Tabella Periodica

1

per Scienze Geologiche

prof. Maurizio Spurio maurizio.spurio@unibo.it

Parte

2

11. La carica elettrica e legge di

Coulomb

3

Esiste in Natura una forza di natura non

gravitazionale, che può essere attrattiva o repulsiva Questa forza e’ dovuta all'esistenza

di cariche elettriche di due tipi: + -

Cariche dello stesso segno si

respingono, cariche di segno opposto si attraggono.

I materiali che si conoscono possono essere isolanti o conduttori, a seconda del fatto che la carica deposta rimanga localizzata o meno.

La carica elettrica e’ una grandezza fondamentale nel SI, la cui unita’ di misura e’ il Coulomb ( C) (*vedi nota al cap. 1)

Legge di Coulomb

r r q F q

o

4 ˆ 1

2 2

πε

r =

2 2

9

/

10 99

. 4 8

1 N m C

o

⋅ πε =

Sperimentalmente, C.A. Coulomb determinò (1785) che una carica q₁ induce una forza sulla carica q₂ che è proporzionale al prodotto delle intensità q₁ , q₂ delle cariche e inversamente proporzionale al

quadrato delle distanze.

Con la carica misurata in Coulomb, la costante vale:

La legge di Coulomb ha natura vettoriale.

La forza risultante da più cariche e’ la somma vettoriale delle singole forze.

F+

F-

F=F++F-

q

5

+Q -Q

E+

E-

E=E++E-

1

Quantizzazione della carica elettrica

Oggi noi conosciamo che la carica elettrica e’ quantizzata, ossia esiste una carica elementare molto piccola, di cui tutte sono multiple:

q = ne con e=carica elettrone= 1.6 10^-19 C

Inoltre, la carica elettrica e’ conservata: possono esistere dei

processi in cui cariche elettriche vengono create, ma in modo che la carica risultante sia nulla. Ad es: γ→ e+e-

7

Il campo elettrico E

Il campo elettrico ^E è un campo vettoriale: ad ogni punto dello spazio si può immaginare associato un vettore. In fisica moderna il concetto di campo vettoriale è di importanza fondamentale.

Se q_oè una carica di prova, il campo elettrico ^E è definito come:

ossia, come quel vettore che, moltiplicato per la carica di prova, dà la forza (in Newton) agente sulla carica stessa. Per definizione, l’unità di misura del campo elettrico è:

E= F/q

Campo E = [Newton/C]

Il caso semplice di campo elettrico generato da una carica q è:

r

Già con 2 cariche, la situazione si complica. In ciascun punto dello spazio, il campo è la risul-

9

Linee di forza del campo E

Il metodo per visualizzare il campo elettrico utilizza il concetto di linee di forza.

La linea di forza in un punto rappresenta la direzione in cui muoverebbe una carica positiva posta in quel punto. Il numero delle linee di forza qualitativamente rappresenta l’intensità del campo elettrico stesso.

Il campo E in un punto, essendo una grandezza vettoriale, gode delle

proprietà vettoriali: ad es., il campo risultante da due o più cariche si ottiene della somma dei vettori

Dipolo elettrico

Un dipolo elettrico è composto da due cariche di segno opposto, poste ad una distanza d (e’ un caso importante perché in Natura esistono molte

situazioni paragonabili ad un dipolo). Il campo E di un dipolo in un punto lontano z dal centro del dipolo:

 =





 

 −

= +

=

− +

−

+ 2 2

4 1

r q r

E q E

E

πε















+

−

− ² )² ( 2

2) 4 (

1

z d q z d

q πεo

3 2

2 4

2 1 2 2

1 2 4

z d q

z d z

d z

E q

o o

πε πε

=





 



 



 





−

 

 





≅

qd z p

E = p , =

2 1

πε

11

Esempi:

Esercizio 11.1: cosa accade ad un dipolo elettrico se immesso in un campo E costante ed uniforme?

Esercizio 12.2: studiare il moto di una goccia d’inchiostro di massa m e carica Q tra i piatti di deflessione di una stampante a getto d’inchiostro. La velocità iniziale della goccia m è v_x. Tra i piatti vi è un campo E come il figura.

Determinare la deflessione lungo y.

(m=1.3 10^-10 kg, Q=1.5 10^-13 C, E=1.4 10⁶ N/C, L=1.6 cm, v_x =18 cm/s).

R: y=0.64 mm

12. Uno sguardo dentro la materia

Today microscope

13

Abbiamo conosciuto due tra le forze fondamentali della natura: la forza gravitazionale e la forza elettrica. La prima e’ legata alla massa, la

seconda alla carica di una particella. Ma come e’ costituita la materia?

1. Molecole. Gran parte dei materiali, sono costituiti da molecole, che sono

agglomerati di atomi legati da forze elettriche di tipo di “dipolo” (talvolta molto piu’ complicate).

2. Atomi. Gli atomi sono aggregati neutri composti da nuclei (carichi +) ed

elettroni (carichi -). Il numero Z di

protoni (od elettroni) determina il nome dell’elemento: dall’idrogeno (Z=1)

all’Uranio (Z=92). Gli atomi sono stabili per forze di natura elettrica.

