Tema d’Esame del 16 febbraio 2015 Un circuito filiforme di raggio

Elettromagnetismo II Gianluca Ferrari Induzione elettromagnetica

Tema d’Esame del 16 febbraio 2015

Un circuito filiforme di raggio 𝑅 = 10 𝑐𝑚 è formato da due metà simmetriche, costituite da materiali conduttori con diversa conducibilità, 𝜎₁ = 5 ⋅ 10⁵ 𝛺⁻¹𝑚⁻¹ e 𝜎₂ = 5 ⋅ 10⁷ 𝛺⁻¹𝑚⁻¹. È presente un campo magnetico ortogonale al piano che contiene il circuito, il cui modulo varia nel tempo come 𝐵 = 𝐵₀𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡, dove 𝐵₀ = 1,5 𝑇 e 𝜔 = 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠.

a. Calcolare la forza elettromotrice indotta nel circuito.

La variazione del flusso del campo magnetico nel tempo riguarda il fatto che il circuito è immerso all’interno di un campo magnetico variabile. Il calcolo del flusso concatenato al circuito, tenuto conto del fatto che la normale e il campo sono paralleli, è dato da

Φ(𝑡) = ∫ 𝐵⃗ ⋅ 𝑛̂

Ω

𝑑𝑆 = 𝐵 ∫ 𝑑𝑆

Ω

= 𝜋𝐵₀𝑅²cos 𝜔𝑡 La forza elettromotrice, per la legge di Faraday, sarà pari a

𝑓𝑒𝑚(𝑡) = −𝑑Φ(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝜋𝐵₀𝑅²𝜔 sen 𝜔𝑡 b. Calcolare la densità di corrente in ogni punto del circuito.

È leggermente più delicata la questione della densità di corrente. A partire dalla legge di Ohm microscopica generalizzata, il campo elettrico indotto sarà pari alla densità di corrente fratto la conducibilità per entrambe le metà del circuito; ossia capita che

𝐸₁

⃗⃗⃗⃗ = 𝐽⃗⃗ ₁ 𝜎₁ Passando alle circuitazioni si ha

∮ 𝐸⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙 = ∮₁ 𝐽⃗⃗ ₁

𝜎₁ ⋅ 𝑑𝑙⃗⃗ ₁

Considerato che il campo elettrico indotto non è conservativo, la sua circuitazione è pari alla forza elettromotrice indotta. Per quanto riguarda, invece, la circuitazione di ^𝐽

𝜎

si ha che il vettore 𝐽 all’interno del filo è sempre parallelo allo spostamento ed è uniforme a parità di materiale. L’uguaglianza precedente diventa quindi

Elettromagnetismo II Gianluca Ferrari Induzione elettromagnetica

𝑓𝑒𝑚(𝑡) = 𝐽₁

𝜎₁∫ 𝑑𝑙₁

dove il calcolo dell’interale dà come risultato la misura della prima metà del circuito, visto che nella seconda metà possiamo vedere 𝐽₁ = 0, da cui

𝜋𝐵₀𝑅²𝜔 sen 𝜔𝑡 = 𝐽₁

𝜎₁𝜋𝑅 ⟹ 𝐽₁ = 𝜎₁𝐵₀𝑅𝜔 sen 𝜔𝑡

A livello vettoriale, è necessario tener conto del fatto che 𝐽 è tangente alla circonferenza, quindi

𝐽₁

⃗⃗ = 𝜎₁𝐵₀𝑅𝜔 sen 𝜔𝑡 𝑡̂

ed analogamente

𝐽₂

⃗⃗⃗ = 𝜎₂𝐵₀𝑅𝜔 sen 𝜔𝑡 𝑡̂

dove 𝑡̂ è il versore tangente alla circonferenza.

c. Calcolare il campo elettrico in ogni punto del circuito.

Sempre sfruttando la legge di Ohm microscopica, si ha 𝐸₁

⃗⃗⃗⃗ = 𝐽⃗⃗ ₁

𝜎₁ = 𝐵₀𝑅𝜔 sen 𝜔𝑡 𝑡̂

così come

𝐸₂

⃗⃗⃗⃗ = 𝐽⃗⃗⃗ ₂

𝜎₂ = 𝐵₀𝑅𝜔 sen 𝜔𝑡 𝑡̂

Per ogni quantità calcolata, disegnare un grafico che ne mostri l’andamento in funzione del tempo.