Domanda 1) Quale delle seguenti affermazioni sulla serie numerica reale X

Appello 1 - 2013-2014 B044 – Analisi Matematica II - 15 gennaio 2014

n. 39 Matricola:

Nome: ,

Domanda 1) Quale delle seguenti affermazioni sulla serie numerica reale X

n≥3

a

n

`e corretta?

A) Se lim |a

n

| = 2, allora la serie diverge.

B) Se la serie `e a segni alterni e n → |a

n

| `e una successione decrescente che tende a zero, allora la serie converge.

C) Se lim |a

n

| = 1/2, allora la serie converge.

D) Se lim p|a

ⁿ n

| = 2, allora la serie diverge.

Domanda 2) Sia

+∞

X

n=0

a

n

z

ⁿ

una serie di potenze in campo complesso. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

A) La serie delle derivate e la serie delle primitive, che sono zero in zero, hanno lo stesso raggio di convergenza B) Esistono a

n

∈ R, n ∈ N, tali che l’insieme di

convergenza `e {z ∈ C : Re z < 1}.

C) Il raggio di convergenza `e ben definito se e solo se

n→∞

lim |a

n

| = 0.

D) La funzione somma della serie `e derivabile nell’insieme di convergenza.

Domanda 3) Determinare l’insieme di convergenza, in R, della serie

+∞

X

n=1

(x − 3)

ⁿ

n

A) [2, 4) B) (2, 4] C) [2, 4] D) (2, 4)

Domanda 4) Sia

f : x 7→

( 0 se x ∈ [−π, 0) π se x ∈ [0, π) estesa a R come funzipone periodica. Sia inoltre

1 2 a

0

+

+∞

X

n=1

a

n

cos(nx) +

+∞

X

n=1

b

n

sin(nx)

la serie di Fourier di f . Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

A) La serie converge puntualmente a 0 per ogni x = kπ, k ∈ Z.

B) La serie converge puntualmente a π/2 per ogni x = kπ, k ∈ Z.

C) a

5

= 2/5.

D) a

n

= 0 per ogni n ≥ 0.

Domanda 5) Sia λ

⁴

+ 2λ

²

+ 1 = 0 una equazione in campo complesso. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

A) Ha esattamente due radici complesse coniugate doppie.

B) Le sue radici sono tutte reali.

C) Ha la sola radice λ = 1.

D) Ha esattamente quattro radici semplici che dividono la circonferenza |z| = 1 in quattro parti uguali.

Domanda 6) Sia Ω la sfera di R

³

di centro l’origine e rag- gio 2, Σ la sua frontiera e F un campo vettoriale C

^∞

(R

³

).

Quale delle seguenti affermazioni `e corretta?

A) Se F (x, y, z) = x + z ln(1 + y

²

), xz

²

+ y, e

^xy

+ z
, allora il flusso di F entrante in Ω attraverso Σ `e uguale a 32π

B) Dato a ∈ R, esiste F tale che il flusso di rot(F ) uscente da Ω attraverso Σ assumere il valore a.

C) Se F (x, y, z) = x + z ln(1 + y

²

), xz

²

+ y, e

^xy

+ z
, allora il flusso di F entrante in Ω attraverso Σ `e uguale a −32π

D) Se F (x, y, z) = x + z ln(1 + y

²

), xz

²

+ y, e

^xy

− z
, allora il flusso di F uscente da Ω attraverso Σ `e uguale a 32π

Domanda 7) Si consideri il campo vettoriale

v(x, y, z) =



 xy zy xz





Quali delle seguenti affermazioni `e vera?

A) rot v(1, 0, 0) − 2 `e minore di 0 B) rot v(0, 0, 1) = −1

C) rot v(0, 0, 1) `e un vettore ortogonale al piano y = 0.

D) t 7→ rot v(t, 0, 0) `e una funzione scalare monotona.

Domanda 8) Si consideri il seguente campo vettoriale:

v(x, y, z) =



 x

²

+ y

y

²

zy

³

+ x





Calcolare il gradiente della divergenza di v nel punto (0, −1, 0)

A) −1 B) 

1

1 1

 C) 

2

5 0

 D) 1

Domanda 9) Sia γ il segmento che parte dall’origine di R

²

e raggiunge il punto di coordinate (−1, −1). Sia inoltre ω il campo vettoriale definito da

(x, y) 7→ (ye

^xy

− 2xy , xe

^xy

− x

²

).

Calcolare

Z

γ

ω · dP.

A) e

⁻²

B) e C) 2 D) −1

Domanda 10) Sia T ⊆ R

²

il triangolo (pieno) di verti- ci (0, 0), (1, 1) e (1, −1). Stabilire il valore del seguente integrale.

Z Z

T

(−2ye

^3x2

+ x

³

) dxdy

A) e

²

B)

²₅

C)

^e−2₃

D) 1