2004/05 Prova Intermedia Dicembre 04-Compito  1) Date le funzioni 0 B œ B  &B

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2004/05

Prova Intermedia Dicembre 04-Compito 

1) Date le funzioni 0 B œ B  &B  %^# e 1 B œ B  %B  $^# determinare se e dove risulta 0 B µ 1 B , dove 0 B œ 9 1 B e dove 1 B œ 9 0 B .

2) Date le funzioni sen e , dopo aver determinato l'espressione 0 B œ B 1 B œ #  "

B B

B

delle funzioni composte 0 1 B e 1 0 B , si calcoli lim0 1 B e lim1 0 B .

BÄ0 BÄ0

3) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ∞

# $ #B

$ # # BÄ!

Œ B  $B B  B $  "  "  B

B  #B  "  B  B $B

B $B#

B &B# sen log

cos ; .

4) Sia e sia data la relazione così definita

œ "ß ß ß ß ß ß ß ß" " " " " " " "3 4 e À Ä À

# & ' ( ) * œ

B C B Þ

e se C è un numero pari Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le pro- prietà a cui essa soddisfa.

5) Date le tre proposizioni:

À il poligono è un quadrilatero;

À il poligono è un quadrato;

‚À il poligono ha i lati uguali;

stabilire verità o falsità della proposizione ‚Ê / Ê Ê relativamente ai soli casi possibiliÞ

6) Dati due insiemi e , siano   —œ V  ∩ ∪ Ï e ˜œ V  ∩ ∪ Ï. Determinare se e coincidono, o se uno è sottoinsieme dell'altro oppure se sono disgiunti.— ˜

Ï indica la differenza tra insiemi e (..) il complementareV

7) Disegnare un esempio di grafico per una funzione che soddisfi alle seguenti due definizioni di limite:

a) a  ! b& $ & À B k k $ Ê 0 B k k &; b) a& b$ & À B  $ Ê 0 B &.

Prova Intermedia Dicembre 04-Compito 

1) Date le funzioni 0 B œ B  $B  #^# e 1 B œ B  &B  '^# determinare se e dove risulta 0 B µ 1 B , dove 0 B œ 9 1 B e dove 1 B œ 9 0 B .

2) Date le funzioni tg e 3 , dopo aver determinato l'espressione delle 0 B œ B 1 B œ  "

B B

B

funzioni composte 0 1 B e 1 0 B , si calcoli lim0 1 B e lim1 0 B .

BÄ0 BÄ0

3) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ∞

$ # # # B

$ # $ BÄ!

Œ B  $B  & B  B B  B  "  #

B  B  B  "  B  B $B

B #B#

B B"$ sen sen tg

cos ; .

4) Sia e sia data la relazione così definita

œ "ß ß ß ß ß ß ß ß" " " " " " " "3 4 e À Ä À

# & ' ( ) * œ

B C B Þ

e se C è un numero dispari Determinare le coppie che costituiscono tale relazione e le proprietà a cui essa soddisfa.

(2)

 Àil numero naturale è divisibile per ;8 #

 Àil numero naturale è divisibile per ;8 $

‚ Àil numero naturale è divisibile per ;8 "#

stabilire verità o falsità della proposizione ‚Ê / ‚Ê Ê‚ relativamente ai soli casi possibili.

6) Dati due insiemi e , siano   —œ V  Ï ∪ ∩ e ˜œ V  Ï ∪ ∩. Determinare se e coincidono, o se uno è sottoinsieme dell'altro oppure se sono disgiunti.— ˜

Ï indica la differenza tra insiemi e (..) il complementareV

7) Disegnare un esempio di grafico per una funzione che soddisfi alle seguenti due definizioni di limite:

a) a  ! b& $ & À B $ Ê 0 B k k &; b) a& b$ & À !  B k k $ Ê 0 B &.