3. Nuclei. Anche i nuclei sono composti da protoni (carichi +) e neutroni (neutri).

La carica dei p e’ la stessa degli e, cambiata di segno. I nuclei sono tenuti da forze nucleari.

4. I protoni e neutroni sono composti da quark….

Gli atomi possono essere immaginati come piccoli sistemi planetari, in cui nuclei ed elettroni (e^- ) sono legati dalla forza di Coulomb. La differenza e’ che gli e^- non possono ruotare che su orbite definite

(modello di Bohr degli stati stazionari). Ad ogni orbita, corrisponde un preciso valore di energia (U+T). E’ possibile che gli e^- cambino orbita: in tal caso assorbono o emettono un quanto di energia (fotone).

Atomi

15

Esercizio 12.2. Se le dimensioni di un atomo sono di 10^-10 m, quanti atomi sono all’ incirca presenti in un cm³ di materiale (liquido o solido)?

1. I raggi delle orbite sono tali che il momento

angolare (L=mvr) degli e^- assume valori multipli di una

costante fondamentale (h=cost. di Plank)

² π n h L =

2. In una transizione dal raggio r1 a quello r2 viene

emessa (assorbita) una quantità di energia pari a:

h ν = E

− E

m F s

J h

C e

kg m_e

/ 10

85 . 8 10

6 . 6

10 6 . 1 10

9

12 0

34

19 31

−

−

−

−

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

=

ε

Esercizio 12.1. Determinare il raggio dell’orbita fondamentale dell’H.

Teoria (semiclassica) di Bohr

T ab e ll a Pe ri od ic a

Gli atomi successivi a quello di idrogeno sono caratterizzati da un numero di elettroni (o protoni nei nuclei) via via crescenti. L’ultimo elemento stabile in natura e’ l’Uranio (Z=92). Ciascun atomo puo’

aggregarsi con altri atomi (dello stesso o di altri tipi) per formare cristalli o molecole.

17

Conduttori ed isolanti

La classificazione dei materiali in isolanti e conduttori è data dalla loro maggiore o minore capacità di "condurre" l'elettricità. I materiali che trasmettono meglio l'elettricità sono i materiali "conduttori" (come i metalli) mentre i materiali

isolanti non possono trasmetterla, ma solo trattenerla.

Oggi sappiamo che i materiali isolanti, non trasmettono l'elettricità perché i nuclei e gli elettroni dei loro atomi non possono variare il loro stato di equilibrio elettrico.

In pratica, ciascun nucleo di un isolante lega tutti gli elettroni dell’atomo, che non possono allontanarsi dal nucleo stesso.

Gli atomi dei metalli si dispongono in strutture regolari (reticoli cristallini): in queste, gli e- più vicini ai nuclei sono fortemente legati ai nuclei stessi. Gli “ultimi elettroni” (ossia, quelli più lontani) sono invece condivisi dai nuclei nel cristallo, e costituiscono l’insieme degli "elettroni liberi“ (o elettroni di conduzione).

Questi elettroni possono muoversi indipendentemente uno dall'altro sulla superficie del metallo, anche molto velocemente nei materiali conduttori. In un metallo

“alcalino”, per ogni atomo vi è un elettrone libero, nell'atomo dell'alluminio ve ne sono invece tre, essendo l'alluminio un buon conduttore, e così via.

Nuclei

Non e’ difficile immaginare gli e- legati ai nuclei (carichi +) da forze di natura elettrica. Ma chi mantiene stabile i protoni nei nuclei? Oltre alla gravitazione ed alle forze di natura

elettrica, vi sono delle forze dette nucleari.

Queste forze sono sempre attrattive per i protoni ed i neutroni, su distanze molto piccole (circa uguali al raggio dei p,n). Sono inefficaci a distanze piu’

grandi, dove domina la repulsione coulombiana.

Esercizio 12.3. I raggi dei nuclei sono ∼10^-5 più piccoli di quelli atomici. Sareste in grado di mostrare che la disintegrazione di un

nucleo fornisce ∼10⁵ piu’ energia delle reazioni chimiche tra atomi?

Fissione nucleare

Per avere una idea delle “scale di distanza”: se il raggio del nucleo fosse di 1 cm, gli elettroni disterebbero dal nucleo alcuni km. La materia è “vuota”

19

Chi ha formato i Nuclei?

(O,C, Cu,Au, Pb,…)

I grandi ammassi nell’Universo (Galassie) sono composti da stelle, legate dalla forza gravitazionale. Anche le singole stelle (composte principalmente da H ed He) sono mantenute dalla gravitazione.

Nelle stelle, l’enorme pressione avvicina i protoni a distanze tali da poter far innescare la cattura da parte delle forze nucleari, che liberano energia. Si formano cosi’, a partire da H ed He nuclei piu’ pesanti (sino al Ferro).

La teoria sull’evoluzione dell’Universo (Big Bang) predice che ∼15 miliardi di anni fa l’universo sia “nato” con una composizione chimica di circa 76% di H e 24% di He. Come si sono potuti formare gli elementi piu’ pesanti?

