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Prova scritta di Matematica Discreta - Soluzioni (17 settembre 2012) Esercizio 1. Le parole di lunghezza 3,4,5,6 sono rispettivamente in numero di 23,2

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Prova scritta di Matematica Discreta - Soluzioni (17 settembre 2012)

Esercizio 1. Le parole di lunghezza 3,4,5,6 sono rispettivamente in numero di 2

3

,2

4

,2

5

,2

6

quindi

A=2

3

+2

4

+2

5

+2

6

=120, B=120

12

(sono 12 caselle in ognuna delle quali vi sono 120 valori possibili). Si può applicare il principio di inclusione-esclusione in forma negativa, costruendo i sottoinsiemi di B:

X={matrici in cui le ultime 3 caselle della prima riga contengono solo parole di lunghezza pari}

Y={matrici in cui le prime 2 caselle della quarta colonna contengono solo parole di lunghezza <6}

e calcolando (con il principio delle scelte multiple):

B-XY=B-{X+Y-XY}=120

12

-{120

9

80

3

+120

10

24

2

-120

8

80

2

2

4

56}

(tenuto conto che le parole di lunghezza pari sono in numero di 2

4

+2

6

=80, quelle di lunghezza <6 in numero 2

3

+2

4

+2

5

=56, quelle di lunghezza pari e <6 in numero di 2

4

=16).

Esercizio 2. Si può applicare il principio di inclusione-esclusione in forma positiva, costruendo i sottoinsiemi di B: X={matrici in cui prima e seconda casella dell’ultima colonna contengono entrambe parole di lunghezza pari}, Y={matrici in cui seconda e terza casella dell’ultima colonna contengono entrambe parole di lunghezza pari}, Z={matrici in cui prima e terza casella dell’ultima colonna contengono entrambe parole di lunghezza pari} e calcolando:

XYZ=X+Y+Z-{XY+YZ+XZ}+XYZ

dove (con il principio delle scelte multiple) si ha:

X=Y=Z=120

10

24

2

, XY=YZ=XZ=XYZ=120

9

24

3

(tenuto conto cheA=2

3

+2

4

+2

5

+2

6

=120 le parole di lunghezza <5 sono in numero di 2

3

+ 2

4

=24).

Esercizio 3. I vertici con 1 vocale sono adiacenti a quelli con 3 vocali, mentre i vertici con 2 vocali sono adiacenti fra loro: esistono quindi 2 componenti connesse, la prima contenente i vertici con 1 o 3 vocali, la seconda quelli con 2 vocali. I vertici con 1 vocale sono (con il principio delle scelte multiple) in numero di 24

3

=512 (si deve scegliere 1 posizione fra 4 per la vocale, poi scegliere 1 vocale fra le 2 da inserire nella posizione scelta, infine scegliere 1 vocale fra 4 in ognuna delle 3 posizioni restanti); analogamente i vertici con 2 vocali sono in numero di 2

2

4

2

=384, i vertici

con 3 vocali sono in numero di 2

3

4=128. Dunque la prima componente ha 512+128=640 vertici, la seconda ha 384 vertici. La prima componente ha numero cromatico 2 (un colore per i vertici con 1 vocale, un altro per quelli con 3 vocali); la seconda ha numero cromatico uguale al numero di vertici cioè 384: quest’ultimo è il numero cromatico del grafo. Nella prima componente i vertici con 1 vocale hanno grado 128 (pari), quelli con 3 vocali hanno grado 512 (pari), dunque in essa esiste un cammino Euleriano ciclico. Nella seconda componente tutti i vertici hanno grado 383 (dispari) dunque non esiste in essa un cammino Euleriano (né ciclico né non ciclico).

Esercizio 4. Nelle prime 3 sezioni la lettera è una consonante (3 scelte possibili), il numero è qualunque (7 scelte), il colore è qualunque (5 scelte), dunque per il principio delle scelte multiple le scelte per le prime 3 sezioni sono in numero di (3 75)

3

. Nelle ultime 4 sezioni la lettera è qualunque (7 scelte possibili), il numero è dispari (3 scelte), il colore è qualunque (5 scelte), dunque per il principio delle scelte multiple le scelte per le ultime 4 sezioni sono in numero di (735)

5

. Nelle sezioni dalla quarta alla sesta la lettera è una consonante (3 scelte possibili), il numero è dispari (3 scelte), il colore è qualunque (5 scelte), dunque per il principio delle scelte multiple le scelte queste sezioni sono in numero di (335)

4

. La risposta è il prodotto di tali numeri.

Esercizio 5. Si può applicare il principio delle scelte multiple: per i tiri di posto dispari la scelta è

obbligata; per quelli dei 6 posti pari si deve scegliere la posizione dei 4 numeri pari (con scelte

(2)

possibili), i numeri pari da inserire in tali 4 posizioni (con 3

4

scelte possibili), e i numeri dispari da

inserire nelle 2 restanti posizioni (con 3

2

scelte possibili). La risposta è il prodotto di tali numeri.

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