Gennaio 05

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^B"^B Þ

2) Determinare massimi e minimi relativi per la funzione 0 B œ B /^{B $B#}^# , e determinare poi massimi e minimi assoluti per la stessa funzione nell'intervallo c d!ß #.

3) Determinare il valore dei limiti: log ; log .

lim lim

BÄ∞

$ B B #

B B BÄ!

B  $  $  B "  B  B

$  # B

4) Dato l'insieme œ !ß "ß #ß $ß %ß &e f, si consideri la relazione e À Ä così definita:

B Ce se #B  Cè un numero pari. Determinare le proprietà a cui soddisfa tale relazione.

5) Dati tre generici insiemi , e , determinare la relazione insiemistica che intercorre tra  ‚ l'insieme ∪ ∩‚ e l'insieme ∪ ∩‚ .

6) Si verifichi (graficamente e non calcolandolo) che esiste un unico punto nel quale la ret-B_! ta tangente al grafico di 0 B œ /^B e quella tangente al grafico di 1 B œlog risultano pa-B rallele.

7) Determinare il campo d'esistenza della funzione 0 Bß C œ #log BC  B  C^# ^# e determinarne poi gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

8) Dopo aver calcolato una primitiva della funzione 0 B œ "  / , determinare se esiste B^$

#B

("

∞

0 B d .B

9) Date le matrici œ , œ ed i vettori —œ

" 5 " 5 ! 5

! " 5 "  " #

"  " ! # "  "

â â â â â â

â â â â â

ââââ ââ

 "

#

"

e

˜œ 5   —† † œ˜

!

"

â â

â ââ â â ââ â

â ââ â , determinare il valore del parametro per il quale .

10) Data la funzione 0 B œ B /^B", determinarne l'espressione del Polinomio di Taylor di III grado nel punto B œ ".

Febbraio 1-0&

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^$B $ /^#B #.

2) Determinare il valore dei limiti: log ; .

lim lim

BÄ∞

$ B B # B B"

B B BÄ!

B  $  $  "  B $  $

#  % B

#

(3)

3) Sia . Si trovi il valore di che rende continua la log

0 B œ 5

"  B

B  "  Bß B Á !

5 B œ !

Ú ÛÜ

funzione in B œ !; mediante la definizione si verifichi poi che 0 ! œ  " e si scriva l'e-

#

w

quazione della retta tangente al grafico di 0 B in B œ ! Þ

4) Data log , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e minimo, rela- 0 B œ B logB

B  B

tivi e assoluti, in tutto il suo campo d'esistenza.

5) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  #C /ˆ ^# ^# ‰ ^C, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

6) Calcolare ( d

!

" B B

B  /

/ B Þ

7) Data la matrice œ ed i vettori —œ e ˜œ

"  " 5 5

% # 5  #

" !  $  "

â â â â â â

â â â â â

â â â â â ââ

#

 "

%

, determinare il valore del parametro per il quale risulta 5  —† œ˜ e stabilire la relazione geometrica che intercorre tra e .— ˜

8) Data la funzione 0 B œ /^{B "} , determinare dove risulta invertibile nonchè l'espressione

# B "#

delle possibili inverse.

 Àil numero di Nepero è razionale;/

 Àil numero ŠÈ#‹^$ è irrazionale;

‚ 1

Àil numero $ è irrazionale;

stabilire verità o falsità della proposizione  9 Ê‚ 9  ‚ / Ê .

10) Date le funzioni 0 B œ3 e ^B 1 B œ #^B determinare se e dove risulta 0 B µ 1 B , dove 0 B œ 9 1 B e dove 1 B œ 9 0 B .

Febbraio 2-0&

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B logˆ"  B^#‰.

2) Determinare il valore dei limiti: ; sen

lim lim

BÄ∞

# #

# B

Œ"  $B  #B BÄ! $B  #B

"  #B  $B B Þ

3) Date le due funzioni 0 B œ /^$B /^#B B e 1 B œ 5 B^#, determinare il valore del parametro per cui risulta 5 0 B µ 1 B per B Ä !.

