2003/04 Prova Intermedia Dicembre 03-Compito  1) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 log 1

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2003/04 Prova Intermedia Dicembre 03-Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 log 1; .

lim lim

BÄ BÄ∞

B 0

È Œ

$  "  B 

B #B  "

#B

2) Determinare, al variare del parametro , il valore del sen .

5 5 B sen B

B  B

BÄlim

# $

$ %

0

3) Dati tre generici insiemi  ß e , valutare se e quale relazione insiemistica intercorre tra‚ l'insieme c V Ï ∩‚ d e l'insieme c V Ï d c∪  V ‚Ï d.

Ï indica la differenza tra insiemi e (..) il complementareV

4) Esaminare i punti di discontinuità della funzione 0 B œ #  % .

#  %

B k kB

5) Date le funzioni 0 B œ "  B e 1 B œ $ , determinare l'espressione dell'inversa della

"  B

B

funzione 0 1 B e della funzione 1 0 B Þ

6) Sia œ !ß "ß #ß $ß %e f e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ

B Ce se B  C − Þ Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

7) Data la funzione log , dopo averne determinato il campo d'esistenza se

0 B œ *B  B

B  %

ˆ ^# ^%‰

#

ne determini la natura topologica (aperto, chiuso, ...).

Prova Intermedia Dicembre 03-Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 arctg 1; .

lim lim

BÄ BÄ∞

B 0

È Œ

$  B 

B "  #B

#  #B

2) Determinare, al variare del parametro , il valore del sen .

5 B  B

BÄlim

$ %

0 $

3) Dati tre generici insiemi  ß e , valutare se e quale relazione insiemistica intercorre tra‚ l'insieme c V Ï ∪‚ d e l'insieme c V Ï d c∩  V ‚Ï d.

Ï indica la differenza tra insiemi e (..) il complementareV

4) Esaminare i punti di discontinuità della funzione 0 B œ $  $.

$  $

k kB B

5) Date le funzioni 0 B œlog B e 1 B œ "  B , determinare l'espressione dell'inversa

"  B

$

della funzione 0 1 B e della funzione 1 0 B .

6) Sia œe #ß  "ß !ß "ß #f e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ

B Ce se B  C − Þ Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

7) Data la funzione log , dopo averne determinato il campo d'esistenza se

0 B œ %B  B

B  "

ˆ ^# ^%‰

#

ne determini la natura topologica (aperto, chiuso, ...).

Gennaio 04

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /^{$ "B}.

(2)

2) Determinare il valore dei limiti: sen ; sen .

sen sen

lim lim

BÄ! BÄ!

% $

#

Œ B  B "  "  B #

B  B B † "  B

sen B B B$ %

3) Determinare il valore dell'area al di sotto del grafico della funzione 0 B œ B /^{# "B} tra il suo punto di minimo ed il suo punto di massimo.

4) Determinare e disegnare approssimativamente il grafico di una funzione che soddisfi ad ambedue le seguenti definizioni di limite:

a) a  ! b À B & $ k k $ Ê 0 B  " k k &; b) a& b À B $ $ Ê 0 B  &.

5) Determinare il punto nel quale la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ /^"B risulta perpendicolare alla retta C œ $  B.

6) Determinare i punti di massimo e/o di minimo per la funzione 0 B œ B /^{8 "B}^'. Cosa accade se tale ricerca viene limitata all'intervallo c "ß "d ? Quale teorema sulle funzioni derivabili risulta applicabile alla funzione data in tale intervallo ?

7) Date 0 B œ log e B 1 B œ "  B^#, determinare campo d'esistenza ed eventuali punti di discontinuità della funzione 0 1 0 B .

8) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  $C † /ˆ ^# ^$ ‰ ^B, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

9) Sia œ  "ß "c d e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ

B Ce se B  C −  "ß " Þc d Determinare le proprietà a cui tale relazione soddisfa.

10) Date tre generiche proposizioni , e , determinare se risultano logicamente equivalen-  ‚ ti le due proposizioni Œ À Ê Ê‚ e À Ê Ê‚.

