Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 22 marzo 2014
Compito Unico
)
Come è facilmente verificabile le colonne delle proposizioni e
non coincidono, quindi le due proposizioni non sono logicamente equivalenti.
) Riflessiva: , svolge lo stesso compito di ? Vero, banale.
Simmetrica : , se svolge lo stesso compito di allora svolge lo
stesso compito di ? Vero, banale.
Antisimmetrica: , se svolge lo stesso compito di e svolge lo stesso compito di allora e sono lo stesso studente? Falso, controesempio
due studenti distinti che svolgono lo stesso compito.
Transitiva: , se svolge lo stesso compito di e svolge lo stesso compito di allora svolge lo stesso compito di ? Vero, banale.
Completa: , svolge lo stesso compito di o svolge lo stesso compito di o e sono lo stesso studente? Falso, controesempio due studenti, uno che svolge il compito proposto dal Prof. Riccarelli e l'altro che svolge il compito proposto dal Prof. Lonzi.
) Da e si ottiene che risolta porta a
log , da cui log log e
log .
)
) : ovvero .
Nota che , funzione pari e quindi simmetrica rispetto l'asse delle ordinate.
Segno: perché la funzione è una esponenziale.
Intersezioni: , intersezione con l'asse delle
ordinate nel punto ; , impossibile perché
esponenziale sempre positiva.
Limiti agli estremi del :
;
, per il confronto fra infiniti La funzione non presenta asintoti.
Crescenza e decrescenza: .
per . Funzione strettamente decrescente in , strettamente crescente in ; minimo assoluto pari a . Concavità e convessità: .
. Funzione strettamente convessa.
Grafico:
)
.
.
7) , . L'equazione della retta tangente nel generico punto
è quindi: . La condizione di
passaggio per il punto impone: che con semplice algebra può essere riscritta come: , la condizione di positività per porta a . La retta richiesta ha quindi equazione
ovvero .
8) log
log .
