Domanda 1) Quale delle seguenti affermazioni sulla serie numerica reale X

Appello 2 - 2013-2014 B044 – Analisi Matematica II - 10 febbraio 2014

n. 60 Matricola:

Nome: ,

Domanda 1) Quale delle seguenti affermazioni sulla serie numerica reale X

n≥3

a

n

` e corretta?

A) Se lim |a

n

| = 1/2, allora la serie converge.

B) Se a

n

>

⁴³_n!

, definitivamente per n → +∞, allora la serie diverge.

C) Se la serie ` e a segni alterni e n → |a

n

| ` e una successione decrescente che tende a zero, allora la serie converge.

D) Se lim p|a

ⁿ n

| = 1, allora la serie ` e indeterminata.

Domanda 2) Sia

+∞

X

n=0

a

n

z

ⁿ

una serie di potenze in campo complesso. Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) Se r 6= 0 ` e il suo raggio di convergenza, allora la serie converge uniformemente su ogni cerchio di centro l’origine e raggio ρ < r.

B) Il raggio di convergenza ` e ben definito se e solo se lim

n→∞

|a

n

| = 0.

C) Esistono a

n

∈ R, n ∈ N, tali che l’insieme di convergenza della serie ` e {z ∈ C : Re z < 1}.

D) Esiste una successione {a

n

}

n∈N

⊂ C per cui l’insieme di convergenza della serie ` e vuoto.

Domanda 3) Determinare l’insieme di convergenza, in R, della serie

+∞

X

n=1

(x − 3)

ⁿ

n

²

3

ⁿ

A) (0, 6] B) [0, 6] C) [0, 6) D) (0, 6)

Domanda 4) Sia

f : x 7→

( 0 se x ∈ [−π, 0) π se x ∈ [0, π) estesa a R come funzipone periodica. Sia inoltre

1 2 a

0

+

+∞

X

n=1

a

n

cos(nx) +

+∞

X

n=1

b

n

sin(nx)

la serie di Fourier di f . Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) b

n

= 0 per ogni n dispari.

B) a

5

= 2/5.

C) b

n

= 0 per ogni n pari.

D) b

23

= 0.

Domanda 5) Sia λ

⁴

= 16 una equazione in campo complesso. Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) Le sue radici sono: ±2.

B) Le sue radici sono: ±2 , ±2(1 + i).

C) Ha due radici reali e distinte e due radici complesse coniugate

D) Le sue radici sono: ±2 , 2 e

^±πi/4

.

Domanda 6) Sia F : (x, y) ∈ R

²

→ (F

1

(x, y), F

2

(x, y)) ∈ R

²

un campo vettoriale di classe C

¹

. Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) divF ` e una funzione continua B) divF ` e una funzione C

¹

. C) divF ` e un campo vettoriale C

¹

. D) divF ` e un campo vettoriale continuo

Domanda 7) Si consideri il campo vettoriale dipendente dal parametro a ∈ R

v

a

(x, y, z) =





3ax − 2(a + z)y x

²

− z + ay

²

az + z

²

+ x





Per quale dei seguenti valori di a si ha che la funzione a 7→ krotv

a

(0, 0, 2)k raggiunge il suo minimo?

A) a = −2 B) a = 1

C) per nessun valore di a D) a = −1

Domanda 8) Si consideri il seguente campo vettoriale:

v(x, y, z) =



 x

²

+ y

y

²

zy

³

+ x





Calcolare il gradiente della divergenza di v nel punto (0, 0, 1) A) 

₂

2 0



B) 0 C) 

₀

0 1



D) 

₋₂

2 0



Domanda 9) Sia D la regione di piano limitata dall’asse y e della curva ϕ : t ∈ h

0, π 2

i →

( x(t) = 5t cos (t)

y(t) = 2 sin (t) . Calcolare l’Area di D. Suggerimento: usare il teorema della divergenza nel piano

A)

₁₆⁵

π

²

− (5/4) B) (5/8)π

²

− 5/2 C)

¹⁵₁₆

π

²

−

¹⁵₄

D) (3/8)π

²

− (3/2)

Domanda 10) Data S = {(x, y) ∈ R

²

: e

^x

< y <

3e

^x

, e

^−x

< y < 5e

^−x

} e f (x, y) = 2 x

y , a quale fra i se- guenti integrali ` e uguale a

Z Z

S

f (x, y) dxdy? Suggerimento:

usare il cambiamento di coordinate u = ye

^−x

, v = ye

^x

A) Z

5

1

Z

3 1

ln (v) − ln (u)

√ u √

v dudv B)

Z

5 1

Z

3 1

−(1/2) − ln (v) + ln (u)

uv dudv

C) Z

5

1

Z

3 1

(1/2) (ln (v) − ln (u))

⁻¹

dudv D)

Z

5 1

Z

3 1

2 ln (v) − 2 ln (u) dudv

Domanda 11) Sia T ⊆ R

³

il prisma rettangolare ret- to di vertici (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 0, 2), (1, 1, 2), (1, −1, 2). Stabilire il valore del seguente integrale.

Z Z Z

T

(−2ye

^2x2

− 3x

³

) dxdydz

A) 0 B) e

²

C) −

^e₂²

D) −

¹²₅