Febbraio 1-04

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ # /  B /^B ^B.

2) Determinare il valore dell'area al di sotto del grafico della funzione 0 B œ # /  B /^B ^B tra il suo punto di massimo ed il suo punto d'intersezione con l'asse delle . Determinare poi seB tale area è maggiore o minore di quella al di sotto del grafico della funzione e relativa a tutto il semiasse negativo delle .B

3) Determinare il valore dei seguenti limiti: ; cos .

lim limsen

BÄ∞

B B

BÄ! B

B  B "  B

B † /  "

log

4) Data la matrice œ , determinare tutti i vettori —œ tali che  —† œ—

# ! " B

# " # C

" " # D

â â â â

e per i quali risulta l l È— œ ).

5) Rappresentare con un diagramma di Eulero-Venn oppure fornire un esempio di tre insiemi

  ‚, e sapendo che ∩Á g, ∩‚Á g, ∩‚œ g, Ï ∪‚ œ g.

6) Data la funzione 0 B œlogB log^#B, determinarne l'espressione del polinomio di Tay- lor di III grado nel punto B œ ".

7) Data la funzione 0 Bß C œ C  #C  *B ^# ^# log "  #B , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

8) Dopo aver determinato i punti di discontinuità ed i punti di massimo e di minimo della funzione log , determinare opportuni intervalli in cui essa risulti invertibile.

0 B œ log B  "

B  "

#

9) Data 0 B œ log^# "  B , determinare una funzione 1 B in modo che risulti 0 B µ 1 B per B Ä !, e 0 B œ 9 1 B per B Ä  ∞.

10) Dati i due vettori —" œ Bß Bß Cß # e —# œ Bß Cß Cß B , determinare, al variare di e di B Cß quando il loro prodotto scalare risulta minimo.

(3)

Febbraio 2-04 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione log . 0 B œ "  B

B

2) Determinare il valore dei limiti: ; sen cos .

lim lim sen

BÄ∞

#

$ BÄ! #

Œ"  B  B B B  B B  B

"  B  B B

"BB$

"BB#

3) Sia 0 B œ #log , trovare, per B B Ä ", una funzione 1 B tale che 1 B œ 9 0 B ed una funzione 2 B tale che 2 B µ 0 B .

4) Siano 0 B e 1 B funzioni derivabili e diverse da zero dove occorre. Determinare l'espressione della funzione derivata della funzione 2 B œtg 0 B † $  1 0 B .

0 B

0 1 B

5) Determinare se e dove la retta passante per i due punti P_" œ !ß # e P_# œ #ß  # risulta tangente al grafico della funzione 0 B œ "  B^#.

6) Scrivere l'espressione del polinomio di Taylor di II° grado per la funzione 0 B œ /^{cos B} nel punto B œ .

! # 1

7) Determinare, al variare del parametro , l'esistenza di punti di massimo e/o di minimo per5 la funzione 0 Bß C œ 5 B  'C  C^# ^$.

8) Dati due generici insiemi e , determinare sotto quali condizioni un generico elemento   B appartiene all'insieme cV ∩ d cÏ V ∪V  d.

9) Sia œe "ß !ß "ß #f e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ

B Ce se B C − Þ Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

10) Determinare se esiste ( d .

"

∞ #

$

B  "

B  $B B

Febbraio 2-04 Compito 

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione log .

0 B œ B  #

B

2) Calcolare il valore dei limiti: ; sen cos sen .

lim lim sen

BÄ∞

$ #

# BÄ! #

Œ"  B  B B  B B  B

"  B  B B

"BB$

"BB#

3) Sia 0 B œ logB  "; trovare, per B Ä /, una funzione 1 B tale che 1 B œ 9 0 B ed una funzione 2 B tale che 2 B µ 0 B .

4) Siano 0 B e 1 B funzioni derivabili e diverse da zero dove occorre. Determinare l'espressione della funzione derivata della funzione 2 B œarctg 0 B † #  1 B .

