Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 18-19) 5 luglio 2019
Compito unico
) L'insieme , mentre l'insieme ; pertanto
, intervallo né aperto né chiuso, e
, anch'esso intervallo né aperto né chiuso.
) Le definizioni di limite proposte equivalgono a:
1:
; 2:
;3:
.
Un possibile grafico di funzione è riportato di seguito.
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
grafico funzione
) , . Per determinare l'inversa di , posto si ha
, da cui ed infine
; l'inversa di ha equazione . Procediamo nello stesso modo per l'inversa di , posto si ha ovvero ; l'inversa di ha equazione
.
)
.
Per , e , pertanto
.
) : , vera ; .
; funzione dispari, la studiamo
solo per ed operiamo per simmetria.
Segno ed intersezioni con gli assi: se , funzione
positiva in ; , unica intersezione con gli assi nell'origine . Limiti agli estremi del :
, asintoto orizzontale dx di equazione .
Crescenza e decrescenza: .
. Funzione strettamente crescente in .
Concavità e convessità: la stretta monotonia crescente insieme all'esistenza
dell'asintoto orizzontale dx, alla simmetria rispetto l'origine e all'esistenza di un unico punto di flesso implicano che la funzione è strettamente concava in e l'origine è l'unico punto di flesso.
Grafico:
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
grafico funzione
)
7) La retta ha coefficiente angolare uguale a e quindi la retta tangente alla curva di equazione è parallela alla retta se e solo se , da cui
che ha come unica soluzione . La retta tangente ha equazione
che dopo le opportune sostituzioni dà .
8) Il piano tangente alla superficie ha equazione .
, , .
Equazione del piano tangente: , oppure
