2008/09 Prova Intermedia Novembre 08-Compito  1) Disegnare il grafico della funzione log , determinandone gli 0 B œ log / À B Ÿ ! B À

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2008/09 Prova Intermedia Novembre 08-Compito 

1) Disegnare il grafico della funzione log , determinandone gli 0 B œ log

/ À B Ÿ !

B À !  B  "

B À " Ÿ B Ú

ÛÜ

B

#

"

eventuali punti di discontinuità e la loro specie. #

2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ!

# $ # $

B  B  "  B

#B à B

"

"  B

 "

sen log

tg É .

3) Determinare i casi di verità della proposizione Í / Í‚ .

4) Date le funzioni 0 B œ B  $B  7^# e 1 B œ B  %B  5^# , si determini, sempre per B Ä !, per quali valori dei parametri e esse risultano asintoticamente equivalenti, per7 5 quali una risulta trascurabile rispetto all'altra, per quali risultano infinitesimi dello stesso ordi- ne.

5) Data 0 B œ /  / , se ne determini il campo d'esistenza e l'espressione della funzione

#  /

B #B

B

inversa.

6) Siano e i campi d'esistenza delle funzioni   0 B œlog " logB e 1 B œ ÈB  B^#.

Determinare le proprietà topologiche (aperto ? chiuso ?), la frontiera e la chiusura dell'insieme

∩ .

7) Data la parabola C œ B  $B  #^# , si determini l'equazione della retta secante la parabola nei punti e di ascissa   B œ !" e B œ# 4 , e si determini poi l'equazione della perpendicolare ad essa passante per il punto di mezzo del segmento - . 

Prova Intermedia Novembre 08-Compito 

1) Disegnare il grafico della funzione log , determinandone gli log

0 B œ

À B Ÿ ! B À !  B  $ B À $ Ÿ B ÚÝ

ÛÝ Ü

1^B

"

3 3

eventuali punti di discontinuità e la loro specie.

lim lim

BÄ! BÄ!

# % $ B

$ B  B  "  B "  $  "

$B à B B

sen log cos

sen sen tg .

3) Determinare i casi di falsità della proposizione Í 9 Í‚ .

4) Date le funzioni 0 B œ B  #B  5^# e 1 B œ B  %B  7^# , si determini, sempre per B Ä !, per quali valori dei parametri e esse risultano asintoticamente equivalenti, per7 5 quali una risulta trascurabile rispetto all'altra, per quali risultano infinitesimi dello stesso ordi- ne.

5) Data 0 B œ #/  / , se ne determini il campo d'esistenza e l'espressione della funzio-

"  /

B #B

B

ne inversa.

6) Siano e i campi d'esistenza delle funzioni   0 B œlog log "  B e 1 B œ /^ÈB".

(2)

∩ .

7) Data la parabola C œ B  $B  %^# , si determini l'equazione della retta secante la parabola nei punti e di ascissa   B œ !_" e B œ_# 4 , e si determini poi l'equazione della perpendicolare ad essa passante per il punto di mezzo del segmento - . 

Prova Intermedia Novembre 08-Compito ‚

1) Disegnare il grafico della funzione log , determinandone gli log

0 B œ

B À B Ÿ "

B À "  B  $ B À $ Ÿ B ÚÝ

ÛÝ Ü

$

"

# 3

eventuali punti di discontinuità e la loro specie.

lim lim

BÄ! BÄ!

# $ B #B

B

sen log

B  %B  "  B /  / .

$  " à B

sen

3) Determinare i casi di falsità della proposizione cÊ  ‚9 d c/ Ê  ‚9 d.

4) Date le funzioni 0 B œ B  #B  7^# e 1 B œ B  $B  5^# , si determini, sempre per B Ä !, per quali valori dei parametri e esse risultano asintoticamente equivalenti, per7 5 quali una risulta trascurabile rispetto all'altra, per quali risultano infinitesimi dello stesso ordi- ne.

5) Data 0 B œ "  / , se ne determini il campo d'esistenza e l'espressione della funzione /  /

B

#B B

inversa.