0 1 B

1 0 B

5) Determinare se e dove la retta passante per i due punti P_" œ "ß ! e P_# œ $ß ) risulta tangente al grafico della funzione 0 B œ "  B^#.

6) Scrivere l'espressione del polinomio di Taylor di II° grado per la funzione 0 B œ /^{sen B} nel punto B œ_! 1.

7) Determinare, al variare del parametro , l'esistenza di punti di massimo e/o di minimo per5 la funzione 0 Bß C œ 5 C  $B  B^# ^$.

8) Dati due generici insiemi e , determinare sotto quali condizioni un generico elemento   B appartiene all'insieme cV ∩V  d cÏ V ∪ d.

9) Sia œ "ß #ß $ß %ß 'e f e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ

(4)

B C B − Þ

e se C  Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

10) Determinare se esiste ( d .

"

∞ $

%

B  "

B  %B B

Aprile 0%

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /^{# "B}^#, sapendo che tale grafico presenta 4 punti di flesso.

2) Determinare il valore dei limiti: log ; .

lim sen lim

BÄ!

# B B $ #

# BÄ∞ B B

"  B $  #  B  B

B %  $

3) Determinare l'espressione del polinomio di Mac Laurin di terzo grado della funzione 0 B œ / ^B log "  B .

4) Data la funzione 0 B œ log "  #B , determinare in quale punto la retta tangente alB!

grafico ha coefficiente angolare 7 œ %, scrivere l'equazione di tale retta tangente e dire se essa taglia l'asse delle ordinate nella parte positiva o in quella negativa.

5) Sia 0 B positiva, derivabile e strettamente crescente a B − ‘. Determinare sotto quali ul- teriori condizioni risulta crescente la funzione 1 B œ 0 B log0 B .

6) Data cos log , se ne determini l'espressione della funzione derivata.

0 B œ $ † B  B

B  B

È È

sen B #

$

7) Determinare se esiste un valore del parametro per cui risulta vera l'uguaglianza:5

â â â â

â â ºº º º ºº º º â â

5 # $

# 5 $

# # %

† #  " † 5 œ

 " # " .

8) Determinare le tavole di appartenenza dell'insieme ∪ Ï ∩‚ sotto l'ipotesi §‚ e dare una rappresentazione grafica di tale insieme.

9) Data 0 Bß C œ /  B^B ˆC  #C^# ‰, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

10) Calcolare ( d .

!

"

$B #B B

/  /  / B

Giugno 1-0%

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " /^#B.

2) Determinare l'area compresa tra il grafico di tale funzione e l'asse delle ascisse relativa- mente al tratto del grafico compreso tra i due punti in cui esso interseca gli assi.

3) Dopo aver determinato l'espressione del polinomio di Taylor di II grado nel punto B œ "

per la funzione 0 B œ B  " /^#B, motivare il particolare risultato trovato.

4) Determinare il valore dei limiti: sen ; log .

sen log

lim lim

BÄ!

B #

BÄ∞ #

B  #  " B  B

B B  B

5) Verificare l'applicabilità del Teorema di Lagrange (o del Valore Medio) nell'intervallo c #ß #d per la funzione 0 B œ B  B^$ , traendo poi le opportune conseguenze.

6) Data 0 Bß C œ B  C /^BC^# , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

7) Sia œ "ß #ß $ß %ß 'ß "#e f e sia data la relazione e" ÀÄ così definitaÀ

Be_"C se B C œ "#Þ Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

Cosa accade se la relazione è invece la e_# ÀÄ così definitaÀ Be_#C se B C  "# ?

(5)

8) Determinare se la proposizione c /  / Ê Êd è una tautologia.

9) Date le matrici œ ß œ e ‚œ

" # " # " ! " " !

# " # ! # " ! " "

" ! # " ! # " !

â â â â â â

â â â â â "â

, determinare se risulta vero che  †‚œ‚†  .

10) Data la funzione 0 B œ /  ", determinare dove risulta invertibile, dominio e codomi- /  "

B B

nio dell'inversa nonchè la sua espressione.