4) Determinare il vettore gradiente della funzione 0 Bß C œ B in un generico punto Bß C . C

C B

5) Determinare se esiste d . ( log

/

∞ "

B B B

6) Date le funzioni 0 B œ B  B^$ ^# e 1 B œ #B  $B^# , si determini il punto nel quale leB_! rette tangenti ai due grafici risultano parallele, nonchè le equazioni di tali rette.

7) Data la matrice œ ed il vettore —œ , determinare se esistono va-

5 ! " "

! 5 "  "

! " 5 !

â â â â

lori del parametro per i quali il vettore 5  —† abbia modulo pari ad ."

(4)

8) Date 0 B œ B^#, 1 B œlog e B 2 B œ /^B, considerate le funzioni composte 0 1 B , 0 2 B , 1 0 B , 1 2 B , 2 0 B e 2 1 B , si stabilisca quali sono tra queste gli infiniti di ordine superiore, quelli di ordine inferiore e quelli dello stesso ordine, per B Ä  ∞.

9) Data 0 B œ /  "^B ^# /  #^B ^$, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e minimo, relativi e assoluti, in tutto il suo campo d'esistenza.

10) Dato l'insieme universo ”œ !ß "ß #ß $ß %ß &ß 'ß (ß )ß *ß "!e f, siano l'insieme dei numeri pari appartenenti a , quello dei dispari, ” ƒ œ !ß "ß #ß $ß %ß &e f e œ 'ß (ß )ß *ß "!e f. Si determini V ∩ ∪ ƒ∩ .

Aprile 0&

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogˆ"  B  B^#‰. 2) Determinare il valore dei limiti: lim ; lim

BÄ∞

B

BÄ!

Œ "  B $B# *

"  $B B Þ

3) Calcolare ( d

!

" B B

/  "

/  B B Þ

4) Data 0 B œ B^$ logB  " ^#, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e minimo, relativi e assoluti, in tutto il suo campo d'esistenza.

5) Dopo aver determinato l'equazione della retta tangente al grafico di 0 B œ $tg "#B nel punto B œ " , si determini l'ascissa del punto nel quale tale retta tangente taglia l'asse delle BÞ 6) Dati tre generici insiemi , e , determinare la relazione insiemistica che intercorre tra#   ‚ l'insiemeÀ V ∪  ‚Ï e l'insiemeÀV ∪ ÏV ∪‚ .

7) Data la funzione 0 B œlog B  " log B  " , si determini dove risulta invertibile nonchè l'espressione della sua inversa.

8) Data la matrice œ " #  " ed il vettore —œ , determinare se esistono valo-

! " #

B C

"

ºº ºº

â â

â ââ â â ââ â â ââ â

ri dei parametri e per i quali il vettore B C † sia perpendicolare a œ " ed abbia

 — ˜ ºº  #ºº

modulo pari a È&.

9) Data la funzione 0 Bß C œ C  #C B  "ˆ ^# ‰ˆ ^# ‰ , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

10) Date le due funzioni 0 B œ 5 B  7 B  " e 1 B œ B , determinare, al variare dei B  #

& $

#

parametri e , se e quando risulta, per 7 5 B Ä  ∞, che 0 B µ 1 B e quando invece risulta che 0 B œ 9 1 Bˆ ^# ‰.

Giugno 1-05

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  # /^{# B}. 2) Determinare il valore dei limiti: sen sen ; cos

sen sen

lim lim

BÄ! BÄ!

# # B

#

B  B  B /  B

#B  $B B Þ

3) Determinare il punto nel quale la retta tangente al grafico della funzione B_! 0 B œ /^B risulta perpendicolare alla retta C œ $  #B.