6) Siano e i campi d'esistenza delle funzioni   0 B œlog "  / e 1 B œ " . B  "

B È

$

∩ .

7) Data la parabola C œ B  $B  $^# , si determini l'equazione della retta secante la parabola nei punti e di ascissa   B œ !_" e B œ_# 4 , e si determini poi l'equazione della perpendicolare ad essa passante per il punto di mezzo del segmento - . 

Gennaio 09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog^#B  log^$B.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: ; sen .

lim lim log

BÄ∞

#B

Œ&  $B BÄ!È"  B  "

#  $B "  B

3) Poniamo M B œ B  B^#; determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo per la funzione 0 B œM /^B , stabilendo anche se si tratti di assoluti o relativi.

4) Data 0 B œ # À B Ÿ ", si determini se esistono valori dei parametri e 7 5 7 B  5 À "  B

œ ^B #

per i quali la funzione risulta derivabile a B − ‘.

5) Determinare la natura dei punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B  $C  $B C^$ ^# ^# .

6) Calcolare ( ŒÈ d .

"

# B

B B  /  " # B

"  B

7) Verificare l'applicabilità del Teorema di Lagrange (o del Valor Medio) alla funzione 0 B œ B  B  "^$ ^# nell'intervallo c "ß  "d, e determinare poi il punto che soddisfa a tale Teorema.

(3)

8) Dati tre generici insiemi , e , si costruiscano le tavole di appartenenza degli insiemi  ‚

Ï ∪‚ e  Ï ∪  ‚Ï e si determini poi se si possono stabilire particolari condizioni sotto le quali i due insiemi risultano uguali.

9) Data la matrice œ " ! " , detta  la sua trasposta, si determini se esistono vetto-

" " !

ºº ºº ^T

ri —−‘^# tali che il vettore  † ^T†— risulti perpendicolare a ˜œ "ß  " e di modulo pari a È#.

10) Si determini se esistono valori del parametro per i quali la retta 5 C œ #B  " risulta tangente alla curva C œ B  5B  "^# , determinando anche il punto di tangenza.

Febbraio 1-09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B /^B.

2) Determinare il valore dei limiti: ; .

log

cos sen

lim lim

BÄ∞

B BÄ!

#

Œ"  # B  # B  "

#B B

log

3) Data log , si determini il suo campo d'esistenza, dove risulta invertibile e 0 B œ "  #log B

"  B

l'espressione della sua funzione inversa.

4) Data la funzione 0 B œ /^$B /^#B /^B, determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo, stabilendo anche se si tratti di assoluti o relativi.

5) Data 0 B œ " , si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado di tale

"  B^# funzione nel punto B œ  ".

6) Calcolare ( ˆ sen ‰cos d .

!

$

1

%

"  B B B

7) Date le matrici œ , œ e il vettore —œ determina-

"  "

 " "

" "

" 5  #

5 " $

â â

â â ºº ºº ºº ºº

re il valore del parametro per il quale il vettore 5   —† † risulta perpendicolare al vettore

"ß "ß " .

8) Data la funzione 0 Bß C œ B C log C  B , si determini il suo campo d'esistenza, B  C

# Œ #

dandone anche una rappresentazione grafica, e se ne calcoli il gradiente nel punto  "ß ! . 9) Data la proposizione À Ê / Ênon‚ / non‚Ênon , si determinino i casi in cui risulta vera, sapendo però che quando è vera allora anche è vera. ‚

10) Data la funzione 0 B œ /  B^B ^#, si determini una funzione 1 B per la quale risulti:

0 B µ 1 B per B Ä ! mentre 1 B œ 9 0 B per B Ä  ∞. Febbraio 2-09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  $ /^#B.

2) Determinare il valore dei limiti: ; log sen .

lim lim

BÄ∞ # B

B

Œ"  " " BÄ! "  B

B B 1  "

3) Dato sen , si determini il valore del parametro per il quale tale limite esiste fi-

BÄ!lim

#È^$ B

B^α α

nito e diverso da zero.