I nuclei piu’ pesanti del Fe (sino all’U) si

formano durante le catastrofiche morti delle stelle

(supernovae)

13. Il Flusso di E e la Legge di Gauss

21

Il “flusso” Φ di una grandezza vettoriale (ad es., di un liquido): e’ un numero (scalare !) che e’ proporzionale alla quantità di liquido che intercetta una certa area. Dipende:

(i) dal modulo ν del vettore;

(ii) dell’area A;

(iii) dall’orientazione dell’area rispetto al vettore (θ).

A v

vA

r r

⋅

=

=

Φ ^cos ϑ

Flusso di una grandezza vettoriale

Nel seguito, considereremo il flusso del campo elettrico

Conteggio delle linee di forza di E

Sperimentalmente: il

numero di linee del campo vettoriale E che

attraversano una qualunque superficie chiusa e’ direttamente proporzionale alla carica racchiusa dalla superficie.

Questo deve significare un qualche tipo di

relazione tra il flusso attraverso una qualunque superficie e la carica

elettrica

23

Flusso attraverso superficie chiusa

Se il campo vettoriale E varia da punto a punto, e se la superficie S e’

qualunque, il calcolo del flusso e’ sempre possibile, sebbene più complicato matematicamente.

∑ ^{⋅ ∆ →} ∫ ^⋅

=

Φ E A E d A

r r r r

Il cerchio indica che la superficie e’ chiusa

Legge di Gauss

0

ε

A q d

E

≡ E ⋅ =

Φ ∫ ^{r r}

Il flusso di un campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa e’ uguale alla carica

racchiusa all’interno della superficie, diviso la

costante ε

.

25

Legge di Gauss = legge di Coulomb

Dimostriamo la legge di Gauss a partire dalla

legge di Coulomb, nel semplice caso di una carica puntiforme. Consideriamo come superficie chiusa una sfera con al centro la carica q.

o sfera o

o

o E

r q r

r q r r dA

q

r r dA

r A q

d E

π ε πε

πε

πε

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

=

⋅

≡ Φ

∫

∫

∫

2 2

2

2

1 4 ˆ 4

1 ˆ 4

ˆ ) (

4 ) ( ˆ r r

Analogamente, dalla Legge di Gauss si può ottenere la L. di Coulomb.

La L. di Gauss e’ una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo, ed in casi di simmetria, può essere utilizzata per determinare il campo elettrico.

Per la legge di Gauss, se una carica viene fornita ad un conduttore isolato, questa si dispone totalmente sulla sua superficie esterna.

Nessuna carica può trovarsi entro il conduttore.

14. Il potenziale Elettrico

27

Il lavoro che si deve compiere per spostare una carica q tra due punti A e B in presenza di un campo elettrico E e’:

s d E q s

d F L

B

A B

A AB

r r r r

⋅

−

=

⋅

−

=

∫ ∫

Poiché il lavoro e’ proporzionale a q, possiamo definire il lavoro per unità di carica differenza di potenziale (ddp).

La ddp e’ sempre calcolata tra due punti.

Se si fissa il punto di partenza (ad es.

all’infinito) si parla di potenziale elettrico.

s d q E

V L V

V

B

A AB

A B

AB

r r

⋅

−

=

≡

−

≡

∫

La ddp (ed il potenziale elettrico) sono

grandezze molto usate. L’unita’ di misura e’ il J/C. Questa grandezza ha il nome di Volt (V).

Nel caso di campo costante e cammino

rettilineo, si ha (sia per il cammino “if”, che per il cammino “ic,cf”:

Ed Es

s d E V

B

A

AB = −

∫

^θ

Differenza di potenziale

Consideriamo un filo conduttore indefinito, su cui e’

disposta una cerca quantità di carica λ per unità di lunghezza.

Il campo elettrico E non può che essere perpendicolare alla superficie laterale del cilindro (vedi figura), ed il modulo può essere determinato con la Legge di Gauss:

Esempio: Legge di Gauss per problema a simmetria cilindrica

E₁ E₂ E

0 0

int

0 int

2 )

2 (

) 2

(

ε π

λ ε

π

π ε r rh

E q

rh q E

A d

E

E

=

=

=

=

⋅

≡

Φ ∫ ^{r r}

Il potenziale elettrico tra due punti A e B distanti r_A e r_A è:

A B A

B

BA

r

dr r

V r ln

2

2

πε

λ ε

π

λ ₌

−

= ∫

B

A

29

Superfici equipotenziali

Nel caso di campo variabile, e di percorso qualunque, occorre calcolare un integrale di linea. Si puo’

dimostrare che in qualunque caso,in cui il campo elettrico è generato da distribuzioni di cariche il

risultato dell’integrazione NON dipende dal percorso scelto. (i campi elettrostatici sono conservativi)

Muovendosi su una linea o superficie di eguale potenziale, non si compie lavoro . Queste superfici (reali o immaginarie) sono sempre ad ogni punto ortogonali alle linee di forza del campo elettrico (vd. definizione di ddp)

Conduttori isolati

La carica in eccesso su un conduttore si distribuisce sulla sua superficie, ma in generale NON in maniera uniforme. La densità di carica σ=dq/dA varia da punto a punto sulla superficie. In una regione di area

sufficientemente piccola, con la LdGauss si può stimare il campo elettrico E in prossimità di A.