4) Calcolare ( log d

"

/

B B B Þ

(5)

5) Date le due proposizioni:

 Àla funzione 0 B œ Bk k è continua nel punto B œ !;

 Àla funzione 0 B œ Bk k è derivabile nel punto B œ !;

dopo aver stabilito verità o falsità di ciascuna, si stabilisca se risulta vera oppure falsa la proposizione non c Ê / Ê  d.

6) Data la funzione 0 B œ /^$B /^#B /^B se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di III° grado.

7) Data la funzione 0 Bß C œ B  7 BC  C^# ^#, determinare, al variare del parametro , la7 presenza di punti di massimo e/o minimo relativo.

8) Data la funzione 0 B œlog$B logB^$ si determini dove essa risulta invertibile nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

9) Date le matrici œ e œ ed il vettore —œ

" #  " "  " "

! " # # # "

# ! " " # #

â â â â â â

â â â â â

â â â â â â

ââââ â

#

"

#

, si determini il vettore per il quale risulta ˜  —† œ ˜† .

10) Date le due funzioni 0 B œ 7 B  5B^$ e 1 B œ B^#, determinare per quali valori dei parametri e risulta 7 5 0 B œ 9 1 B e per quali invece 1 B œ 9 0 B quando B Ä ! e quando .B Ä  ∞

Giugno 2-05

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / . /  "

#B

2) Determinare il valore dei limiti: lim ; lim

BÄ∞

B

BÄ!

$B #B

Œ#  $B /  /

"  %B B Þ

3) Data la funzione 0 B œ /  " se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o mi- /  "

#B B

nimo relativo e assoluto.

4) Data la funzione 0 B œlog^#B si determini almeno un intervallo nel quale sia applicabile alla funzione il Teorema di Rolle.

5) Data la matrice œ ed il vettore —œ "ß !ß  " si determini il (  # &

 # #  #

 & #  $

â â

valore di per cui risulta 5  —† œ 5—.

6) Calcolare, se esiste, ( d .

!

∞/#B /B " B B  "

7) Dati i due vettori —œ Bß  $Bß  C e ˜œ Bß Cß Cˆ ^#‰, determinare gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo per la funzione 0 Bß C œ— ˜† .

8) Dato ”œ "ß #ß $ß %ß &e f e dati gli insiemi ©” , ©”, si determinino le proprietà delle relazioni:  e _" se ∪œ "ß #ß $e f e  e _# se ∩œ "ß #ß $e f.

9) Date 0 B œ B e 1 B œ / , si determini l'espressione dell'inversa della funzione B  "

B

0 1 B e quella della funzione 1 0 B .

10) Determinare, al variare del parametro , la specie dei punti di discontinuità della funzio-7

ne .0 B œ B  $B  #

B  "  7 B  7

#

Luglio 05

(6)

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlogB ^# logˆ"  B^#‰. 2) Determinare il valore dei limiti: sen sen cos ; .

lim lim

BÄ!

# #

# BÄ∞

"  B  B  B $  "

B B

"

B

3) Data la funzione 0 B œ B ^# logˆ"  B^#‰ si determinino il primo ed il secondo termine significativi del polinomio di Mac Laurin.

4) Data la funzione 0 Bß C œ 7 B  #BC  B  C^# ^# se ne determini, al variare del parametro 7, la presenza di punti di massimo e/o minimo relativo.

5) Date la funzione 0 B œlog $B  " e la retta C œ B  5, si determini il valore di per5 il quale retta e funzione risultano tangenti ed il punto nel quale ciò avviene.

6) Verificare che ( È d , .

!

"

B 8 ⁸ B B œ " a 8  !

7) Date 0 B œ /^B e 1 B œ B  #B^# , si verifichi che le funzioni 0 1 B e 1 0 B presen- tano ambedue un punto di minimo, del quale si trovi l'ascissa e si veda se è assoluto o relativo.