(4)

4) Data 0 B œ /^B, determinare dove risulta invertibile nonchè l'espressione dell'inversa della funzione J B œ 0 $B  0 B .

0 #B

5) Determinare tutte le primitive della funzione 0 B œ B / ^B logB .

6) Data 0 B œ B /^"5B, determinare il valore del parametro per il quale la funzione am-5 mette un punto di massimo in B œ #, stabilendo anche se si tratti di estremo assoluto o relativo.

7) Verificare che le derivate seconde miste della funzione 0 Bß C œ B † arctg C  B risultano uguali.

8) Data la matrice œ ed i vettori —œ e ˜œ

5 ! " "

 " 5  # "

" " 5  "

â â â â â â

%

$

, determinare se esistono valori del parametro per i quali risulti 5  —† œ˜.

9) Data 0 B œ B  $B , sapendo che d0 B œ " quando dB œ " , determinare .B

$

$ #

! !

10) Determinare quando risulta vera la proposizione À Ê 898 Í Ê , sapendo che la proposizione Ê è vera.

Aprile 09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^$B /^#B.

2) Determinare il valore dei limiti: ; sen cos .

lim lim

BÄ∞

#B"

Œ"  " BÄ!"  B  B

B B

3) Data la funzione 0 Bß C œ Èlog C  B^# , si determini il suo campo d'esistenza, dandone anche una rappresentazione grafica, e se ne calcoli il gradiente nel punto !ß # .

4) Determinare dove risulta crescente la funzione 0 B œ B^$log .B

5) Data 0 B œ /^$Blog B  " , se ne calcoli l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

6) Determinare tutte le primitive della funzione 0 B œ B /^$B /^#B.

7) Può la retta C œ $B  " essere tangente alla funzione 0 B œ B  $B^$ ? In caso di rispo- sta affermativa, trovare il punto di tangenza.B_!

8) Costruire le tavole di verità della proposizione Àc Ê 9 Ê‚ dÊ  ‚/ .

9) Date le matrici œ e œ , ed il vettore —œ , cal-

" ! " " !

 " !  # ! "

" " " " "

"

 "

â â â â

â â â â ºº ºº

colare il modulo del vettore   —† † .

10) Calcolare lim log ed enunciare la corrispondente definizione di limite.

BÄ∞ "  "  B

Giugno 1-09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^"BB^#.

2) Determinare il valore dei limiti: log ; sen .

lim lim

BÄ∞

$B

# BÄ! #

"  B  B  / B  B B  #B  " B  B

3) Determinare il valore dell'area al di sotto del grafico della funzione 0 B œ /2 ^$B /3 ^#B dal punto in cui questo taglia l'asse fino al punto B B œ ".

4) Se 0 B œ B  #B 1 B œ /^# , ^B e 2 B œ $B  ", determinare l'espressione della funzione composta 0 1 2 B , e calcolarne poi l'espressione della funzione derivata.

(5)

5) Approssimare la funzione 0 B œsen nel punto B B œ con l'opportuno polinomio di II

% 1 grado.

6) Data la matrice œ # "  # ed il vettore —œ , determinare il valore del

" # !

"

5

ºº ºº 5

â â

â ââ â â ââ â â ââ â

parametro per il quale il vettore 5 † risulta parallelo al vettore ! .

"!

 — ºº ºº

7) Determinare se la proposizione _" ÀÊ Ê‚ e la proposizione _# À Ê Ê‚ sono logicamente equivalenti.

8) Data 0 Bß C œ B  #BC  C^# ^% se ne studi la natura dei suoi punti stazionari.

9) Determinare il valore del parametro sapendo che la funzione 5 0 B œ B /^5B" ha, nel punto B œ  #, un punto di flesso, stabilendo poi dove sia convessa la funzione data.