Giugno 2-04

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  $. /  #

B B

2) Determinare il valore dei limiti: cos tg ; .

lim lim

BÄ! BÄ∞

# B

$ B

B B  B  B B  $

B B  #

3) Esaminare i punti di discontinuità della funzione sen . 0 B œ B  B  #  B

B  #B  " B

#

4) Determinare l'espressione delle funzioni composte 0 1 2 B e di 2 1 0 B sapendo che sen0 B œ #B  " , sen 1 B œ # B e sen2 B œ #B.

5) Calcolare log d . (!

" #B  "

#B  " B

6) Date le matrici œ e œ , determinare tutti i vettori —−‘

% % % $ # $

$ $ $ " $ #

% % % " # #

â â â â

$

per i quali risulta  —† œ —† , e tra questi trovare poi quelli tali che l l È— œ #".

7) Data 0 Bß C œ C  $C ^$ log^#B , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

8) Data 0 B œ /^B, determinare il punto nel quale, tracciando la retta tangente al graficoB_! della funzione, si ottiene una retta passante per l'origine.

9) Data 0 B œ /^5BB^#, si verifichi che, qualunque sia , la funzione presenta un punto di5 massimo e due punti di flesso, e che il punto di massimo si trova sempre esattamente tra i due punti di flesso.

10) Siano dati tre insiemi , e , dei quali si sa che   ‚ ©‚ , ©‚ , ∩œ g. Determina- re sotto quali condizioni un generico punto B −V ‚ Ï ∩V ‚ Ï . ( indica il comple-V mentare)

Luglio 04

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / . B  "

B

lim lim

BÄ!

B % $ B B

BÄ∞ B B &

"  B  /  " B  B  %  $

B %  $  B

3) Data 0 B œlog , si determini il punto nel quale la retta tangente al grafico della fun-B B_! zione risulta parallela alla retta passante per i punti P_" œ "ß  " e P_# œ /ß " . Di quale

Œ/ Teorema si tratta ?

4) Data 0 B œlogˆ"  B^#‰, se ne determini l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di III grado e si dia una spiegazione del particolare risultato trovato.

(6)

5) Determinare dove risulta crescente e dove convessa la funzione 0 B œ B  #^# log .B 6) Date 0 B œ B  #B^# e 1 B œ B^#, determinare se e dove può risultare 0 B µ 1 B , dove 0 B œ 9 1 B e dove 1 B œ 9 0 B .

7) Data 0 Bß C œ B  C  $B  #C^$ ^# , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

8) Siano dati tre insiemi , e , dei quali si sa che   ‚ ©©‚. Determinare sotto quali condizioni un generico punto B − ∪‚ Ï ∩‚ .

9) Calcolare ( log d .

"

/B #B B

10) Dati i vettori —" œ "ß  "ß # e —# œ  "ß "ß " , si determini un vettore —$ perpendicolare ad entrambi, a componenti positive e di modulo pari a È#.

Settembre 1-0%

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione log .

0 B œ B

B^#

lim lim

BÄ∞

# # B B

# BÄ!

B B  $B  B #  $  #

B  B B

3) Verificare se è applicabile nell'intervallo c "à !d il teorema di Weierstrass per le funzioni continue alla funzione 0 B œ " , traendo, se del caso, le opportune conseguenze. Cosa

B  "

si può invece concludere nell'intervallo c "à  "d ?

4) Data la funzione 0 B œsenˆB  B^# ‰, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado. Quali osservazioni si possono fare sul risultato trovato ?

5) Calcolare ( d .

!

"

#B B B

/  /  / B

6) Data la matrice œ " ! " ed il vettore —œ , determinare il valore del para-

# " !

B

"

ºº ºº B

â â

â ââ â â ââ â â ââ â metro in modo che il vettore B  —† abbia modulo pari a ."