0 0

int 0

int

ε

σ ε

ε ^{→ = =}

=

=

Φ A

E q EA q

E

Due piastre conduttrici parallele

σ σ ^{E =} σ ^{( dentro)}

Esempio importante di dispositivo in cui

“immagazzinare” il campo elettrico E

31

Il potenziale di una carica puntiforme Il potenziale di una sfera

r dr q

r q V

r

f

i

0 2

0

4

1 4

d

πε

πε ⁼

−

=

=

⋅

−

=

∫

∫

∞

s

E

Condensatori

Consideriamo due conduttori isolati, inizialmente scarichi. Man mano che cariche vengono trasferite da un conduttore all’altro, aumenta il campo elettrico tra i due conduttori. Se si vuole trasferire ulteriore carica, si deve compiere lavoro contro il campo E formatosi.

Nel caso semplice di due lamine conduttrici piane e parallele, il lavoro può facilmente essere calcolato:

33

ε

A E = q

0

lamine

^A ε

Ed qd s

d E

V = ∫

⋅ = =

+

r r

(Campo E interno alle lamine)

(ddp tra le lamine)

Definiamo condensatore un qualunque dispositivo su cui possono

essere immagazzinate cariche per formare un campo elettrico, ed una ddp tra le armature (ossia, le pareti conduttrici ove si immagazzina la carica).

Capacità elettrica

Il rapporto tra carica sul condensatore e ddp tra le armature e’ una costante che dipende solo dalla geometria del dispositivo, e viene definita capacità del condensatore.

V Q V

C ≡ Q =

lamine

l’unità di misura della Capacità nel SI è il Coulomb/Volt, ed ha il nome di Farad:

1 Farad =1 F = 1 C/V

35

Esercizio 14.1: Determinare la capacità di un condensatore di forma cilindrica, formato da due cilindri coassiali di raggio interno ^a ed esterno ^b.

d A Qd

Q A

V

C ₌ Q ₌ ε

₌ ε

La capacità di un condensatore a facce piane parallele e’ molto semplice, in quanto la differenza di potenziale è:

C dipende solo da fattori geometrici. Questi, saranno differenti se differente e’ la forma del condensatore (cilindrico, sferico).

0 lamine

ε

s d E

V =

∫

+

r r

Caso particolare : Capacità elettrica per un condensatore a facce piane parallele.

Quindi:

Energia del campo elettrico

2 2

0 2

0 0

0

2

1 2

2 d ) d

( CV

C Q A

qdq Q dq A

q V W

Q Q

=

=

=

=

⋅

= ∫ _ε ∫ _ε

Un modo per caricare un condensatore e’ quello di collegarlo con una

batteria. Del lavoro deve essere compiuto dalla batteria stessa. Il lavoro infinitesimo per trasportare una quantità di carica dq ammonta a:

dq q

V

dW = ( ) ⋅

Il potenziale dipende dalla carica sulle armature.

Nel caso noto di condensatore piano, il lavoro per trasferire una quantità di carica Q ammonta a:

37

L’energia potenziale di un condensatore può considerarsi come UE

immagazzinata nel campo elettrico tra le sue armature.

Il campo elettrico non e’ dunque solo una costruzione matematica, ma ha una realtà fisica. Nel caso del condensatore piano, nel quale il campo

elettrico vale Q/Aε_ο possiamo esplicitare:

2 0 0

2 0 0

2 2

) d 2 (

1 2

) d(

2 d

2 A E

A E A A

Q C

U Q ε

ε ε

ε ^{= =}

=

=

tra le lamine).

Poiché il volume della regione e’ (Y=Ad), la densità di energia nel volume:

2

2

/ Y 1 E U

u = = ε

Benché ricavata in un caso particolare, questa importante relazione e’

valida per ogni dispositivo, ed ovunque vi sia un campo elettrico !

Esercizio 15.1: mostrare che la relazione e’ valida per il condensatore cilindrico dell’esercizio 14.1

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Un esempio di

uso:

39

Condensatori in serie e parallelo

Con la combinazione di diversi condensatori, si può aumentare o diminuire la capacità complessiva del sistema.

C sono in parallelo quando la ddp applicata e’ la stessa. La carica totale q immagazzinata e’ la somma delle cariche sui C.

q₁=C₁V ; q₂=C₂V ; q₃=C₃V q= q₁+ q₂+ q₃ = (C₁ +C₂ +C₃ )*V

C_eq= (C₁ +C₂ +C₃ )

C in

parallelo C in serie

C sono in serie quando la ddp applicata stabilisce una carica q identica per tutti. La ddp e’ la

somma delle ddp sui C.