10) Date 0 B œ / ^B log e B 1 B œ 5 /  7^B log , stabilire se esistono valori di e B 5 7 per i quali risulti, per B Ä  ∞, rispettivamente, 0 B µ 1 B , oppure 0 B œ 9 1 B , oppure .1 B œ 9 0 B

Giugno 2-09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B /  #B /^{# B} ^B. 2) Determinare il valore dei limiti: ; cos .

lim lim

BÄ∞ BÄ

B

Œ B "  B#

B  " ¹ B 1

3) Data 0 B œ B  # ^#, si determini in quale punto la retta tangente al grafico della fun-B_! zione risulta parallela alla retta secante il grafico nei punti corrispondenti a B œ ! e B œ $. Di quale Teorema sulle funzioni derivabili si tratta ?

4) Verificare se e dove risulta / œ 9^B logB .

5) Determinare dove risulta invertibile la funzione 0 B œ B  ", nonchè le possibili B  "

#

espressioni dell'inversa.

6) Dopo aver determinato tutte le possibili primitive della funzione 0 B œ /  /^B ^B, si trovi quella che passa per il punto !ß $ .

7) Determinare le tavole di appartenenza dell'insieme  Ï ∪ V  ‚Ï , sapendo che

§‚ e che indica il complementare. Cosa significa il risultato trovato ?V

8) Date le matrici œ " # " , œ e ‚œ " " , ed il

#  "  "  "  &

# "

" !

 # "

ºº ºº ºº ºº

â â

vettore —œ " , calcolare il modulo del vettore   ‚ —† † † e verificare se esso risulta

"

ºº ºº

parallelo o perpendicolare al vettore ˜ œ " . ºº º# º

9) Data sen , calcolare .

0 Bß C œ B C f0 !ß !

$

$ CB

10) Data 0 Bß C œ B  C , se ne determini il campo d'esistenza dandone anche la rap- B C  B

Ë ^##

presentazione grafica.

Luglio 09

(6)

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B .

"  B^#

2) Determinare il valore dell'area al di sotto del grafico della 0 B œ B nell'intervallo

"  B^# c d!ß " .

3) Determinare il valore dei limiti: log ; arctg .

lim lim tg

BÄ∞ B BÄ!

B  "  B $B

#  B #B

4) Data la matrice œ ed il vettore —œ , determinare per qua-

$5  #  " "

5 ! #  "

5  #  & "

â â â â

le valore di il vettore 5 † risulta perpendicolare al vettore œ e poi per quali valo-

"

 — ˜

â â

â ââ â â ââ â â ââ â ri di il modulo del vettore 5  —† risulta pari a È"%.

5) Date 0 B œ / e 1 B œ B , si calcoli la derivata di J B œ 0 1 B  1 0 B . 1 1 B

B #

6) Data 0 B œ /^B si determini il punto nel quale la retta tangente al grafico dellaB_! funzione risulta perpendicolare alla retta C œ $  #B, e si scriva poi l'equazione di tale retta tangente.

7) Data 0 Bß C œ B  %BC  C^% ^%, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

8) Determinare almeno una funzione 0 B Á B per la quale risulti 0 B œ 9 /^B per B Ä ! mentre 0 B µ B per .B Ä  ∞

9) Data una funzione 0 B continua e derivabile due volte in B œ !, sapendo che 0 ! œ ", 0 ! œ #^w e 0 ! œ %^ww , calcolare un valore approssimato di 0  !ß " .

10) Sapendo che le proposizioni e sono logicamente equivalenti, mentre è una proposi-  ‚ zione qualsiasi, si determini se la proposizione 898Ê‚ Í ‚Ê 898 risulta o me- no una tautologia.

Settembre 1-09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog^#B  # log .B

2) Determinare il valore dei limiti: ; .

log tg

lim lim

BÄ∞

B BÄ!

#B

Œ"  " /  "

B $B

log sen

3) Dati i vettori —œ Bß Cˆ ^#‰ e ˜œ B  #C ß B  "ˆ ^# ^# ‰ sia 0 Bß C œ— ˜† , prodotto scalare dei due vettori. Determinare i punti in cui f0 Bß C œ .