7) Data 0 Bß C œ B  C  %B  %C^% ^% , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

8) Date 0 B œ "  B e 1 B œ / , dopo aver determinato l'espressione delle funzioni com-

"  B

B

poste 0 1 B e 1 0 B , si trovi, di quest'ultime, l'espressione della funzione inversa.

9) Esaminare gli eventuali punti di discontinuità nonchè la presenza di eventuali asintoti per

la funzione log .

0 B œ " logB

"  B

10) Sia œ !ß "ß #ß $ß %ß &e f e sia data la relazione e À Ä così definitaÀ

B C B  C − !

e se #   è l'insieme dei naturali, compreso . Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

Settembre 2-0%

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / . /  "

B B

2) Calcolare ( d .

"

# B

B

/ /  " B

(7)

3) Determinare il valore dei limiti: lim ; lim .

BÄ∞

B B B B

B BÄ!

#  B #  $  %  "

#  B B

4) Determinare se la retta passante per i due punti P_" œ !ß  " e P_# œ #ß " risulta tangente oppure parallela ad una tangente al grafico della funzione 0 B œ log in un certo punto ,B B_! determinando anche il valore di .B_!

5) Data la funzione 0 B œ B B  "^% ^&, se ne determinino tutti i punti di massimo, di minimo e di flesso.

6) Date le matrici œ e œ , ed il vettore —œ

" ! ! " ! !

! # " ! "  "

! " " !  " #

â â â â â â

â â â â â

â â â â

â â â â â ââ â

ââââ B

!

, verificare che  —† œ  —† † œ—.

7) Data 0 Bß C œ B  C  #B /ˆ ^# ^# ‰ ^B , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

8) Date le due funzioni 0 B œ B^$ e 1 B œ B^#, determinare se e dove risulta rispettivamen- te che , e 1 B œ 9 0 B 0 B œ 9 1 B 0 B µ 1 B .

9) Siano date le seguenti proposizioni:

 À B œ !_! è punto interno all'intervallo c d!ß " à

 À B œ !_! è punto di accumulazione per l'intervallo d c!ß " à

‚ À B œ !_! è punto di frontiera per l'intervallo d c!ß ".

Dopo aver determinato verità o falsità di ciascuna proposizione, si determini se risulta vera oppure falsa la proposizione: Ê Ê‚ 9 Ê‚ Ê .

10) Sia 0 B œ B  #B Þ^# Per un incremento B  B_! pari a !ß &ß il differenziale d0 B_! risulta uguale a Determinare il valore di ."Þ B_!

Dicembre 04

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /  " . /  "

#B

2) Determinare il valore dei limiti: ; cos .

lim lim sen

BÄ∞

$B"

BÄ!

#

Œ"  # B  " # B

B B

3) Determinare asintoti e punti di discontinuità per la funzione sen .

0 B œ B  B

B

#

4) Date le funzioni 0 B œ B  5^# e 1 B œ %B  B  $^# , si determini il punto nel qualeB_! la retta tangente al grafico di 0 B e quella al grafico di 1 B risultano parallele. Esiste un valore di per il quale le due rette tangenti coincidono ?5

5) Data 0 B œ /  B, si determini la natura dei suoi eventuali punti stazionari.

/  B

B B

6) Date le funzioni 0 B œlog e B 1 B œ "  B, si determini l'espressione della funzione composta 0 1 0 B , dove questa risulta invertibile nonchè l'espressione dell'inversa.

7) Data la matrice œ ed il vettore —œ , determinare se esiste un va

5 ! " B

" " "  B

" ! 5 B

â â â â

â â â â -

lore del parametro per cui risulti che 5  —† œ 5  " †—. 8) Calcolare ( log d .

"

/"

B  B B

9) Data 0 Bß C œ B  C  #C /ˆ ^# ‰ ^B , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo relativo.

10) Date tre proposizioni , e , determinare se e quale tra le due seguenti proposizioni:  ‚

(8)

_" À Ê / Ê‚ Ê Ê‚ e _# À Ê  / Ê‚ Ê ‚ risulta una tautologia.