V₁=q/C₁ ; V₂=q/C_{2 ;}V₃=q/C₃

V=V₁ +V₂+V₃ =q(1/C₁ +1/C₂+1/C₃) 1/C_equiv=1/C₁+1/C₂+1/C₃

15. La corrente elettrica

41

Un moto ordinato di cariche elettriche costituisce una corrente elettrica. La quantità di carica che fluisce in un punto di un

conduttore nell’intervallo di tempo dt:

dt dq t

t q

I

=

∆

≡ ∆

→

∆

lim

) (

Una corrente elettrica e’ dovuta al moto di cariche in un conduttore in presenza di una ddp. Per come e’

strutturata la materia, comunemente a muoversi sono le cariche negative; il verso della corrente e’

quello nel quale si muoverebbero le cariche positive.

E v_d

L’unita’ di misura della corrente nel SI e’ l’Ampere (A) 1 A = 1 Coulomb/ secondo

Abbiamo visto che alcuni materiali (conduttori) mettono a disposizione del reticolo un elettrone di conduzione per atomo. Questi, possono muoversi liberamente in ogni

direzione. Solamente in presenza di un campo elettrico E, essi possono acquistare una componente lungo la direzione di E.

Moto di cariche nei conduttori

Consideriamo un conduttore che abbia:

• n = numero di cariche libere/unita’ di volume

• q = carica elettrica dei conduttori

• v_d = velocità media dei portatori di carica lungo E

• A = area della sezione del conduttore

• L= lunghezza del conduttore

Allora: ∆q =qnAL= carica totale nel conduttore

I=∆q/∆t= ∆q/(L/ v

) = qnA v

Sperimentalmente, nei conduttori si è trovato che la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico applicato:

v

= (q/η) E

43

Definiamo densità di corrente J la quantità di carica che passa attraverso una qualsiasi sezione di area A del conduttore.

J=I/A = qnv

Il moto degli elettroni in un conduttore, ricorda il moto di una particella in un campo gravitazionale ed in presenza di attrito (vedi p. 30- Velocità limite).

In pratica il moto e’ descritto da una equazione del tipo:

ma = qE -ηηηηv, la cui soluzione e’ una velocità costante di deriva, vd.

In un dato conduttore, la densità di corrente J dipende dal campo E applicato, secondo un coefficiente ρ (resistività).

) (E J E

ρ

r r

=

ρ

J E r r

=

Legge di Ohm

Se la costante ρ NON dipende da E (ossia, il parametro

η

proporzionale al campo elettrico applicato.

Relazione tra J ed E

Nel conduttore, avremo che la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico applicato:

v

= (q/η) E

Poiché esiste una relazione tra densità di corrente J e velocità di deriva vd

J= qnv

J= qnv

= qn(q/η) E =E/ρ

45

Legge di Ohm

R A

R V A

V A

L I E

ρ

ρ ρ

con L

L L

) (

=

⋅ =

⋅ =

⋅

= ⋅

Consideriamo un filo conduttore di lunghezza l e sezione A. Si ha:

R I = V

R= resistenza del conduttore

La Legge di Ohm afferma che la corrente che scorre attraverso un dispositivo e’

proporzionale alla ddp applicata al dispositivo.

Il dispositivo e’ ohmico se la sua resistenza R non dipende dalla ddp applicata, ma solo dalla geometria del dispositivo.

Generatore di fem

Se si vuol far passare delle cariche attraverso una resistenza, occorre stabilire una ddp. I

dispositivi capaci di mantenere una ddp costante nel circuito sono chiamati generatori di forza elettromotrice (fem).

Un generatore di fem e’ un qualunque dispositivo capace di convertire qualche altra forma di

energia in lavoro contro il campo elettrico (pompa di cariche).

47

Non entreremo nei dettagli di tali dispositivi. Gli esempi piu’ comuni sono quelli della batteria, in cui il lavoro e’ svolto dalle reazioni

chimiche, dalle celle fotovoltaiche (luce solare), celle a combustibile, dinamo… Tutti, benché notevolmente differenti, compiono lavoro sui portatori di carica per mantenere costante da ddp.

(I generatori di fem reali hanno una piccola resistenza interna che diminuisce leggermente la ddp nominale quando circola corrente.)

Circuiti elettrici semplici

Consideriamo una resistenza R in serie con un generatore di fem E. Quanto vale I?

Maglia = insieme di elementi circuitali connessi da

conduttori.

La corrente e’ la stessa in tutti gli elementi di una maglia, non potendoci essere accumulo di carica in un punto.

Ai capi delle tre resistenze, per la legge di Ohm, si avrà:

I R V

I R V

I R

V₁ = _{1 2} = _{2 3} = ₃

I R R

R V

V

V ( )

:

ovvero

E

Legge delle maglie: la somma algebrica delle ddp rilevate su un circuito chiuso e’ nulla.

La resistenza equivalente di più resistenze in serie in una maglia e’ la somma algebrica delle

49

Legge dei nodi: la somma delle correnti che entrano in un nodo (punti in cui maglie si incrociano) deve essere uguale alla somma delle

correnti che escono.