8) Dati tre generici insiemi , e , si stabilisca sotto quali condizioni un generico elemento  ‚ non appartiene all'insieme  Ï ∪  ‚Ï ∪ ‚ Ï .

9) Dati i due vettori —œ "ß #ß  " e ˜œ #ß "ß  # , si trovino tutti i vettori che risultano perpendicolari a —˜ e a —˜, e di modulo pari a È).

10) Date le funzioni 0 B œlog e B 1 B œ /^B determinare se e dove risulta 0 B µ 1 B , dove 0 B œ 9 1 B e dove 1 B œ 9 0 B .

Settembre 1-05

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  " . /^B

2) Determinare il valore dei limiti: sen tg ; sen .

lim lim

BÄ! $ BÄ∞

B $

$

B  B /  B  B

B B È^$ B

3) Determinare il punto nel quale la retta tangente al grafico della funzione B! 0 B œ /#B risulta perpendicolare alla retta C œ $  #B.

4) Dopo aver verificato l'applicabilità del Teorema di Lagrange alla funzione 0 B œlogB nell'intervallo ”" •, si determini il punto che risulta da tale Teorema.

/ß / B_!

5) Dopo aver determinato dove risulta invertibile, trovare le possibili espressioni dell'inversa della funzione 0 B œ /^#BB^#.

6) Calcolare ( È d . Il valore trovato esprime la misura di un'area ?

!

"

/B B B

7) Data la matrice œ ed il vettore —œ Bß "ß B , determinare i valori di perB

" ! "

! # #

" # $

â â

i quali vale l'uguaglianza: —  —† † ^Tœ %.

8) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  $BC^$ ^$ , se ne determini gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

9) Date tre generiche proposizioni , e , si verifichi se risulta una tautologia la proposi-  ‚ zione: ce  ‚ o dÊc   e o ‚d.

10) Disegnare il possibile grafico di una funzione 0 B sapendo che :

(7)

a) la funzione è continua in tutti i punti eccetto che in B œ !, dove presenta una discontinuità di II° specie infinita;

b) la funzione è sempre derivabile per ogni B Á !, ed ha derivata sempre non positiva;

c) risulta lim mentre sulla destra la retta è asintoto obliquo per il gra-

BÄ∞

0 B œ ! C œ  B

fico della funzione.

Settembre 2-05

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B .

"  B

$

#

2) Determinare il valore dei limiti: sen cos ; .

lim lim

BÄ! $ BÄ∞

B  B B " #B

B Œ"  B

3) Data 0 B œ BsenB cos , se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin diB quarto grado.

4) Determinare il punto ed il valore del parametro in modo tale che la retta B_! 5 C œ B  "

risulti tangente in al grafico della funzione B_! 0 B œ /  5^B .

5) Trovare i punti di massimo e di minimo relativo della funzione 0 B œ B B  " /^$ ^# ^B. 6) Calcolare ( d .

!

"

B B

B /  / B

7) Data 0 Bß C œ 5 B  C  #BC^# ^# , determinare per quali valori del parametro essa pre-5 senta punti di minimo relativo.

8) Determinare tutti i vettori —œ Bß Cß D che risultano perpendicolari sia a ˜" œ "ß "ß "

che a ˜_# œ "ß "ß ! e di modulo pari a ."

9) Date le funzioni 0 B œ /^B, 1 B œ /^#B e 2 B œ /^B, si determini l'espressione della funzione composta 0 1 2 B e l'espressione della sua inversa.

10) Dati tre insiemi , e , sapendo che   ‚ ‚§ e che ∩∩‚Á g, si determinino, in un diagramma di Eulero-Venn, l'insieme corrispondente a ∩ Ï‚ e quello corrispondente a ‚ Ï .

2004/05 Prova Intermedia Dicembre 04-Compito  1) Date le funzioni 0 B œ B  &amp;B

2004/05 Prova Intermedia Dicembre 04-Compito  1) Date le funzioni 0 B œ B  &B