4) Dati tre generici insiemi , e , determinare opportune condizioni affinchè risulti soddi-  ‚ sfatta l'uguaglianza V ∩ ∪V ∩‚ œV ∩ . è il complementareV

5) Date le matrici œ 7 " 5 e œ , determinare il valore dei parame-

" 5 #

" #

 " "

" #

ºº ºº

â â

tri e affinchè il prodotto 7 5 † risulti uguale a œ ! $ .

" )

  ‚ ºº ºº

6) Determinare i punti di discontinuità della funzione 0 B œ #  " , specificandone an- B B  "

B

che la specie.

(7)

7) Calcolare ( È È d .

!

"

B  B  ^$ B B

8) Determinare l'espressione del polinomio di II grado che meglio approssima la funzione 0 B œ B /^B^# in un intorno di B œ !.

9) Data la funzione 0 B œ B  #B /ˆ ^# ‰ ^B, determinare gli intervalli dove risulta crescente e quelli dove risulta convessa.

10) Sapendo che la funzione 0 B œlog B 5  B ha un punto di massimo in B œ $, si determini il valore del parametro positivo , stabilendo poi se si tratta di massimo assoluto o5 relativo.

Settembre 2-09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^BˆB  $B  #^# ‰.

2) Determinare il valore dei limiti: ; log .

lim lim

BÄ∞

# B $B #

# B BÄ! #

B /  B / "  B  B

B /  " B  B

3) Determinare almeno una funzione 0 B per la quale risulti che 0 B œ 9 B per B Ä  ∞ e che 0 B µ B per B Ä !.

4) Presa la retta passante per i punti < "ß  " e $ß # , si determinino i punti e neiB_" B_# quali la retta tangente al grafico della funzione 0 B œ B  $B  #^# risulta rispettivamente parallela e perpendicolare alla retta .<

5) Data 0 B œ B /^7B5, determinare il valore dei parametri e sapendo che la funzione7 5 ha un punto di minimo in B œ  ", di ordinata pari a  #.

6) Calcolare cos d . ( sen

!

1

# B

B  # B

7) Data la matrice œ "  " # ed il vettore —œ , determinare il modu-

$ !  #

#

"

 "

ºº ºº

â â

lo del vettore  —† , un vettore parallelo ad  —† , ed un vettore perpendicolare ad  —† . 8) Determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo per la funzione

0 Bß C œ /^BˆB  C  BC^# ^# ‰.

9) Data la funzione 0 B œ log , si determini dove risulta invertibile la funzione compostaB J B œ 0 $  B  0 #  B , nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

10) Date tre generiche proposizioni , e , si determini se risulta una tautologia la proposi-  ‚ zione .cÊ  ‚9 d c9  ‚/ Êd

Ottobre 09

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogˆB  $B  $^# ‰.

2) Determinare il valore dei limiti: log ; log .

sen sen

lim lim

BÄ∞

B #

BÄ! #

B  "  B  # B  "  B

B  B B  B

3) Date 0 B œ "  B e 1 B œlog "  B , siano J B œ 0 1 B e K B œ 1 0 B .

"  B Calcolare J B^w e .K B^w

4) Determinare il valore del parametro in modo tale che risulti applicabile il Teorema di5 Rolle nell'intervallo c d!ß " alla funzione 0 B œ /^"5BB^#, determinando poi il conseguente punto stazionario.

5) Calcolare ( d .

"

#

B  "  "# B

B B

(8)

6) Data le matrici œ " # e œ $ $ ed il vettore —œ " , si determini

 # " # " "

ºº ºº ºº ºº ºº ºº

quale tra i due vettori   —† † e   —† † ha modulo maggiore e se questi due vettori risultano o no perpendicolari.

7) Determinare e rappresentare graficamente il campo d'esistenza della funzione À

0 Bß C œ B  C

B

È log

.

8) Sapendo che la proposizione non è mai falsa, determinare le tavole di verità della propo-‚ sizione .cÊ‚d c/ Ê ‚d

9) Data 0 B œ B  B^# , si determini il punto in cui si intersecano le tangenti al grafico della funzione data nei punti B œ  " e B œ #.

10) Determinare il valore di per il quale risulta massimo il reciproco della lunghezza del-B l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza, rispettivamente, e ." B