L’esercizio precedente fa comprendere come la legge di conservazione della carica elettrica possa essere espressa, nei circuiti:

Esercizio 15.1 Nel circuito in figura, tre resistenze sono collegate in parallelo. Determinare

R

(Risp: 1/

R

Potenza Elettrica

Il generatore di fem in un circuito fornisce potenza trasferendo

(trasformando) energia e fornendola ai portatori di carica. La potenza P netta trasferita e’

V t i dt V

dq dt

qV d

dt

P dW ( ) ( )

=

=

=

≡

W= lavoro del generatore;

i(t)= corrente nel circuito;

V_+- = ddp ai capi del generatore

Nel caso di un circuito con sole resistenze, i=V/R e la potenza:

51

Leggi di Kirkoff

Legge delle maglie: la somma algebrica delle ddp rilevate su un circuito chiuso e’ nulla.

Legge dei nodi: la somma delle correnti che entrano in un nodo (punti in cui maglie si incrociano) deve essere uguale alla somma delle

correnti che escono.

Carica/scarica di un condensatore

Un condensatore C inizialmente scarico viene

collegato (attraverso una resistenza R) ad una fem costante. Il C comincerà a caricarsi, sino a quando ci sarà una carica Q=Cε sulle sue armature.

Utilizzando la legge sulle maglie: ( ) 0 )

( − =

− C

t t q

ε

Le variabili dipendenti sono legate:

dt t dq

i( ) =

1 0 ))

( (

: − − = − i =

C dt R di C

t Ri q

dt d ε derivando

e o Sostituend

e t/RC

R dt

i(t) dq  ⁻



 



=

= ε

ottiene:

Si ^{q(t) = Cε}

(

)

La costante RC e’ chiamata costante di tempo del circuito.

Dimensionalmente, infatti, e’ un tempo e rappresenta in quanto tempo il condensatore accumula il (1-1/e)=63% della carica totale.

53

16. Il campo Magnetico

Le proprietà magnetiche della materia vennero scoperte dai greci circa 2000 anni fa. I magneti permanenti sono sostanze capaci di attrarre o respingere pezzi di ferro. Per questo, l’interazione tra magneti non e’

riconducibile a forze di natura elettrica. Per descrivere la nuova interazione, introdurremo un nuovo campo vettoriale, il campo magnetico ^B.

Un magnete permanente presenta sempre due polarità (Nord e Sud); le linee di

forza di B possono essere evidenziate con della limatura di ferro.

55

In presenza di campo magnetico, particelle cariche in moto vengono deflesse.

Sperimentalmente, la forza che deflette le cariche e’ proporzionale alla loro

velocità v, ed all’ intensità del campo.

Inoltre, la forza e’ sempre diretta

ortogonalmente sia alla direzione di v che a quella di B.

Interazione tra cariche elettriche e B

Moto di

elettroni

positroni

B ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Forza di Lorentz

(carica in campo magnetico)

B v

r r r = q × F

Nel sistema MKS l’unita’ di misura (derivata) del campo magnetico B e’ il tesla:

La Forza di Lorentz NON compie lavoro, essendo sempre diretta ortogonal- mente alla velocità:

1 Tesla = Newton ⋅ s/ Coulomb ⋅ m

Sperimentalmente:

Potenza = dW/dt = F ⋅ v = 0

57

Carica in campo B perpendicolare alla velocità= moto circolare

Come applicazione della Forza di Lorentz, consideriamo una regione in cui B e’

uniforme e costante, e la particella entri con velocità ortogonale al campo. La forza ha modulo qvB, ed e’ diretta verso il centro. Quindi, dalla II L. di Newton:

Un cannone di elettroni e’

semplicemente una ddp applicata!

m r ma

F

q Lorentz II Newton motocircolare

v2

vB = = =

qB m T r

qB

r m

π

π

v

; 2

v = =

=

Raggio Periodo

Esempio: il tubo catodico

Una delle applicazioni piu’ conosciute della combinazione di E e B. Il campo accelera gli e, che vengono deflessi sullo schermo scintillante dall’azione di B.

59

Sorgenti e legge di Gauss per il campo B- 1

Contrariamente al campo E (indotto da cariche) NON e’ una analoga carica magnetica (monopolo magnetico) a generare il campo B stesso.

In qualunque situazione, le linee di forza del campo magnetico sono linee chiuse. Questo, poiché i poli N e S si presentano sempre insieme.

Matematicamente, si ha:

0

chiusa superficie

=

∫ ^{B r} ⋅ ^{d a r}

Legge di Gauss per il campo magnetico.

Poiché non sono stati trovate

cariche magnetiche, chi origina B?

