

10) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo per la funzione 0 Bß C œ B  $BC  C^$ ^#.

Settembre 2-07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^$B /^#B #. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: ; log .

lim lim

BÄ"

B " $

BÄ∞ B #

/  " "  B  B

B  " /  B

#

3) Sapendo che, per B Ä B_!, 0 B è infinitesima e che 0 B œ 9 1 B , calcolare il valore

del .lim

BÄB

#

!

0 B  1 B 0 B

4) Calcolare ( log d .

"

#B /  BB^# B B

5) Determinare l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di IV grado per la funzione 0 B œ /^#Bcos#B.

6) Data 0 Bß Cß D œ D B  C  D, se ne calcoli il gradiente nel punto P œ /ß "ß " . B

C !

(8)

7) Data 0 Bß C œ B  $C  $B  'BC  "#C^$ ^# ^# , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

8) Date le matrici œ , œ e ‚œ

" " " "  " ! # # "

! " " " !  " ! "

" ! "  " " "

â â â â â â

â â â â â  "â

" # ! , determinare tutti i vettori per i quali risulta —   ‚ —† † † œ—.

9) Data 0 B œ B /^"B^# determinarne gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo, pri- ma in tutto il suo campo d'esistenza e poi limitatamente all'intervallo c d!ß ".

10) Date le tre proposizioni:

 À Il Teorema di Weierstrass sui massimi e minimi assoluti è applicabile solamente alle funzioni derivabili in un intervallo;

 ÀLa funzione 0 B œ logˆ"  B^#‰ non ha asintoti verticali;

‚ À Ad un insieme aperto appartengono tutti i suoi punti di accumulazione.

Dopo aver stabilito verità o falsità di ciascuna proposizione, si determini se è vera o falsa la proposizione nonÊ /non‚ .

Dicembre 07

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B ^$ log .B 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen tg ;

sen cos

lim lim log

BÄ! BÄ∞

B

B B

B  B

B  B $  $

B  "  B  # ˆ ²‰ Þ 3) Disegnare un grafico di funzione che soddisfi alle seguenti proprietà:

- a b& $ & À !  B k k $ & Ê 0 B  à&

- lim lim

BÄ∞0 B œBÄ∞0 B œ 1à

- la funzione è continua e convessa per B  ! e per B  !.

4) Determinare se esiste una qualche relazione insiemistica tra l'insieme V ∩ Ï‚ e l'insieme cV  ∪V  dÏV ‚ . ( rappresenta il complementare)V

5) Dati i due vettori •œ "ß #ß  " e —œ #ß %ß 5 , si determini il valore del parametro 5 per il quale: a) i due vettori sono paralleli; b) i due vettori sono perpendicolari; c) il modulo di

— è pari a .&

6) Data la funzione 0 B œ /^$B $B, determinare il punto nel quale la retta tangente alB_! grafico della curva è perpendicolare alla retta C œ  "B  &. Si trovi poi l'equazione della retta tangente. '

7) Calcolare ( È È d .

!

"

B  B  ^$ B B

8) Data la funzione 0 B œsen /  "  /^B ^sen^B, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

9) Data 0 Bß C œ B  C  $BC^$ ^$ , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

10) Date 0 B œ " log^$B e 1 B œ "  #^B, determinare l'espressione dell'inversa della funzione .0 1 B