Domanda 1) Quale delle seguenti affermazioni sulla serie numerica reale X

Appello 3 - 2013-2014 B044 – Analisi Matematica II - 25 febbraio 2014

n. 47 Matricola:

Nome: ,

Domanda 1) Quale delle seguenti affermazioni sulla serie numerica reale X

n≥3

a

n

` e corretta?

A) Se |a

n

| <

⁴³_n!

, definitivamente per n → +∞, allora la serie converge assolutamente.

B) Se lim p|a

ⁿ n

| = 1/2, allora la serie converge ad un numero positivo.

C) Se la serie ` e definitivamente a termini positivi e a

n

∼

^√2_n

, allora la serie converge.

D) Se la serie ` e definitivamente a termini negativi e lim |a

n

| = 2, allora la serie diverge a +∞.

Domanda 2) Sia

+∞

X

n=0

a

n

z

ⁿ

una serie di potenze in campo complesso. Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) L’insieme di convergenza della serie non ` e vuoto.

B) Se r 6= 0 ` e il suo raggio di convergenza, allora la serie delle derivate converge uniformemente su ogni cerchio di centro l’origine e raggio ρ ≤ r alla derivata della funzione somma della serie.

C) Il raggio di convergenza ` e ben definito se e solo se esiste

n→∞

lim |a

n

|.

D) Il raggio di convergenza ` e ben definito se e solo se

n→∞

lim |a

n

| = 0.

Domanda 3) Determinare l’insieme di convergenza, in R, della serie

+∞

X

n=1

(x − 3)

ⁿ

(−1)

ⁿ

n

A) (2, 4) B) [2, 4) C) [2, 4] D) (2, 4]

Domanda 4) Sia

f : x 7→

( 0 se x ∈ [−π, 0) 1 se x ∈ [0, π) estesa a R come funzipone periodica. Sia inoltre

1 2 a

0

+

+∞

X

n=1

a

n

cos(nx) +

+∞

X

n=1

b

n

sin(nx)

la serie di Fourier di f . Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) b

n

= 0 per ogni n dispari.

B) b

n

= 0 per ogni n pari.

C) La serie converge puntualmente su R ad una funzione che vale π/2 per ogni x = kπ, k ∈ Z.

D) a

n

= 0 per ogni n ≥ 0.

Domanda 5) Sia λ

⁶

− 2λ

³

+ 1 = 0 una equazione in campo complesso. Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) Le sue radici sono: ±1 , e

^±πi/3

. B) Ha la sola radice λ = 1, doppia.

C) Ha esattamente 6 radici semplici che dividono la circonferenza |z| = 1 in 6 parti uguali.

D) Le sue radici sono: 1 e e

^±2π/3

.

Domanda 6) Sia F : (x, y) ∈ R

²

→ (F

1

(x, y), F

2

(x, y)) ∈ R

²

un campo vettoriale di classe C

¹

. Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

A) divF ` e un campo vettoriale continuo B) divF ` e una funzione continua C) divF ` e un campo vettoriale C

¹

. D) divF ` e una funzione C

¹

.

Domanda 7) Si consideri il campo vettoriale dipendente dal parametro a ∈ R

v

a

(x, y, z) =





3ax − 2(a + z)y x

²

− z + ay

²

az + z

²

+ x





Per quale dei seguenti valori di a si ha che la funzione a 7→ krotv

a

(0, 0, −1)k raggiunge il minimo?

A) per nessun valore di a B) a = −1

C) a = −2 D) a = 1

Domanda 8) Si consideri il seguente campo vettoriale:

v(x, y, z) =



 x

²

+ y

y

²

zy

³

+ x





Calcolare il gradiente della divergenza di v nel punto (0, 1, 0) A) 

₁

1 1



B) 

₂

−5 0



C) 

₂

5 0



D) 1

Domanda 9) Sia F il campo vettoriale su R

²

definito da F (x, y) = y

²

cos(xy

²

) − ye

^x

, 2xy cos(xy

²

) − e

^x

. Stabilire quale delle seguenti funzioni ` e un potenziale di F .

A)

¹₂

B) 1

C) cos(xy

²

) + ye

^xy

D) sin(xy

²

) − ye

^x

+ 2

Domanda 10) Sia T ⊆ R

²

il triangolo (pieno) di verti- ci (0, 0), (1, 1) e (1, −1). Stabilire il valore del seguente integrale.

Z Z

T

(−2ye

^3x2

− 5x

³

) dxdy

A) −2 B) 0 C)

^e−3₃

D) −

⁵₄

Domanda 11) Sia V

a

il volume del seguente solido:

S

a

= n

(x, y, z) ∈ R

³

: |x| + |y| ≤ 1, 0 ≤ z ≤ p

(1 − |y|)

²

− x

²

, |y| ≤ a o

Quale delle seguenti affermazioni ` e corretta?

(Suggerimento: Calcolare RRR

S_a

dxdydz, affettando il solido parallelamente al piano y = 0, cio` e osservando che l’insieme

`

e semplice rispetto all’asse y e disegnando la fetta sul piano (x, z).)

A) V

1/3

=

₂₄⁷

π B) V

1

=

^π₂

C) V

1/4

=

²⁶₈₁

π D) V

1/4

=

₁₉₂³⁷

π