Sorgenti e legge di Gauss per il campo B- 2

• Poiché non sono stati trovate cariche magnetiche, chi origina

B

• H.C. Oerted (1820): i campi magnetici vengono generati dal moto di cariche elettriche

61

Legge di Ampere

=i campi B sono generati dal moto di cariche elettriche

Assumeremo come legge fondamentale per il campo magnetico (analoga alla legge di Coulomb per E) le legge di Ampere:

i s

d

B

chiusa linea

∫ ^{r ⋅ r =} µ

i

Il coefficiente µ₀ si chiama costante di permeabilità magnetica e nel SI vale:

µ₀= 4π10^-7 Tesla m/A

NOTA: La legge di Ampere può essere ricavata dalla forza agente tra due fili percorsi da corrente, come si vedrà poco avanti

r ds B I

I r

B s

d

B

π µ µ

π 2

2 = ⇒ =

⋅

=

∫ ^r ⋅ ^r

La Legge di Ampere permette facilmente (come Gauss per il campo

Nel caso di un filo indefinito percorso da corrente, le linee di forza del campo magnetico sono circonferenze nel piano perpendicolare al filo. Considerando come linea chiusa una circonferenza sovrapposta alla linea di forza:

Un esempio: filo indefinito

63

Solenoidi

Solenoide ideale: B=0 fuori Un lungo filo avvolto strettamente a forma di

spirale si chiama solenoide. Vogliamo, utilizzando la Legge di Ampere, determinare il campo

magnetico B al suo interno. Per semplicità

assumiamo che il solenoide sia molto lungo rispetto al raggio, e le spire strettamente serrate (solenoide ideale).

In prossimità dei fili, le linee di forza sono analoghe a quelle di un singolo filo.

Al centro, sono linee coassiali al S.

Consideriamo la linea chiusa (abcd) come integrale per la legge di Ampere, e della forma in figura, e sia N il numero di spire abbracciate dal circuito:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

= ^b

a a

d d

c c

b b

a abcd

Bh s

d B s

d B s

d B

iN

r r r r r r

µ

h in

B ₌ µ

iN ₌ µ

Campo magnetico B nei solenoidi ideali

Fili percorsi da corrente-1

Quale forza si esercita tra due fili paralleli, indefiniti, percorsi da due correnti i¹ e i²

concordi? Usando la legge di Ampere

determiniamo il campo generato dal primo filo:

i

i

d B

i

π µ 2

1 1

=

Nel caso del secondo lungo conduttore, nel tratto L gli elettroni di conduzione trasportano la carica lungo da direzione del filo.

Riscriviamo la forza di Lorentz per questa quantità di carica:

r r r

r r

r   × = ×

=

×

= Li

( L v

)

i t i

q =

=

/

65

Fili percorsi da corrente-2

B B

L ˆ B

r r r

r r

r  × = ×





 

= 

×

= v i L

v v Li

q

F

d d

•Forza di Lorentz su un tratto di filo percorso da una corrente i in un campo magnetico B esterno.

•Nel nostro caso, il campo B₁ è generato dall’altro filo:

d L i i r

L i i L

i

F

π µ π

µ

2

B

2

2

2

 =



 



= 

=

Con la regola della mano destra, fili percorsi da correnti parallele e concordi si attraggono. Se le correnti sono discordi?

•Queste forze si possono facilmente misurare in laboratorio. La loro verifica sperimentale rappresenta una dimostrazione a posteriori

della legge di Ampere.

• “ Ho visto macchine che hanno eliminato la necessita' di impiegare molti lavoratori, che di conseguenza si trovano ridotti alla fame ", lord Byron, primo Camera dei Lords.

Febbraio 1812 (rivolta luddista).

• ~ 1820: il Parlamento britannico approva la legge che fissa in

industria.

• 1848 la Repubblica francese sancì il principio delle 12 ore di lavoro quotidiano, per sei giorni la settimana (8 per i bimbi sotto 12 anni)

• 1871 sempre in Francia, si arriva al traguardo delle 10 ore nella stagione tumultuosa della Comune di Parigi.

17. Induzione magnetica

67

Consideriamo una piccola spira, collegata con un misuratore di corrente (amperometro). M. Faraday (1831) si accorse che una corrente

elettrica veniva indotta nel circuito dal movimento di un magnete in prossimità del circuito. La stessa cosa si verificava sostituendo il magnete con un altro circuito percorso da corrente, purché i due circuiti fossero in moto relativo, OPPURE variandone la corrente.

Compare una corrente indotta in un circuito ogni volta che e’ soggetto ad un flusso di campo magnetico variabile (ossia, il numero di linee di forza che attraversa il circuito, varia col tempo).

Flusso del campo magnetico: _B

B r d a r

⋅

=

Φ ∫

aperta superficie

Ricorda: il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa e’ sempre nullo!!

Cos’è l’induzione magnetica

Legge di Faraday

dt d Φ

− ε =

In un circuito, viene indotta una forza elettromotrice (fem) che e’

direttamente proporzionale alla variazione del flusso del campo ma- gnetico B attraverso qualsiasi superficie avente quel circuito per bordo.

Il segno – e’ importante (legge di Lenz). Questo rappresenta il fatto che la fem indotta e’ tale da opporsi alla variazione che produce tale

corrente. La legge di Lenz e’ diretta conseguenza della legge di conservazione dell’energia, come spiegato nella pagina successiva.

Es. 17.1 Calcolare la fem indotta attraverso una spira

69

Induzione e trasferimento di energia-1

Una spira (di resistenza equivalente R) viene estratta da una regione con campo magnetico B uniforme. Occorre determinare la fem e la corrente i indotta nella spira, ed il verso di percorrenza di i.

Calcoliamo la Fem indotta (Faraday):

R BLv I R

v dt BL

BL dx dt

d BLx

B B

=

=

−

−

=

− Φ =

−

=

= Φ

ε

ε ^{( )}

Potenza dissipata:

R I BLv

P

)

= (

= ε

La corrente ha verso orario nella spira: il flusso di B diminuisce, la legge di Lenz richiede che la corrente indotta crei un campo B’ che rafforzi ^B

Induzione e trasferimento di energia-2

Da quale fonte di energia proviene quella che mantiene la potenza dissipata? Ossia, chi compie il lavoro?

Vi e’ una forza efficace con verso ← dovuta alla corrente.

R v IBL

ILB Fv

v F P

ILB B

L I F

)

) (

( = −

−

=

−

=

⋅

=

=

×

= r r

r r

r

La potenza in ingresso fornita dal “meccanismo” che estrae la spira dalla regione col campo magnetico uguaglia la potenza dissipata dalla resistenza. L’energia si conserva!!

71

Campi elettrici indotti

Come possiamo interpretare la Legge di Faraday?

Consideriamo una qualunque spira (ad es. circolare) su cui un campo elettrico compia un lavoro sulle cariche. Il lavoro compiuto per far percorrere lungo un circuito una carica q e’:

ε q s d E q s d

F ∫

∫ ^{r ⋅ r = r ⋅ r =}

Se e’ una variazione del flusso del campo magnetico a fornire la forza elettromotrice, allora il lavoro per unità di carica e’

esattamente:

dt s d

d

E

Faraday

− Φ

=

⋅

= ∫ ^{r r}

ε

produce un campo elettrico!

Mutua Induzione

Consideriamo due circuiti vicini. Se la corrente i₁ nel primario varia col tempo, nel secondario compare una corrente indotta i₂.:

Primario Secondario

∫ ^⋅

−

=

secondario

2

B d a

dt

d r r

ε

i

B

∝ C ⋅

•In un generico punto P del

circuito secondario (C= costante che dipende dal primario):

• L’integrale sul circuito

secondario dipende dalla sua geometria (A= costante che

dipende dal secondario) : dt

di

dt i i d

dt B d

dt d

P

1 12 2

1 1

2

M

) ( AC A)

C ( )

A )(

(

−

=

=

−

=

⋅

⋅

−

=

−

= ε ε

M = coefficiente di mutua induzione = costante che dipende dalla

73

Auto-induzione

Una corrente indotta da un campo B variabile in un circuito può

perturbare anche il circuito primario stesso (fenomeno di autoinduzione):

1. In un circuito I(t) origina un B variabile

2. Lo stesso circuito, abbraccia una parte delle linee di B generate, per cui il ΦΦΦΦ_B concatenato varia col tempo

3. La variazione di ΦΦΦΦ_B induce una fem variabile

4. La fem tende ad opporsi alla corrente che fluisce nel circuito primario

dt L di

dt i i d

dt B d

dt d

P

1

1 1

1 ( )(A ) (C A ) A C ( )

=

′

− ′

′ =

⋅

⋅′

−

′ =

−

ε

Utilizzando la notazione della pagina precedente:

(C’,A’

=coefficienti che dipendono dal

circuito primario)

Nel SI il coefficiente di auto(mutua) induzione (L, M) ha un nome proprio, henry (H). Poiché il flusso di B si misura in Tesla m²

1 H = 1 T ⋅⋅⋅⋅ m

/A

Es. 17.1 Un solenoide rettilineo di area A e lunghezza h è costituito da 100

Coefficiente di autoinduzione

dt L di

1

= −

ε

autoinduzione (autoinduttanza del circuito)

1 H 1mH 1µµµµH

75

Trasduttori Elettromagnetici

Quella di Faraday, è probabilmente la legge della fisica con il numero di applicazioni più elevate, ed anche una legge che ha

rivoluzionato il mondo (si vedrà con i generatori di fem alternata).

Tra le numerose applicazioni, vi sono i microfoni, gli altoparlanti, gli strumenti elettrici…

Tutti questi dispositivi utilizzano un trasduttore, ossia un dispositivo in cui vi e’ un filo avvolto su un magnete. Un dispositivo primario (nella figura, la corda di una chitarra elettrica che agisce come un magnete) puo’ vibrare, e le vibrazioni provocano una

variazione del flusso di B che inducono una corrente indotta nella spira

connessa all’amplificatore.

18. Circuiti e generatori

in corrente alternata

77

Dalla Legge di Faraday deriva che se in una bobina varia l’intensità di corrente, si genera in essa un fem indotta (autoinduzione). Il

coefficiente L varia con la geometria del circuito: L può venir fatta divenire grande (ad es., utilizzando una bobina), o resa piccola, ma in generale non è mai nulla

dt L di

−

1

=

ε

grafica di L in un circuito

Anche un semplice circuito con una sola resistenza ha in realtà una piccola autoinduttanza L, che genera una

sorta di forza contro-elettromotrice. Applicando la Legge delle maglie:

Autoinduzione in un circuito-1

= 0 +

+

0

ε ε

ε